高中数学讲义微专题89 比赛与闯关问题

高中数学讲义微专题89 比赛与闯关问题

微专题 89 比赛与闯关问题 一、基础知识： 1、常见的比赛规则 （1） 局 胜制：这种规则的特点为一旦某方获得 次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结 束，则一定在最后一次比赛中某方达到 胜。 例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，已知甲获胜的概率为 ，求甲以 获胜的概率： 解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而 ，因为如果前三局连胜， 则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为 ，则第四局甲获胜，前三局的比分为 ， 所以 （2）连胜制：规定某方连胜 场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后 场连胜且之前 没有达到 场连胜。 例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有 7 局，若有一方连胜 3 局，则比赛立即终止。已知甲 获胜的概率为 ，求甲在第 5 局终止比赛并获胜的概率 解：若第 5 局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第 3,4,5 局获胜，且第二局 失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所以 （3）比分差距制：规定某方比对方多 分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在 得分过程中要注意使两方的分差小于 （4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若 达到第 阶段，则意味着前 个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧： （1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如： 表示“第 局比赛胜利”，则 表示“第 局比赛失败”。 （2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用 n m m m 2 3 3:1 3 3 4 2 1 32 3 3 81P C            3:1 2 :1 2 2 3 2 1 2 24 3 3 3 81P C                   m m m 3 4 31 3 27 4 4 256P             m m m  1m  iA i iA i 解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为 1 的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题： 例 1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即 被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ， ， ，且各轮问 题能否正确回答互不影响． （1）求该选手被淘汰的概率； （2）记该选手在考核中回答问题的个数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望． （1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要 考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以 考虑利用对立事件进行求解 设 为“选手正确回答第 轮问题”，事件 为“选手被淘汰” （2）思路： 可取的值为 ，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以 时，则第一题答错； 时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）； 时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率 即可 解： 可取的值为 的分布列为    1P A P A  4 5 3 5 2 5   iA i A      1 2 3 4 3 2 1011 1 1 5 5 5 125P A P A P A A A           1,2,3 1  2  3   1,2,3   11 5P      4 2 82 5 5 25P        4 3 123 5 5 25P        1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 1 8 12 571 2 35 25 25 25E        例 2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得 分，负者得 分，没 有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为 ，甲队获得第一名 的概率为 ，乙队获得第一名的概率为 ． （1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 ； （2）设在该次比赛中，甲队得分为 ，求 的分布列及期望． （1）思路：解决 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名， 则 甲 战 胜 乙 且 战 胜 丙 ， 即 ； 若 乙 队 第 一 名 ， 则 乙 战 胜 甲 且 战 胜 丙 ， 即 ，两个方程即可解出 解：设事件 为“甲队获第一名”，则 设事件 为“乙队获第一名”，则 解得： （2）思路：依题意可知 可取的值为 ， 即两战全负； 即一胜一负，要分 成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论； 即两战全胜；分别求出概率即可。 可取的值为 的分布列为 例 3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影 响，只要有一队获胜 4 场就结束比赛．现已比赛了 4 场，且甲篮球队胜 3 场．已知甲球队第 3 0 5 1 6 1 15 1 21, PP X X 21, PP 1 2 1 6PP   1 1 11 5 15P   1 2 2 1,3 4P P  A   1 2 1 6P A PP  B    1 1 11 5 15P B P     1 2 2 1,3 4P P  X 0,3,6 0X  3X  6X  X 0,3,6     1 2 10 1 1 4P X P P           1 2 1 2 73 1 1 12P X P P P P        1 2 16 6P X PP   X X 0 3 6 P 1 4 7 12 1 6 1 7 1 110 3 64 12 6 4EX        5，6 场获胜的概率均为 ，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 ． （1）求甲队分别以 ， 获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望． （1）思路：前四场比赛甲乙比分为 ，根据 7 场 4 胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束， 所以要想获得 ， ，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为 ，则第 5 场 乙胜，第 6 场甲胜；若比分为 ，则第 场均乙胜，第 7 场甲胜，用概率的乘法即可求出 两个比分的概率 解：设事件 为“甲队在第 场获胜”，则 设事件 为“甲队 4：2 获胜”，事件 为“甲队 4：3 获胜” （2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以 可取的值为 ，若 ，则甲 获胜，即胜第五场；若 则甲 获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若 ，则只 需前六场打成 即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数 可取的值为 的分布列为 例 4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是 ，规定有一方累计 2 胜或者累计 2 和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计 2 胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为 X． （1）设事件 ：“ 且甲获得冠军”，求 A 的概率； （2）求 X 的分布列和数学期望。 5 3 5 2 2:4 3:4 3:1 2:4 3:4 2:4 3:4 5,6 iA i      5 6 7 3 2,5 5P A P A P A   A B    5 6 2 3 6 5 5 25P A P A A        5 6 7 2 2 2 8 5 5 5 125P B P A A A     X 5,6,7 5X  4 :1 6X  4 : 2 7X  3: 3 X 5,6,7    5 35 5P X P A       5 6 66 25P X P A A      5 6 2 2 47 5 5 25P X P A A     X X 5 6 7 P 3 5 6 25 4 25 3 6 4 1395 6 75 25 25 25EX        3 1 A 3X  （1）思路：事件 代表“对弈 3 局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和 或一胜一负（胜负先后顺序均可）。按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解：设事件 为“甲在第 局取胜”，事件 为“第 局和棋”， 事件 为“乙在第 局取胜” （2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行 4 次比赛，最少进 行 2 次比赛，故 可取的值为 ；在这些值中 包含情况较少， 即为 相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。 即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率 。对于 的情况， 由于种类较多，所以利用分布列概率和为 1 的性质用 进行计算 可取的值为 的分布列为 小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么 可以考虑先计算出其他取值的概率，再用 1 减去其他概率即可 例 5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败 即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次 机会），已知某人前三关每关通过的概率都是 ，后两关每关通过的概率都是 （1）求该人获得奖金的概率 A iA i jB j kC k          1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A P A A A P A A A P B B B P B B B     1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27             X 2,3,4 2, 4X X  2X  4X    3 3 1 1 1 24 3 3 3 9P X A      3X     1 2 4P X P X    X 2,3,4        1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 12 3 3 3 3 3 3 3P X P A A P B B P C C             3 3 1 1 1 24 3 3 3 9P X A            43 1 2 4 9P X P X P X       X X 2 3 4 P 1 3 4 9 2 9 1 4 2 262 3 43 9 9 9EX        2 3 1 2 （2）设该人通过的关数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 （1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过， 借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可 解：设事件 为“第 关通过”，事件 为“获得奖金” （2）思路：依题意可知 的取值为 ，其中前三关失败即结束，所以 为第 一关失利； 为第一关通过且第二关失利； 为第二关通过且第三关失利； 为第三关通过且第四关失利两次； 为第四关通过且第五关失利两次； 为五关全 部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于 情况较为复杂，所以考虑利用 进行处理 的取值为 的分布列为： 例 6:：袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 。现有甲、乙两人 从袋中轮流、不放回地摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终 止。若摸出白球，则记 2 分，若摸出黑球，则记 1 分。每个球在每一次被取出的机会是等可 X X iA i A        1 2 3 4 5 1 2 3 4 4 5 1 2 3 4 5 5P A P A A A A A P A A A A A A P A A A A A A    3 2 3 32 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 27                                                                     X 0,1,2,3,4,5 0X  1X  2X  3X  4X  5X  4X           1 0 1 2 3 5P X P X P X P X P X            X 0,1,2,3,4,5    1 10 3P X P A       1 2 2 1 21 3 3 9P X P A A        1 2 3 2 2 1 42 3 3 3 27P X P A A A          3 2 1 2 3 4 4 2 1 23 3 2 27P X P A A A A A                  45 27P X P A               24 1 0 1 2 3 5 27P X P X P X P X P X P X                X  0 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 2 27 2 27 4 27 1 2 4 2 2 4 160 1 2 3 4 53 9 27 27 27 27 9EX              1 7 能的。用 表示甲，乙最终得分差的绝对值． （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量 的概率分布列及期望 （1）思路：可先设白球个数为 ，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示， 进而得到关于 的方程，解出 解：设袋中原有白球的个数为 ，事件 为“取出两个白球” 可解得 （2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人 的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所 以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。由（1）可知袋中有 4 个黑球，3 个白球，甲先 取球，所以甲取到 4 个球，甲取球的结果可以是：4 黑，1 白 3 黑，2 白 2 黑，3 白 1 黑，对 应的分数为 分， 分， 分， 分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为 3 白，2 白 1 黑， 1 白 2 黑，3 黑，分数为 分， 分， 分， 分。所以甲乙分数差的绝对值 可取的值为 ， 再分别求出概率即可。 可取的值为 故 的分布列为： 小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分 析两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算 （2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研   E n n 3n  n A   2 2 2 7 1 37 n n CP A CC     3n  4 5 6 7 6 5 4 3  0,2,4  0,2,4   3 1 4 3 4 7 120 35 C CP C      4 2 2 4 4 3 4 7 192 35 C C CP C       1 3 4 3 4 7 44 35 C CP C      0 2 4 P 12 35 19 35 4 35 12 19 4 54200 2 435 35 35 35E        究对象。 例 7：某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初 赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会，选手累计 答对 3 题或答错 3 题即终止比赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题者则被淘汰．已知选 手甲答对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响． （1）求选手甲进入复赛的概率； （2）设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试求 的分布列和数学期望． （1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对 3 题后立即终止比赛，所以要通 过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为 3 次，4 次，5 次，答题 3 次即为全对，答题 4 次，则要在前 3 次答对 2 题，即 ，然后第 4 题正确进入复赛；同理，答题 5 次 时，要在前 4 次中答对 2 题，即 ，然后第 5 题正确。 解：设事件 为“甲进入复赛” （2）思路：首先甲最少答 3 题，最多答 5 题，故 可取的值为 ，要注意答题结束分为 进入复赛和淘汰两种情况。当甲答 3 道题时，可能全对或全错；同理甲答 4 道题时，可能 3 对 1 错或是 3 错 1 对；当甲答 5 道题时，只要前 4 题 2 对 2 错，无论第 5 题结果如何，均答 了 5 道题。分别计算对应概率即可得到 的分布列，从而计算出 解： 可取的值为 的分布列为 3 4 X X 2 2 3 3 1 4 4C            2 2 2 4 3 1 4 4C            A   3 2 2 2 2 2 3 4 3 3 1 3 3 1 3 459 4 4 4 4 4 4 4 512P A C C                                       X 3,4,5 X EX X 3,4,5   3 33 1 10 53 4 4 64 32P X                 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1 3 1 454 4 4 4 4 4 4 128P X C C                                 2 2 2 4 3 1 275 4 4 128P X C             X 小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于 ， 是指在 次独立重复试验中，没有其它要求，事件 发生 次的概率。其中 代表 次中的 任意 次试验的结果是 。如果对 次试验的结果有一定的要求，则不能使用公式。例如本 题在第（1）问中处理答题 4 次的时候，因为要在第 4 次答题正确，对前 3 次答题没有要求， 所以在前 3 次试验中可使用公式计算，而第 4 次要单独列出。若直接用 则意味 着只需 4 次答题正确 3 次（不要求是哪 3 道正确）即可，那么包含着前 3 次正确的情况，那 么按要求就不会进行第 4 题了。 例 8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 局仍未出现连胜， 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结 果相互独立. （1）求甲在 局以内（含 局）赢得比赛的概率； （2）记 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和期望. （1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜 2 场，所以可分 2 局，3 局，4 局三种情况，通过 后两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列 解：设 为“甲在第 局获胜”，事件 为“甲在 局以内（含 局）赢得比赛” （2）思路：首先依题意能确定 可取的值为 ，若提前结束比赛，则按（1）的想法， 除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜 两种情况进行讨论 解： 可取的值为 X 3 4 5 P 5 32 45 128 27 128 5 45 27 4833 4 532 128 128 128EX         1 n kk k k nP C p p   n A k k nC n k A k 3 3 4 3 1 4 4C            5 3 2 3 1 4 4 X X iA i A 4 4        1 2 1 2 3 1 2 3 4P A P A A P A A A P A A A A    2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81          X 2,3,4,5 X 2,3,4,5 的分布列为： 例 9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得 1 分，负者得 0 分；当其中一人的得分比另 一人的得分多 2 分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过 6 次， 即经 6 次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为 ，乙 获胜的概率为 ，假定各次比赛相互独立，比赛经 次结束，求： （1） 的概率； （2）随机变量 ξ 的分布列及数学期望。 （1）思路： 代表比赛经过 2 次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算 出概率 解：设事件 为“甲在第 局获胜” （2）思路：考虑 可取的值只能是 （因为奇数局不会产生多赢 2 分的情况），当 时，即甲乙比分为 或是 （在第 4 局完成多两分），所以只能是在前两局打成 ，然 后一方连赢两局结束比赛。计算出 ，即可求出       2 2 1 2 1 2 2 1 52 3 3 9P X P A A P A A                      2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 6 23 3 3 3 3 27 9P X P A A A P A A A                         2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 104 3 3 3 3 3 3 81P X P A A A A P A A A A                         1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 2 1 1 2 1 2 85 3 3 3 3 3 3 3 3 81P X P A A A A P A A A A            X X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81 5 2 10 8 2242 3 4 59 9 81 81 81EX          2 3 1 3  2  2  iA i       2 2 1 2 1 2 2 1 52 3 3 9P P A A P A A                  2,4,6 4  3:1 1: 3 1:1    2 , 4P P    6P   解： 可取的值为 的分布列为： 例 10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三 局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为 ，否则其获胜的概率为 （1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率； （2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记 2 分，负一局记 0 分，记 为比赛结束时甲的得分，求随机变量 的分布列及数学期望 . （1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。若甲 获得发球权，则获胜的概率为 ，如果甲没有发球权，则获胜的概率为 ， 所以甲获胜的概率为 解：设事件 为“甲获得胜利” （2）思路：本题要注意发球权的不同，所使用的概率也不一样，所以要确定每一局的胜负以 决定下一局甲获胜的概率。比赛实行三局两胜，所以甲可能的得分为 ，若甲的得分为 分，则为连胜两局结束比赛或 2:1 赢得比赛，胜利的情况分为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三 种情况，结合着发球规则可得： ，依次类推便可  2,4,6   52 9P             1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A      2 2 2 22 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 20= 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81                                        166 1 2 4 81P P P           2 4 6 P 5 9 20 81 16 81 5 20 16 2662 4 69 81 81 81E        2 3 1 2   E 1 2 1 2 3 3  1 1 1 2 2 4  1 1 7 3 4 12  A   1 2 1 1 7 2 3 2 2 12P A      4,2,0 4   1 1 1 1 2 1 2 1 74 2 2 2 2 3 2 3 2 12P            计算出其它情况的概率，进而得到分布列 解： 可取的值为 时，比赛的结果为：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲” 时，比赛的结果为：“乙甲乙”，“甲乙乙” 时，比赛的结果为：“乙乙” 的分布列为：  4,2,0 4    1 1 1 1 2 1 2 1 74 2 2 2 2 3 2 3 2 12P            2    1 2 1 1 1 1 12 2 3 2 2 2 3 4P          0    1 1 10 2 3 6P        0 2 4 P 1 6 1 4 7 12   1 1 7 170 2 46 4 12 6E        