2020高中数学 第三章 三角恒等变换 3

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2020高中数学 第三章 三角恒等变换 3

‎3.2 简单的三角恒等变换 学习目标:1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 半角公式 ‎(1)sin=± ,‎ ‎(2)cos=± ,‎ ‎(3)tan=± ,‎ ‎(4)tan===,‎ tan===.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)cos =.(  )‎ ‎(2)存在α∈R,使得cos =cos α.(  )‎ ‎(3)对于任意α∈R,sin =sin α都不成立.(  )‎ ‎(4)若α是第一象限角,则tan =.(  )‎ ‎[解析] (1)×.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos =.‎ ‎(2)√.当cos α=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.‎ ‎(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.‎ 10‎ ‎(4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan =成立.‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.已知180°<α<360°,则cos的值等于(  )‎ A.-       B. C.- D. C [∵180°<α<360°,∴90°<<180°,‎ 又cos2=,∴cos α=-.]‎ ‎3.已知2π<θ<4π,且sin θ=-,cos θ<0,则tan的值等于________.‎ ‎-3 [由sin θ=-,cos θ<0得cos θ=-,‎ ‎∴tan=== ‎==-3.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 化简求值问题 ‎ (1)设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于(  )‎ A.       B. C.- D.- ‎(2)已知π<α<,化简:‎ +. ‎ ‎【导学号:84352339】‎ 10‎ ‎[思路探究] (1)先确定的范围,再由sin2=得算式求值.‎ ‎(2)1+cos θ=2cos2,1-cos α=2sin2,去根号,确定的范围,化简.‎ ‎(1)D [(1)∵5π<θ<6π,∴∈,∈.‎ 又cos=a,‎ ‎∴sin=-=-.‎ ‎(2)原式=+.‎ ‎∵π<α<,∴<<,∴cos<0,sin>0,‎ ‎∴原式=+ ‎=-+=-cos.]‎ ‎[规律方法] 1.化简问题中的“三变”‎ ‎(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.‎ ‎(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.‎ ‎(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.‎ ‎2.利用半角公式求值的思路 ‎(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.‎ ‎(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.‎ ‎(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,涉及半角公式的正、余弦值时,常利用sin2=,cos2=计算.‎ ‎(4)下结论:结合(2)求值.‎ 10‎ 提醒:已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.已知cos θ=-,且180°<θ<270°,求tan .‎ ‎[解] 法一:∵180°<θ<270°,∴90°<<135°,即是第二象限角,∴tan <0,‎ ‎∴tan =-=-=-2.‎ 法二:∵180°<θ<270°,即θ是第三象限角,‎ ‎∴sin θ=-=-=-,‎ ‎∴tan ===-2.‎ 三角恒等式的证明 ‎ 求证:=sin 2α.‎ ‎[思路探究] 法一:切化弦用二倍角公式由左到右证明;‎ 法二:cos2α不变,直接用二倍角正切公式变形.‎ ‎[证明] 法一:用正弦、余弦公式.‎ 左边= 10‎ ‎== ‎==sincoscos α ‎=sin αcos α=sin 2α=右边,‎ ‎∴原式成立.‎ 法二:用正切公式.‎ 左边==cos2α·=cos2α·tan α=cos αsin α=sin 2α=右边,‎ ‎∴原式成立.‎ ‎[规律方法] 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简;‎ (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;‎ (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;‎ (4)比较法:设法证明“左边-右边=‎0”‎或“左边/右边=‎1”‎;‎ (5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.求证:‎ =. ‎ ‎【导学号:84352340】‎ ‎[证明] 左边=‎ ‎== 10‎ ‎====右边.‎ 所以原等式成立.‎ 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 ‎ 已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)求证:当x∈时,f(x)≥-. 【导学号:84352341】‎ ‎[思路探究] →→‎ → ‎[解](1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,‎ 所以T==π.‎ ‎(2)证明:令t=2x+,因为-≤x≤,‎ 所以-≤2x+≤,‎ 因为y=sin t在上单调递增,在上单调递减,‎ 所以f(x)≥sin=-,得证.‎ ‎[规律方法] 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ 10‎ ‎(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.‎ ‎[解] (1)∵f(x)=sin+2sin2 ‎=sin+1-cos ‎=2+1‎ ‎=2sin+1‎ ‎=2sin+1,∴T==π.‎ ‎(2)当f(x)取得最大值时,‎ sin=1,‎ 有2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),‎ ‎∴所求x的集合为.‎ 三角函数在实际问题中的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.用三角函数解决实际问题时,通常选什么作为自变量?求定义域时应注意什么?‎ 提示:通常选角作为自变量,求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响.‎ ‎2.建立三角函数模型后,通常要将函数解析式化为何种形式?‎ 提示:化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.‎ ‎ 如图321所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?‎ ‎ 【导学号:84352342】‎ 图321‎ ‎[思路探究] →→ ‎[解] 设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsin α,OB=Rcos α,‎ ‎∴l=OA+AB+OB ‎=R+Rsin α+Rcos α ‎=R(sin α+cos α)+R 10‎ ‎=Rsin+R.‎ ‎∵0<α<,∴<α+<,‎ ‎∴l的最大值为R+R=(+1)R,此时,α+=,即α=,‎ 即当α=时,△OAB的周长最大.‎ 母题探究:1.在例4条件下,求长方形面积的最大值.‎ ‎[解] 如图所示,设∠AOB=α,则AB=Rsin α,OA=Rcos α.‎ 设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,‎ ‎∴S=2Rcos α·Rsin α=R2·2sin αcos α=R2sin 2α.‎ ‎∵α∈,∴2α∈(0,π).‎ 因此,当2α=,‎ 即α=时,Smax=R2.‎ 这时点A,D到点O的距离为R,‎ 矩形ABCD的面积最大值为R2.‎ ‎2.若例4中的木料改为圆心角为的扇形,并将此木料截成矩形,(如图322所示),试求此矩形面积的最大值.‎ 图322‎ ‎[解] 如图,作∠POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,‎ 设∠MOE=α,α∈,在 Rt△MOE中,ME=Rsin α,OM=Rcos α,‎ 10‎ 在Rt△ONH中,=tan,‎ 得ON=NH=Rsin α,‎ 则MN=OM-ON=R(cos α-sin α),‎ 设矩形EFGH的面积为S,‎ 则S=2ME·MN=2R2sin α(cos α-sin α)‎ ‎=R2(sin 2α+cos 2α-)=2R2sin-R2,‎ 由α∈,则<2α+<,‎ 所以当2α+=,‎ 即α=时,Smax=(2-)R2.‎ ‎[规律方法] 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 (1)方法:解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.‎ (2)注意:在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面几何性质,寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.‎ 提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.‎ ‎ [当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.已知cos α=,α∈,则sin 等于(  )‎ ‎ 【导学号:84352343】‎ A.         B.- C. D. A [由题知∈,∴sin >0,sin ==.]‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是(  )‎ A. B. C. D.π C [f(x)=cos x-sin x=cosx+.当x∈[0,a]时,x+∈,a+,所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.故选C.]‎ 10‎ ‎3.函数f(x)=sin2x的最小正周期为________.‎ π [因为f(x)=sin2x=,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.]‎ ‎4.设a=sin 2°+cos 2°,b=1-2sin213°,c=,则a,b,c的大小关系是________. ‎ c<a<b [a=cos 60°sin 2°+sin 60°cos 2°=sin 62°,‎ b=1-2sin213°=cos 26°=sin 64°,‎ c==sin 60°,又y=sin x在上为增函数,‎ ‎∴c<a<b.]‎ ‎5.北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,求cos 2θ.‎ 图323‎ ‎[解] 由题意,5cos θ-5sin θ=1,θ∈,‎ 所以cos θ-sin θ=.‎ 由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,‎ 所以cos θ+sin θ=,‎ 所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.‎ 10‎
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