专题18 三角恒等变换-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题18 三角恒等变换-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 运用转化与化归思想 使用情景：含不同角的三角函数式类型 解题模板：第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；‎ 第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．‎ ‎【变式演练1】（1）化简：．‎ ‎（2）若、为锐角，且，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 考点：1诱导公式；2同角三角函数基本关系式；3两角和差公式．‎ ‎【变式演练2】已知 均为锐角，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 考点：1. 同角三角函数基本关系；2. 两角差的余弦公式 方法二 运用函数方程思想 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；‎ 第二步 求解方程组；‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 已知，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得： ‎ 故选：B ‎【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. ‎ 例3若，，，且，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【变式演练3】设是方程的两根，则的值为（ ）‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，根据．‎ 考点：1．韦达定理；2．两角和的正切公式．‎ 名师点睛：此题考查两角和的正切公式的整体思想，是方程的两个根，但不要求方程的两根分别是多少，而用韦达定理，整体求两根之和，两根之积，然后代入．‎ ‎【变式演练4】方程两根，且，则 ；‎ ‎【答案】‎ 考点：两角和差公式以及正切函数的性质.‎ 方法三 运用换元思想 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 运用换元法将未知向已知转化；‎ 第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；‎ 第三步 得出结论.‎ 例5 若求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.‎ ‎【变式演练4】若 是三角形的最小内角，则函数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由,令而,得；又,得，得，则,所以函数的最小值为.故选A. ‎ 考点：正弦、余弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国III文，4】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 .‎ 所以选A. ‎ ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ 考点：三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 ‎ ‎4．【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．‎ ‎5.【2015高考重庆，文6】若,则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎6.【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎7.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.‎ ‎【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴，∴.选B。‎ ‎2．【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考 数学（联考）试题】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学文试题】设为锐角，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4．【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研数学（理）试题】已知锐角满足 ‎，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，则 ，‎ 由 得： ‎ ‎ ‎ ‎.选C ‎【点睛】本题考查有关三角函数求值问题，借助诱导公式、同角三角函数关系、和角、差角、二倍角三角函数公式进行求值.利用同角函数关系特别是平方关系求值时，要注意角的范围，开方时取的正负号，三角函数求值问题注意两个问题，一是角的关系，二是名的关系，本题抓住了二倍角的关系，利用二倍角的正弦公式，达到了求值的目的.‎ ‎5．【齐鲁名校教科研协作体2018届高三第一次调研联考（理）数学试题】已知均为锐角， ，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 6．【广东省广州2017届高三下学期第一次模拟（文）数学试题】已知，且，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎．选C.‎ ‎7．【四川省成都市双流中学2018届高三11月月考数学（文）试题】若，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，则，可得，则，故选C.‎ ‎8．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题】若，则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的等量关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负！‎ ‎9．【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试（一）数学文试题】已知函数，当时，有最大值，则=__________．‎ ‎【答案】-5/12‎ ‎【解析】‎ 当时，有最大值,‎ ‎=tan ‎10．【吉林省松原市实验高级中学等三校2016届高三下学期联合模拟考试文数试题】‎ 已知， ，那么 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：同角三角函数基本关系和辅助角公式．‎