2019年高考真题理科数学（北京卷）

2019年高考真题理科数学（北京卷）

绝密★本科目考试启用前 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知复数z=2+i，则 ‎（A） （B） （C）3 （D）5‎ ‎（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（3）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 ‎（A）a2=2b2 （B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b ‎（5）若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为 ‎（A）−7 （B）1 （C）5 （D）7‎ ‎（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ‎（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10−10.1‎ ‎（7）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．‎ 其中，所有正确结论的序号是 ‎（A）① （B）② （C）①② （D）①②③‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．‎ ‎（10）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．‎ ‎（12）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．‎ ‎（13）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃、价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．‎ ‎（Ⅰ）求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（B–C）的值．‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额（元）‎ 支付方式 ‎（0，1000]‎ ‎（1000，2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1

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