2020高中数学 第一章 三角函数 1

2020高中数学 第一章 三角函数 1

‎1.4.1　‎正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．‎ 图141‎ ‎2．正弦函数图象的画法 ‎(1)几何法：‎ ‎①利用单位圆中正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；‎ ‎②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．‎ ‎(2)五点法：‎ ‎①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；‎ ‎②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．‎ ‎3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．‎ 图142‎ ‎4．余弦函数图象的画法 ‎(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．‎ ‎(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．‎ 8‎ 思考：y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？‎ ‎[提示]　因为cos x＝sin，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．(　　)‎ ‎(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．(　　)‎ ‎(3)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(　　)‎ ‎[解析]　由y＝sin x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；‎ 由y＝cos x(x∈R)图象可知(3)错误．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的列表．‎ x ‎0‎ ‎①‎ ‎2π ‎－sin x ‎②‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎③‎ ‎0‎ ‎①________；②________；③________.‎ π　0　1　[用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]‎ ‎3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．‎ ‎2　[由图象可知：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 正弦函数、余弦函数图象 的初步认识 ‎　(1)下列叙述正确的是(　　)‎ ‎①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；‎ ‎②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；‎ ‎③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围. ‎ A．0　　　 B．1个 C．2个 D．3个 ‎(2)函数y＝sin|x|的图象是(　　)‎ 8‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．‎ ‎(2)y＝sin|x|＝ 结合选项可知选B.]‎ ‎[规律方法]　1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．‎ ‎2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．‎ ‎3．正、余弦曲线的对称性 对称中心 对称轴 y＝sin x(x∈R)‎ ‎(kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z y＝cos x(x∈R)‎ ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．关于三角函数的图象，有下列说法：‎ ‎①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；‎ ‎②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；‎ ‎③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；‎ ‎④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．‎ 其中正确的序号是________．‎ ‎②④　[对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；‎ 对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]‎ 用“五点法”作三角函数的图象 ‎　用“五点法”作出下列函数的简图．‎ ‎(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；‎ ‎(2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π). 【导学号：84352075】‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解]　(1)①取值列表如下：‎ 8‎ x ‎0‎ π ‎2π sin x ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1－sin x ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(2)①取值列表如下：‎ x ‎0‎ π ‎2π cos x ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎－1＋cos x ‎0‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎②描点连线，如图所示．‎ ‎[规律方法]　用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 ‎(1)列表：‎ x ‎0‎ π ‎2π sin x (或cos x)‎ ‎0(或1)‎ ‎1(或0)‎ ‎0(或－1)‎ ‎－1(或0)‎ ‎0(或1)‎ y b(或A＋b)‎ A＋b (或b)‎ b(或－A＋b)‎ ‎－A＋b (或b)‎ b(或A＋b)‎ ‎(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．‎ ‎(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象．‎ 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的图象．‎ 8‎ ‎[解]　取值列表如下：‎ x ‎0‎ π ‎2π sin x ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ＋sin x ‎－ 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)‎ 正弦(余弦)函数图象的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．方程sin x＝x的实根个数有多少个？‎ 提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.‎ ‎2．函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内有多少个零点？‎ 提示：令f(x)＝0，所以＝cos x，分别作出y＝，y＝cos x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．‎ ‎　(1)函数y＝的定义域为________．‎ ‎(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数. 【导学号：84352076】‎ ‎[思路探究]　(1)→→ ‎(2)→ ‎→→ ‎(1)　　[(1)由2sin x－1≥0得sin x≥，‎ 画出y＝sin x的图象和直线y＝.‎ 可知sin x≥的解集为.‎ ‎(2)建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．‎ 8‎ 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．‎ 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．]‎ 母题探究：1.本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？‎ ‎[解]　由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝.‎ 观察图象可知cos x≥的解集是 .‎ ‎2．本例(1)中函数改为y＝lg＋，应如何解答？‎ ‎[解]要使原函数解析式有意义，‎ 必须满足＜sin x≤.‎ 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，‎ 作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；‎ 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.‎ 观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，‎ 所以＜sin x≤的解集为 或.‎ ‎[规律方法]　1.用三角函数的图象解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 ‎(1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象．‎ 8‎ ‎(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．‎ ‎(3)确定sin x＞a(或cos x＞a)的解集．‎ ‎2．利用三角函数线解sin x＞a(或cos x＞a)的方法 ‎(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．‎ ‎(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　)‎ A．　　　　　　　 B． C．(π，0) D．(2π，0)‎ A　[五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.]‎ ‎2．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)‎ A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 C　[由解析式可知y＝cos x的图象过点(a，b)，则y＝－cos x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]‎ ‎3．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有(　　) ‎ ‎【导学号：84352077】‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B　[观察图象(略)易知：有两个交点．]‎ ‎4．不等式组的解集是________．‎ ‎(π，5]　[当≤x≤π时0≤sin x≤1，‎ 当π＜x≤5时sin x＜0，‎ 所以原不等式的解集为(π，5]．]‎ ‎5．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图. ‎ ‎【导学号：84352078】‎ ‎[解]　列表：‎ x ‎0‎ π ‎2π ‎－2cos x ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎－2cos x＋3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：‎ 8‎ 8‎