2020高中数学第二章函数2
2.4.2二次函数的性质
[A 基础达标]
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x<5)的值域为( )
A． (0，5] B．[0，5]
C．[5，9] D．(0，9]
解析：选D.f(x)＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9(0≤x<5)，当x＝2时，f(x)最大＝9；当x>0且x接近5时，f(x)接近0，故f(x)的值域为(0，9]．
2．已知函数y＝x2－6x＋8在[1，a)上为减函数，则a的取值范围是( )
A．a≤3 B．0≤a≤3
C．a≥3 D．1
0时，f(x)的对称轴为x＝，在上是递减的，由题意(－∞，2)⊆，
所以2≤，即a≤，综上，a的取值范围是.
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)＜f(0)＜f(2)
B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2)
D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
解析：选D.函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图像的对称轴为x＝，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.
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5．设二次函数f(x)＝－x2＋x＋a(a<0)，若f(m)>0，则f(m＋1)的值为( )
A．正数 B．负数
C．非负数 D．正数、负数或零都有可能
解析：选B.由题意可得，f(x)＝－x2＋x＋a的函数图像开口向下，对称轴为x＝，又a<0，则函数f(x)的图像与y轴的交点在y轴负半轴上，如图所示．
设使f(m)>0的m的取值范围为－ 0，
因此u(2)>0即4－2a＋4>0，所以a<4.
答案：(－∞，4)
8．已知二次函数f(x)的二次项系数a＜0，且不等式f(x)＞－x的解集为(1，2)，若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是________．
解析：由不等式f(x)＞－x的解集为(1，2)，
可设f(x)＋x＝a(x－1)(x－2)(a＜0)，
所以f(x)＝a(x－1)(x－2)－x＝ax2－(3a＋1)x＋2a
＝a－＋2a，
其最大值为－＋2a，
5
若－＋2a＞0，可得8a2＜(3a＋1)2，
即a2＋6a＋1＞0，
解得a＜－3－2或a＞－3＋2.
答案：(－∞，－3－2)∪(－3＋2，0)
9．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)在 [2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，
所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，
即2a2－a－3＝0，
所以a＝－1或a＝.
(2)函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6在[－2a，＋∞)上是增加的，要使函数f(x)在[2，＋∞)上是增加的，只需－2a≤2，所以a≥－1，故a的取值范围是[－1，＋∞)．
10．即将开工的上海与周边城市的城际列车路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次．每天来回次数t是每次拖挂车厢个数n的一次函数．
(1)写出n与t的函数关系式；
(2)每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数y最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)
解：(1)这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，
则设t＝ n＋b.由解得
所以t＝－2n＋24.
(2)每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，
则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)，
当n＝＝6时，总人数最多，最多为15 840人．
故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多，最多为15 840人．
[B 能力提升]
1．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若x1f(x2)
B．f(x1)0，
所以f(x1)－f(x2)＝ax＋2ax1＋4－(ax＋2ax2＋4)
＝a(x－x)＋2a(x1－x2)
＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)
＝2a(x1－x2)<0，
所以f(x1)
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