- 2021-06-21 发布 |
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文档介绍
2020版高中数学 第三章一般形式的柯西不等式
二 一般形式的柯西不等式 课后篇巩固探究 A组 1.已知a,b,c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是( ) A.A>B B.A≥B C.A0, 所以. 答案B 8 2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z 的最大值等于( ) A.2 B.4 C. D.8 解析由柯西不等式,可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于2. 答案A 3.已知+…+=1,+…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(+…+)×(+…+)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 答案A 4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为( ) A.81 B.49 C.9 D.7 8 解析由柯西不等式,可得(a+b+c)··81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9. 答案C 5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( ) A. B. C.6 D.3 解析由柯西不等式,得 (12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1, 即x2+y2+(1-x-y)2≥, 当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值. 答案B 6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值为 . 解析由柯西不等式,得()2 =(1×+1×+1×)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) 8 =3[4(a+b+c)+3]=21. 当且仅当a=b=c=时,取等号. 故的最大值为. 答案 7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为 . 解析因为(a+b+c) =[()2+()2+()2] =18, 所以≥2当且仅当,即a=b=c=3时,等号成立,故的最小值为2. 答案2 8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则= . 8 解析由柯西不等式知25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当=k时,等号成立. 由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=, 所以=k=. 答案 9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证≥9. 证明左边=[2(a+b+c)]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立. 10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值. 解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2). 因此x2+y2+z2≥,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为. B组 8 1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析由柯西不等式,得 (x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 所以-3≤x+2y+2z≤3. 当且仅当|x|=时,等号成立. 所以x+2y+2z的最大值为3. 答案C 2.导学号26394054已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于( ) A. B. C.13 D.18 解析当且仅当时,等号成立,故最大值为. 答案A 3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是 . 解析(a+b+c) 8 =[()2+()2+()2]· ≥=(2+3+6)2=121. 当且仅当时,等号成立. 答案121 4.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9. 考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9. 答案9 5.导学号26394055已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,=12,求证0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 证明由柯西不等式,得 (x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(), 由题设条件,得 x2+x3+x4=6-x1,=12-, 代入上式,得(6-x1)2≤3(12-), 8 ∴36-12x1+≤36-3, ∴4-12x1≤0,∴0≤x1≤3, 同理可证0≤xi≤3(i=2,3,4). 综上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 6.导学号26394056设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值. 解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,故emax=. 8查看更多