上海教育高中数学一下两角和与差的余弦正弦和正切篇

上海教育高中数学一下两角和与差的余弦正弦和正切篇

‎5.4 (1)两角和与差的余弦公式 上海市杨浦高级中学 曹丽琼 一、教学内容分析 两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实.‎ 两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点.这一推导过程难度较大也比较复杂，教师可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三角比.在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣,在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导.对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，教师需指出或以引导的方式加以更正.‎ 在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆.在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难.‎ 二、教学目标设计 探求两角和与差的余弦公式的推导，经历公式推导的过程，并在此过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法.初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问题；‎ 三、教学重点及难点 两角和与差的余弦公式的推导；‎ 掌握和应用两角和与差的余弦公式.‎ 四、教学流程设计 实例引入、设置问题 猜测公式、实例检验 转换思路、以求代猜 数形结合、推证公式 强调特征、巩固应用 求值化简、简单证明 课堂小结、布置作业 五、教学过程设计 ‎ 一、讲授新课 ‎1、实例引入 ‎（1）、 ，而，那么等式是否成立 ‎（2）对于任意角、，的余弦如何用和的三角比来表示？‎ ‎[说明]（1），而，所以等式不成立 ‎ （2）对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现不能用简单的或是等来表示.从而明确余弦运算不满足分配律.‎ ‎2、公式推导 设、是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角、，射线、分别为其终边，与单位圆相交于、两点，其坐标分别为，.‎ 方法一、‎ 将角的终边、都绕旋转角，分别转到和的位置，则，.‎ 根据两点间距离公式，有 因为绕旋转角得到，所以 从而 也可以将角的终边、都绕旋转角，则同理可得 ‎，一方面由诱导公式可知，所以得到.另一方面，由于、表示任意角，所以用替换，替换公式仍成立.从而得到.[‎ 这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角和都成立.‎ 在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：.‎ ‎3、强调特征 两角和与差的余弦公式在结构上的特征为 ‎1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；‎ ‎2、左右两边的加减号互异 ‎4、例题解析 例1、利用两角和与差的余弦公式，求、的值.‎ 解：、‎ ‎[说明]可以选择不同的角及公式，例如，、；、‎ 例2、化简：‎ ‎ 解：‎ ‎[说明]两角差的余弦公式逆用.‎ 例3、求的值.‎ ‎ 解：原式 ‎[说明]公式变式训练.‎ 例4已知三角形，求证：‎ ‎[说明] ‎ 三、巩固练习 课本第54页 练习5.4（1）：1/（2）；2‎ 四、课堂小结 ‎（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.‎ ‎（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单 三角恒等式证明.‎ 五、课后作业 思考题：求证下列恒等式：（1）；（2）‎ 课本第54页 练习5.4（1）3；4‎ 六、教学设计说明 两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证明变成真正有意义的学习活动.‎ 所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的联想：等于什么？一定是与、角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分配律：，于是猜测.经过实例检验说明上式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验…，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：在直角坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生 体会到数形结合这一数学思想的美妙.‎ 而在单位圆中作出角、时，‎ 很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：‎ 从而没能使接下去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更好的认识，对变量替换思想有更好的理解，更使得学生的证明能力得到提高，数学的思维方法得到了培养.‎ 在得到公式后，教师应对该公式的重要性加以肯定和突出.不仅能加强学生对公式的重视，更能使学生感到其努力是有价值的，从中体验到成就感.‎ 将课本的例题4作为思考题留给学生，除了课堂时间有限这一因素之外，也作为与下一堂课的衔接.‎ ‎5.4 (3)两角和与差的正切公式 上海市杨浦高级中学 曹丽琼 一、教学内容分析 ‎ 推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用.推导的难度并不大，学生可以独立完成.对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的相互联系，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下基础.‎ 要使学生能够正确、熟练、较灵活的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可提高学生的观察以及发散思维能力.‎ 二、教学目标设计 ‎（1）熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征]‎ ‎（2）初步了解公式的作用，能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证明（3）在公式的推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的能力.‎ 三、教学重点及难点 两角和与差的正切公式的推导和应用；‎ 四、教学流程设计 复习引入、设置问题 联系已知，推导公式 小结特征、理解记忆 求值化简、恒等证明 常用变式、巩固练习 课堂小结、布置作业 五、教学过程设计 ]‎ 一、讲授新课 ‎1、复习引入 ‎（1）两角和与差的余弦公式 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 其中，①式可在②式中用替换而得.‎ ‎（2）两角和与差的正弦公式 ‎，‎ 正弦公式可以通过诱导公式，将转化为，继而应用余弦公式推得 问题：如何用以及表示？‎ ‎2、公式推导 学生思考、独立完成.‎ 分子、分母分别除以（），并化简得 ‎ ③‎ 思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？‎ 思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由 学生回答 ‎1、同理可得 ④；‎ 或由变量替换的思想，用替换两角和公式中的即可.‎ ‎2、不是，使用③式前需要先保证、都有意义，且.即、、都不能取（）.同理，④式中的、、也不能取（）‎ 这是使用两角和与差正切公式的条件.如果、中有取到（）的角，又如何求或呢？‎ 学生回答 ‎[说明] 明确公式成立的条件，使学生的认识完整化.‎ ‎3、强调特征 ‎（1）等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.‎ ‎（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.‎ ‎[说明]学生掌握公式的特征，不仅从简单的对比而得，更要从推导过程中去理解 ‎4、例题解析 例1、 已知，，求下列三角比的值：‎ ‎（1）；（2）‎ 解答：（1）；（2）‎ ‎[说明]教材中没有继续推导两角和与差的余切公式.在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或通过商数关系转化为正余弦来计算.‎ 例2、运用两角和的正切公式，求的值.‎ 解答：m]‎ ‎[说明]方法一、可先计算.方法二、将表达式中的1看作为 ‎，逆用两角和的正切公式先化简后求值.‎ 方法二突现了“1”在三角问题中的重要地位.‎ 例3、化简 解答：‎ ‎[说明]两角和与差正切公式的常用变式 ‎；‎ ‎.‎ 例4、已知、是方程的两个根，求及.‎ 解答：；或 ‎[说明]两角和与差的正切公式其结构特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联系.‎ 三、巩固练习 例5、不查表计算 解答：‎ 例6、已知，，求的值.‎ 解答：‎ 例7、证明下列三角恒等式：‎ ‎（1） （2）‎ 四、课堂小结 ‎（1）应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.‎ ‎（2）能够对所学的公式作正、逆双向使用，进行化简与求值.熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.‎ 五、课后作业 课本第59 练习5.4（3）1、2‎ 习题5.4 A组：2/（5）、（6‎ ‎5.4 (2)两角和与差的正弦公式 上海市杨浦高级中学 曹丽琼 一、教学内容分析[‎ ‎ 本节课的重点在于两角和与差的正弦公式的推导以及公式的应用.学生之前已经学习了两角和与差的余弦公式，又通过第五、六组诱导公式了解了正余弦之间的相互转化.在经过复习之后，教师可提出问题：如何用角与的三角比表示以及的正弦三角比？之前的复习作为铺垫，有利于渗透用已知解决未知问题的化归思想，有助于同学推导公式.‎ 在得到两角和与差的正弦公式之后，教师需要强调公式的特征，从而便于学生对公式的记忆，有利于公式的应用.因为公式的应用是本节课的难点之一，应用可以包括对公式的正用、逆用、变式以及与余弦公式的综合应用.‎ 二、教学目标设计 ‎（1）应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.‎ ‎（2）初步掌握两角和与差的正弦公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明 ‎（3）通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学兴趣.‎ 三、教学重点及难点 两角和与差的正弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的正弦公式.‎ 四、教学流程设计 复习引入、提出问题 学生讨论，推证公式 强调特征、巩固应用 三角恒等、简单证明 求值化简、综合使用 课堂小结、布置作业 五、教学过程设计 ‎ 一、讲授新课 ‎1、复习引入 上节课学习了两角和与差的余弦公式]‎ ‎，‎ 该式对任意角和成立.作为课后的思考题，要求同学们证明三角恒等式：（1）；（2）.‎ 由这两式又可以进一步得到、，即 ‎ ‎ ‎ [‎ 用替换上述各式中的，则可得到如下各式 ‎ ‎ ‎ ‎ 将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.‎ ‎ 应用两角和与差的余弦公式，十分方便的推导了上述两组公式，实现了两组角间正余弦、正余切的转化.‎ 问题：已知可用和三角比表示以及的余弦三角比，可否用于表示以及的正弦三角比呢？已知的余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？‎ ‎2、公式推导 学生分小组讨论，进行推导.‎ ‎ [‎ ‎ ‎ 称；‎ 为两角和与差的正弦公式，它们对任意角、成立.‎ ‎[说明]其中使用了第五组诱导公式.‎ ‎3、强调特征 两角和与差的正弦公式在结构上的特征为 ‎（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差；‎ ‎（2）左右两边的加减号相同.‎ ‎4、例题解析 例1、 求的值.‎ 解答：原式.‎ ‎[说明]可以选取两角和的正弦公式或余弦公式.‎ 例2、已知，，求 解答：‎ 例3、已知：，，求[解答：‎ 例4、求证：‎ ‎[说明]与平方关系相结合；增强对两角和与差正弦公式结构的理解和记忆；常用的三角恒等式.‎ 例5、已知，，判断是第几象限角.‎ 解答：因为且，所以是第四象限角.‎ ‎[说明]用三角比值的符号确定角所在的象限；体现公式的作用.‎ 三、巩固练习 课本第57页 练习5.4（2）1、2‎ 四、课堂小结 ‎（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式.‎ ‎（2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题.‎ 五、课后作业 课本第57页 练习5.4（2）3、4、5‎ 六、教学设计说明 ‎1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.‎ ‎2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.‎ ‎5.4 (4)两角和与差公式的应用 上海市杨浦高级中学 曹丽琼 一、教学内容分析 通过之前的学习，学生已初步掌握两角和与差的正弦、余弦与正切公式.本节课将对这组公式作进一步的应用，从中体会公式的作用.‎ 辅助角公式的引入是本节课的重点，可以由具体实例出发，使学生经历由具体到一般的抽象思维过程，使辅助角公式的形成自然、易理解.‎ 二、教学目标设计 ‎（1）应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义.能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用 ‎（2）在推导的过程中，进一步提高对比、分析和知识运用的能力，逐步形成从具体到一般的抽象思维以及化归的数学思想.‎ 三、教学重点及难点 两角和与差公式的应用；‎ 辅助角公式的形成、理解.‎ 四、教学流程设计m]‎ 正确选取辅助角，对公式作简单应用 从具体到一般，形成辅助角公式 复习已学公式，设置问题情景 讨论分析，逆向思维 课堂小结、布置作业 五、教学过程设计 一、讲授新课 ‎1、复习引入，设置问题 复习：两角和与差的正弦、余弦公式.‎ ‎；‎ ‎；‎ 快速练习：利用两角和与差公式展开 学生完成.（）‎ 若要将表达式化简为只含一个三角比的形式，则表达式可以是 问题1、表达式还可以是什么？为什么？‎ 学生回答（、等）‎ ‎2、辅助角公式 根据三角函数的周期性可知，（），可以根据实际问题选取值.一般的，取.‎ 结合诱导公式，便可将表达式转化为只含余弦的形式 事实上，也可以直接与余弦两角差的公式作比较，，此时，可将以及看作某角的余弦值和正弦值，从而化简为只含有余弦三角比的表达式.‎ 若将表达式视为，则可逆用两角和的余弦公式.‎ 逆用任一两角和与差的正弦、余弦公式都是可以的，视具体问题而定.‎ 问题2、（1）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是？‎ 学生回答，说明理由.‎ ‎（等）‎ ‎（2）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是 学生回答，说明理由.‎ ‎（等）‎ ‎（3）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是？‎ 学生回答，说明理由.‎ ‎（，这里的需满足：，，故而是第一象限角，其终边是唯一确定的.）‎ 问题３、对于一般形式（、不全为零）如何将表达式化简为只含正弦三角比的形式？‎ ‎ ，‎ 其中（通常取）由，确定.‎ 称上述公式为辅助角公式，角为辅助角.‎ 三、巩固练习 例１、试将以下各式化为（）的形式.‎ ‎（１）　（２）　　（3）‎ 例2、试将以下各式化为（）的形式.‎ ‎（１）　（２）　　（3）‎ ‎[说明]学有余力的学生还可将以上各式化为.‎ 四、课堂小结 学习了如何将形如（、‎ 不全为零）的三角表达式化成只含有正弦或余弦三角比值的形式.能够正确使用辅助角公式和选取辅助角.这一变式对今后学习求三角比的最值等问题有着很大的帮助.‎ 五、课后作业 课本第61页 练习5.4(4) 2‎ 练习册第23页 5‎ 六、教学设计说明 本节课是学生首次接触辅助角公式.这是一个逆向思维的过程，从中可提高学生思维能力.因此，在本节课的教学中，教师应掌握好教学节奏，所设问题须控制好难度，逐步递进.在问题的探究和解决的过程中，充分调动学生的积极性，让学生成为推动知识形成的主要力量.‎