河南省信阳高中、商丘一高2018-2019学年高二上学期第一次联考（1月）数学（理）试题

河南省信阳高中、商丘一高2018-2019学年高二上学期第一次联考（1月）数学（理）试题

信阳高中 商丘一高 ‎2018—2019学年度上学期联考试卷 高二数学（理科）试卷 ‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ １． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干　　‎ 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）命题“对”的否定是( )‎ ‎ （A）不 （B） ‎ ‎ （C） （D）对 ‎（2）在等差数列中，已知，，则有（　　） （A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）在中,角的对边分别为,若，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知,,则的最小值为( )‎ ‎ （A）4 （B） （C）2 （D）1‎ ‎（5）已知向量，，且与互相垂直，则 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）在中,角的对边分别为,若，则的最小值为（   ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）设等比数列的公比为 ，且 ， 为数列 前 项和，记 ，则( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（8）设双曲线（）的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）点的坐标满足条件，若 ,,且，则的最大值为( ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）用数学归纳法证明时，到时，不等式左边应添加的项为（ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（11）若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点，设椭圆的离心率为，设双曲线的离心率为，若，则（ ）‎ ‎ （A）4 （B） （C）2 （D）1‎ ‎（12）设直线交于抛物线：相交于两点，与圆：相切于点，且为线段的中点。若这样的直线恰有4条，则的取值范围为 (   )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；‎ ‎2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎（13）不等式的解集为 .‎ ‎（14）已知,,若是的充分不必要条件，‎ ‎ 则的取值范围为__________.‎ ‎（15）函数的最大值为__________.‎ ‎（16）已知等差数列的首项为，公差为-4，前项和为，若存在，使得，‎ ‎ 则实数的最小值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（17）(本小题满分10分)‎ ‎ 在中,角的对边分别为,已知，，.‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）若为锐角，求的值及的面积.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数；‎ ‎ （Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎ （Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎（19）(本小题满分12分)‎ 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，， ‎ ‎，平面，，. ‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 已知数列的前 项和，是等差数列，且.‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）令，求数列的前 项和.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线；‎ ‎ （Ⅰ）过点作直线与抛物线交于两点，弦恰被平分，求弦所在 ‎ 直线方程.‎ ‎ （Ⅱ）过点作一条直线与抛物线交于两点，求弦的中点 ‎ 的轨迹方程.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为。‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在与点不同的定点使得恒成立？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎2018—2019学年度上学期联考试卷 高二数学（理科）试卷参考答案 ‎ 一、选择题 ‎1. C 2.A 3.C 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 9. D 10. C 11. C 12. B 二．填空题 ‎13. 14. 15. 16. 15‎ 三、解答题：‎ ‎17.(Ⅰ)正弦定理…………………………2分 ‎ 得…………………………4分 ‎（Ⅱ）因为，且 ‎ 所以，…………………………5分 ‎ 由余弦定理得…………………………7分 ‎ 所以…………………………10分 ‎18.（Ⅰ）当时，得，则…………………………2分 ‎ 当时，无解…………………………4分 ‎ 当时，得，则 综上…………………………6分 ‎（Ⅱ）.…………………………7分 当时，‎ ‎…………………………9分 则，所以…………………………12分 ‎19. (Ⅰ)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.‎ 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD. …………………………3分 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，‎ 所以BD⊥平面AED. …………………………6分 ‎(Ⅱ)　由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，‎ 因此CA，CB，CF两两垂直．‎ 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴， ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，‎ 则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，－，0)，F(0,0,1) …………………………8分 因此＝(，－，0)，＝(0，－1,1)．‎ 设平面BDF的一个法向量为＝(x，y，z)，‎ 则·＝0，·＝0.‎ 所以x＝y＝z 取z＝1，则＝(，1,1) …………………………10分 由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，‎ 则cos〈，〉＝＝.‎ 所以二面角F－BD－C的余弦值为…………………………12分 ‎（20）(Ⅰ)当时，…………………………2分 当时，符合上式 所以.…………………………3分 则，得 所以…………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得…………………………8分 两式作差…………………………12分 ‎21、(Ⅰ)由题知，当轴时，不满足题意…………………………1分 设，，直线 ‎，…………………………3分 所以，又，所以 所以直线方程为…………………………6分 ‎(Ⅱ) 设，，弦中点为 则，当直线的斜率存在时，…………………8分 所以，又…………………………9分 即…………………………11分 当轴时，满足题意，‎ 所以弦的中点的轨迹方程…………………………12分 ‎22. （Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，‎ 因此，，解得，‎ 所以椭圆方程为；…………………………4分 ‎（Ⅱ）当直线平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，‎ 所以点在轴上，可设点的坐标为；…………………………5分 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，‎ 则的坐标分别为，，‎ 由，有，解得或。‎ 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只可能为……………6分 下面证明：对任意直线，均有。‎ 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立。‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，‎ 联立，得，‎ 其判别式，‎ 所以，，，…………………………8分 因此。‎ 又因为点关于轴对称的点的坐标为，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以，即三点共线，…………………………9分 所以，‎ 故存在与点不同的定点，使得恒成立。……………………12分