山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（3）数学（文）试题 Word版含解析

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（3）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 文科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.已知函数，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.‎ ‎【详解】,，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.‎ ‎2.设i是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求出,代入原式计算即可.‎ ‎【详解】复数，∴，，则.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.‎ ‎3.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.‎ ‎【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.‎ ‎4.已知,，若，则向量在向量方向的投影（ ）‎ A. -3 B. -1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据向量的运算法则将转化为,然后根据已知,以及向量在向量方向的投影为,最后代入数据计算,即可得出结果.‎ ‎【详解】∵∴，‎ ‎∴，向量在向量方向的投影为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的相关性质,主要考查了向量的运算法则、向量的数量积以及投影的相关性质,考查计算能力与推理能力,难度较易.‎ ‎5.在中，A、B为其内角，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 取特殊值，分别令两个角为和，可验证出充分性和必要性均不成立，从而得到结论.‎ ‎【详解】若，，则，此时，故充分性不成立；‎ 若，，则，此时，故必要性不成立.‎ 综上所述：“”是“”的既非充分也非必要条件 故选 ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，通过取特殊值的方式可快速判定充分性和必要性均不成立.‎ ‎6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）‎ A. B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.‎ ‎【详解】执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.‎ - 22 -‎ ‎7.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.‎ ‎【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.‎ - 22 -‎ ‎8.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.‎ ‎【详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.‎ ‎9.在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则a的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件,画出可行域,求出可行域顶点的坐标再利用几何意义可知直线必过的中点,求解代入即可.‎ ‎【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：‎ - 22 -‎ 因为直线过定点，所以要使表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则直线必过的中点，由得.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题,难度一般.‎ ‎10.已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即 在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.‎ - 22 -‎ ‎11.已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．‎ ‎【详解】依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.‎ ‎12.若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有且只有一个零点，等价于关于x的方程 - 22 -‎ 有且只有一个实根,通过变形分离参数,构造函数,利用函数的单调性和极值,通过数形结合,转化求解即可．‎ ‎【详解】函数有且只有一个零点，等价于关于x方程有且只有一个实根．显然，‎ ‎∴方程有且只有一个实根．‎ 设函数，则．‎ 设，为增函数，‎ 又．∴当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数；∴在时取极小值1．‎ 当趋向于0时，趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，‎ 趋向于负无穷大；又当趋向于正无穷大时，‎ 趋向于正无穷大．∴图象大致如图所示：‎ ‎∴方程只有一个实根时，实数a的取值范围为.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点的问题,解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是关键,着重考查了转化与化归思想和数形结合思想,以及分析问题和解答问题的能力,难度困难.‎ 二、填空题（将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13.高三某班有60名学生，现采用系统抽样方法抽取5人做问卷调查，将这60名学生按1，2，…，60随机编号，已知27号学生在样本中，则样本中编号最大的学生的编号是________．‎ ‎【答案】51.‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意名学生,抽取人,组距为,根据27号学生在样本中, 样本中编号最大的学生的编号是即可求解.‎ ‎【详解】样本间距为，则样本中编号最大的学生的编号是.‎ 故答案为51．‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样问题,关键是确定组距,依次等距抽取,把握系统抽样的原则是解答此类问题的关键,难度容易.‎ ‎14.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.‎ ‎【详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.‎ ‎15.过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率．‎ ‎【详解】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.‎ ‎16.三棱锥中，点P是斜边AB上一点．给出下列四个命题：‎ ‎①若平面ABC，则三棱锥的四个面都是直角三角形；‎ ‎②若S在平面ABC上的射影是斜边AB的中点P，则有；‎ ‎③若，，，平面ABC，则面积的最小值为3；‎ ‎④若，，，平面ABC，则三棱锥的外接球体积为．‎ - 22 -‎ 其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎【答案】①②④.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面，所以，，从而得到四个面都是直角三角形; 连接,当平面时，得到，从而得到；当平面时，. 时，取得最小值，由此求出的最小值是; ‎ 三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球,，，即可求出体积.‎ ‎【详解】对于①，因为平面，所以，，，又，∴平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；‎ 对于②，由在平面上射影是斜边的中点，可得平面，连接，有，，，因为P是斜边AB的中点，所以，故，∴②正确；‎ 对于③，当平面时，.当时，取得最小值，由等面积可得此时长度为，所以的最小值是；∴③不正确；‎ 对于④，若，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，‎ ‎④正确，故答案为①②④．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线线,线面的位置关系,几何体外接球体积的运算,考查学生的空间想象能力和计算能力,难度一般.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知等差数列的前n项和为，且满足，．‎ - 22 -‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知利用等差数列的通项公式和求和公式可求得,即可求得,进而求得.‎ ‎(2)由已知可得,裂项求和即可得化简即可证得结论.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为d，,，‎ ‎,,，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴数列的前项和为 ‎，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了裂项相消求数列的和,难度较易.‎ ‎18.某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了20名男生和20名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的茎叶图．‎ - 22 -‎ 如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”．‎ ‎（1）根据频率分布直方图填写下面列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过10%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？‎ 男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计 附：‎ ‎0.25‎ ‎015‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.814‎ ‎5.024‎ ‎（2）在所抽取的20名女生中，从过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于86本的学生中随机抽取两名，求抽出的两名学生都是“书虫”的概率．‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎(1) 由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;‎ ‎(2) 用列举法计算基本事件数,求出对应的概率值.‎ ‎【详解】（1）由已知数据得：‎ 男生 女生 总计 书虫 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ 非书虫 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中数据，，由于，‎ 所以在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．‎ ‎（2）设抽出的两名学生都是“书虫”为事件A．课外阅读的书数(本)不低于86本的学生共有6人，从中随机抽取2个的基本事件为 ‎，，共15个，‎ 而事件A包含基本事件：，，共10个．‎ 所以所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题,难度较易.‎ ‎19.如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且，点F是BC上一点，且．‎ - 22 -‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥的体积等于四棱锥的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取的中点,连结,可知．由平面平面，则有平面,，在菱形中,,可得即证得平面.所以．‎ ‎(2) 由已知可求得,，即可证得存在常数时满足题意.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连结，由题意知．‎ 又因为平面平面，所以平面．‎ 因为平面，所以，‎ 因为四边形为菱形，所以，‎ 又因为，所以，所以平面.‎ 又平面，所以．‎ ‎（2）解：，‎ ‎，‎ ‎，所以存在常数，‎ 使得三棱锥D﹣FEB的体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积的.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的性质和棱锥体积的计算,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.‎ - 22 -‎ ‎20.已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线l交椭圆于A，B两点，的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由椭圆定义的周长为,则有,代入方程即可解得,即可解得所求.‎ ‎(2)设直线方程，代入椭圆方程，设利用两点间距离公式,韦达定理即可求得通过化简即可证得和为定值.‎ ‎【详解】（1）根据椭圆的定义，可得，，‎ ‎∴的周长为，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴椭圆的方程为，将代入椭圆的方程可得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：由（1）可知，得，‎ 依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，‎ 由消去x，整理得，‎ - 22 -‎ 设，则，，‎ 不妨设，，‎ 同理，‎ 所以 即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,考查学生的计算能力,难度较难.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对任意的都成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;‎ ‎(2) 根据题意可得对任意的，都成立，‎ 当时,显然成立;当时,设， 问题即转化为恒成立,只需要即可,因为 (当且仅当时取等号)，即满足即有对 - 22 -‎ 恒成立,构造,通过求导判断函数的单调性求最小值,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ 当时，，，‎ ‎∴函数在处的切线方程为，即.‎ ‎（2）根据题意可得对任意的，都成立，‎ 当时，不等式即为，显然成立；‎ 当时，设，则不等式恒成立，‎ 即为不等式恒成立，‎ ‎∵ (当且仅当时取等号)，‎ ‎∴由题意可得，即有对恒成立，‎ 令，则，‎ 令，即有，‎ 令，则，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 又，有且仅有一个根，‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，取得最小值，为，∴．‎ ‎∴实数的取值范围 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,‎ - 22 -‎ 考查利用导数研究函数恒成立问题求解参数范围,考查转化与化归思想,考查计算能力,综合性较强,难度困难.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ 选修4—4坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用代入消元法,可求直线l普通方程,根据极坐标与直角坐标互化原则可得圆直角坐标方程;‎ ‎(2)将直线的参数方程标准化,借助标准参数方程中参数的几何意义,通过直线与圆联立即可求得.‎ ‎【详解】（1）将直线l的参数方程(t为参数)消去参数，‎ 可得直线l的普通方程为，即．‎ 由，得，所以,‎ 得，即．‎ - 22 -‎ ‎（2）由得（m为参数），‎ 将其代入，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程互化、极坐标和直角坐标方程互化,考查直线参数的几何意义,难度一般.‎ 选修4—5不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)去绝对值将函数化为分段函数的形式,解分段函数的不等式即可.‎ ‎(2) 恒成立，即求函数根据绝对值不等式的性质可得,故原不等式等价于,计算求解即可.‎ ‎【详解】（1）函数，‎ 当时，不等式即，求得，∴；‎ 当时，不等式即，求得，∴；‎ 当时，不等式即，求得，∴ ．‎ - 22 -‎ 综上所述，不等式的解集为或．‎ ‎（2）当时，‎ ‎∵不等式恒成立，∴，‎ ‎∴或，解得或，‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解,主要采用的方法是分类讨论,本题还考查了含参绝对值函数的最值问题,解决问题的方法是利用绝对值不等式的性质进行求解,难度一般.‎ - 22 -‎ - 22 -‎