北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（二） Word版含答案

北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（二） Word版含答案

‎2020北京卷高考数学押题仿真模拟（二）‎ 本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2． 设,,,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 3. ‎ 下列函数中，最小正周期为的是 （A） ‎ （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎4. 若，，则 ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 ‎ 5. ‎ 与圆相切于原点的直线方程是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎6. 设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“为递增数列”的 13‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为，则该几何体体积为 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8.双曲线的方程，左右焦点分别为，为右支上的一点，，以为圆心，为半径的圆与相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎9. 已知函数，，若对任意的实数，总存在实数使得成立，则的取值范围是 ‎（A）　　 （B）‎ ‎（C） （D）　‎ 13‎ ‎10. 已知函数，，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）复数=_________‎ 答案：‎ ‎（12）已知，，则.‎ 答案： ‎ （13） 在中,若,则.‎ 答案：‎ ‎（14） 为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度（单位:）随时间（单位:）的变化关系为,则经过后池水中药品浓度达到最大.‎ 答案：2‎ ‎（15）‎ 13‎ 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．‎ 答案. ‎ ‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值，若不存在，请说明理由.‎ 设等差数列的前项和为，是等比数列， ，，，是否存在，使得且？ ‎ ‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ 解析：因为等比数列中，，，所以其公比 从而，若存在使得，则，‎ 同理：，得：.即：---用求和公式较繁！‎ 总体分析：等比数列可求！等差数列缺一个条件！‎ 方案1：‎ 13‎ 若选①，由，得，.当时，‎ ‎，存在.‎ 或,或解不等式组.‎ 方案2：若选②，，，是递减数列，不存在，.‎ 方案3：若选③，，，，当时，，.‎ 17. ‎(本小题共14分)‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，,， .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知平面平面，，‎ P A B C D E x y z ‎ 且平面平面，‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ 所以.‎ 又因为，，‎ ‎ 所以.‎ 13‎ ‎ 所以平面. ‎ ‎ 因为平面， ‎ ‎ 所以平面平面. ……4分 ‎（Ⅱ）作EzAD，以E为原点，以 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，‎ 则点，，，,，.‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 所以即 令，解得.‎ 设平面的法向量为m＝(a，b，c)，‎ 所以即 令，解得.‎ 所以.‎ 由图可知，二面角的余弦值为. …………………………………14分 ‎（18）（本小题14分）‎ 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．‎ 13‎ ‎（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；‎ ‎（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）‎ 解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为，‎ 女员工的人数为．…………………………………4 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．‎ 所以，随机变量的所有可能取值为．‎ 根据题意，，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ 随机变量的分布列是：‎ 数学期望． ………………………………10分 13‎ ‎（Ⅲ）． ……………………………………………………………14分 ‎19．（本小题满分15分）‎ 已知函数(),.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.‎ ‎ 解：（Ⅰ）由已知得，.‎ ‎ （ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；‎ ‎（ⅱ）当时，由，得；‎ ‎ 由，得；‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ……4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎ 则.‎ ‎ 由（Ⅰ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递减；‎ 13‎ 在上，在上单调递增.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递增；‎ 在上，在上单调递减.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上所述，或. ……………………………………………………15分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知直线与椭圆相交于,两点,是椭圆上一点.‎ ‎（Ⅰ）当时,求面积的最大值;‎ ‎（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点,,为原点.证明:为定值.‎ 解:（Ⅰ）将代入,‎ 解得,所以.‎ 当为椭圆的顶点时,到直线的距离取得最大值,‎ 所以△面积的最大值是.‎ 13‎ ‎（Ⅱ）设两点坐标分别为,,从而.‎ 设,则有,,.‎ 直线的方程为,‎ 令,得,从而.‎ 直线的方程为,‎ 令,得,从而.‎ 所以 ‎.‎ 所以为定值.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 13‎ 数字的任意一个排列记作,设为所有这样的排列构成的集合.‎ 集合任意整数,都有;集合任意整数,都有.‎ ‎（Ⅰ）用列举法表示集合,;‎ ‎（Ⅱ）求集合的元素个数;‎ ‎（Ⅲ解:（Ⅰ）,‎ ‎（Ⅱ）考虑集合中的元素.‎ 由已知,对任意整数,都有,‎ 所以,‎ 所以.‎ 由的任意性可知,是的单调递增排列,‎ 所以 又因为当,时,对任意整数,‎ 都有.‎ 所以,所以.‎ 所以集合的元素个数为1.‎ 13‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知,.‎ 因为,所以.‎ 当时,考虑中的元素.‎ ‎（1）假设.由已知,,‎ 所以,‎ 又因为,所以.‎ 依此类推,若,则,,…,.‎ ① 若,则满足条件的的排列有1个.‎ ② 若,则,,,…,.‎ 所以.‎ 此时满足条件的的排列有1个.‎ ③ 若,‎ 只要是的满足条件的一个排列,就可以相应得到的一个满足条件的排列.‎ 此时,满足条件的的排列有个.‎ ‎（2）假设,只需是的满足条件的排列,此时满足条件的的排列有个.‎ 13‎ 综上,.‎ 因为,‎ 且当时,,‎ 所以对任意,,都有.‎ 所以成等比数列.‎ ‎）记集合的元素个数为.证明:数列是等比数列.‎ 13‎