数学卷·2018届北京市昌平临川育人学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届北京市昌平临川育人学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

北京临川学校2018届12月月考 ‎ 高三数学试卷（理）‎ 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，．‎ 考点：复数乘除和乘方 ‎2. 已知集合，，则＝‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得：，，则，故选A.‎ ‎3. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为E是DC的中点，所以，∴，‎ ‎∴，．‎ 考点：平面向量的几何运算 ‎4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，‎ 则输出的a为3．故选C.‎ 考点：算法和程序框图.‎ ‎5. 已知数列，其中，则满足的不同数列一共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ 由题知：若，‎ 则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1．‎ 所以数列共有：个。‎ 考点：数列综合应用 ‎6. 已知函数 且的最大值为,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵当时，，∴，∵函数（且 ‎）的最大值为1，∴当时，，∴，解得，故选A.‎ ‎7. 若满足则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：作出所对应的可行域（如图）,当时,可行域四边形,目标函数可化为即,平移直线可知当直线经过点时,直线截距最大,取最大值,当时,可行域为三角形,目标函数可化为即,平移直线可知当直线经过点时,直线截距最大,取最大值,综合可得的最大值为，故选D.‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎8. 同时具有性质: “①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数” 的一个函数可以是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：据函数的性质,由,知,D错；图象与对称轴交点为最值点,即当函数时,函数值为最值,A错；对于B的单调增区间,可得 ‎,即为，当时,.故本题答案应选B.‎ 考点：的性质．‎ ‎9. 成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设成等差数列的三个正数为，a，，即有，解得，由题意可得，8，成等比数列，即有，解得（舍去），可得公比为2，则数列的通项公式为，故选A.‎ 点睛：本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题；设成等差数列的三个正数为，，，由题意可得，再由等比数列的中项的性质，可得，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求.‎ ‎10. “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，根据基本不等式可得成立，即充分性成立，当时，由成立，得或，即不成立，即必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎11. 如图，△ABC为正三角形，，底面ABC，若，，则多面体在平面上的投影的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，多面体在平面上的投影是几何体的正视图，如图所示；‎ 所以该投影面的面积为，故选A.‎ ‎12. 已知正方体，记过点与三条直线所成角都相等的直线条数为, 过点与三个平面所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：‎ 连接，显然与所成角都相等。‎ 在平面都可以过A作一条不同于的直线，‎ 与所成角都相等，所以m=4。‎ 易知与三个平面所成角都相等。‎ 同理在平面都可以过A作一条不同于的直线，‎ 与所成角都相等，所以n=4。‎ 考点：立体几何综合点线面的位置关系 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 已知命题有，则为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得：“，有”的否定为，故答案为.‎ ‎14. 已知等比数列的公比为，若，则_______‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题知：‎ 所以 考点：等比数列 ‎15. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 该四棱锥的底面是一个直角梯形，高为2．‎ 所以最长棱的棱长为：‎ 故答案为：‎ 考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 ‎16. 已知，若存在，满足,则称△A1B1C1是△ABC的 一个“友好”三角形.‎ ‎(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是__：（请写出符合要求的条件的序号）‎ ‎① ； ②；③.‎ ‎(ii)若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.‎ ‎【答案】 (1). ② (2). ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（i）对①：因为所以①不存在“友好”三角形；‎ 对②：若，‎ 同理：故②存在“友好”三角形；‎ 对③：若满足，则或 都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形。‎ ‎（ii）若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C=‎ 或，分析知。‎ 所以即 故C=．即顶角的度数为。‎ 考点：解斜三角形 三、解答题（17--21题每题12分、22题10分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值与最小值的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）0‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦公式展开，再由二倍角公式化角为，最后再由两角差的正弦公式化为形式，由此由公式得周期；（Ⅱ）借助于正弦函数的单调性琍函数的单调性，从而得最值．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 ‎（两个倍角公式，每个各2分）‎ 所以函数的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，所以．‎ 当时，函数取得最小值;‎ 当时，函数取得最大值,‎ 因为,‎ 所以函数在区间上的最大值与最小值的和为．‎ 考点：三角函数的图像与性质恒等变换综合 ‎18. 设的内角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，,求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1和4‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，化简已知可得，结合范围，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理即可得解的值，要注意检验.‎ 试题解析：（1）由正弦定理及得：， ‎ 化简，解得：，因为，所以. ‎ ‎（2）由余弦定理得：，即，解得和， ‎ 经检验1，4都是解，所以的值是1和4.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且. ‎ ‎（1）若点为上一点且，证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过的平面与平面的交线，由已知过点作，交于,连接,就是要找的平行线；（Ⅱ）求二面角，由于图中已知两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可用向量法求得二面角，只要求得两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得（需确定二面角是锐二面角还是钝二面角）；（3）有了第（2）小题的空间直角坐标系，因此解决此题时，假设存在点，设，由求得即可．‎ 试题解析：（Ⅰ）过点作，交于,连接,‎ 因为，所以．‎ 又，，所以．‎ 所以为平行四边形, 所以．‎ 又平面，平面,（一个都没写的，则这1分不给）‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）因为梯形中，，,所以．‎ 因为平面，所以,‎ 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,‎ 所以．‎ 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,‎ 因为 所以，即，‎ 取得到,‎ 同理可得,‎ 所以,‎ 因为二面角为锐角，‎ 所以二面角为．‎ ‎（Ⅲ）假设存在点，设，‎ 所以,‎ 所以，解得，‎ 所以存在点，且．‎ 考点：空间的角平面法向量的求法平行 ‎20. 已知数列的前项和满足，其中. ‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列成等比数列；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和即可求出数列的前n项和.‎ 试题解析：（1）因为，①，所以当时，，解得 当，，②，由两式相减可得，‎ 所以，由得，所以，故数列是首项为2，公比是4的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得，所以，‎ 则数列的前项和 ‎ 点睛：本题主要考查了这一常用等式，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎21. 已知函数. ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，解方程，列出表格，确定的符号及的单调性，从而得出极大值和极小值；（Ⅱ）问题实质上就是证明在上的最大值小于或等于1．因此本小题实质就如第（Ⅰ）小题一样，求在上的最大值即可（要注意函数在闭区间上的最值可能在区间端点处取得）．‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ 因为,‎ 所以，‎ 当时，．‎ 令，得，‎ 所以随的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ 所以在处取得极大值，‎ 在处取得极小值．‎ 函数的单调递增区间为，,的单调递减区间为．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，‎ 即函数在区间上的最大值小于等于1．‎ 因为，‎ 令，得．‎ 因为时，所以．‎ 当时，对成立，函数在区间上单调递减，‎ 所以函数在区间上的最大值为,‎ 所以不等式在区间上无解；‎ 当时，随的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ 所以函数在区间上的最大值为或．‎ 此时,，‎ 所以 ．‎ 综上，当时，关于的不等式在区间上无解．‎ 考点：导数的综合运用 ‎22. 若实数数列满足，则称数列为“数列”.‎ ‎（1）若数列是数列，且，求，的值；‎ ‎(2) 求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；‎ ‎(3)若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由递推公式可得， ，，再由可得，，；（Ⅱ）此命题是否定性命题，可用反证法证明，即假设数列中各项全是正数（或全是负数），由递推公式推出矛盾即可；（Ⅲ）这类问题的数列应该是有一定的规律，最简单的就是周期数列，首先由（Ⅱ）可知数列中项既有负数也有正数，‎ 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数满足（）．设，则由递推公式计算，最后可知数列是周期为9的周期数列，由刚才的计算可知在这9个数中有6个正数，3个负数，接着只要对分别讨论（关键是中有几个负数）．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为是数列，且 所以，‎ 所以,‎ 所以，解得,‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）假设数列的项都是正数，即，‎ 所以，，与假设矛盾．‎ 故数列的项不可能全是正数,‎ 假设数列的项都是负数，‎ 则而,与假设矛盾,‎ 故数列的项不可能全是负数．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知数列中项既有负数也有正数，‎ 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．‎ 因此存在最小的正整数满足（）．‎ 设，则 ‎．‎ ‎,‎ 故有, 即数列是周期为9的数列 由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．‎ 因为,‎ 所以当时，;‎ 当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,‎ 记这项中负数项的个数为，‎ 当时，若则，故为负数，‎ 此时，；‎ 若则，故为负数．‎ 此时，，‎ 当时，必须为负数，，,‎ 综上可知的取值集合为．‎ 考点：数列综合应用 ‎ ‎