数学文卷·2019届北京市朝阳区陈经纶中学高二上学期期中考试试题（解析版）x

数学文卷·2019届北京市朝阳区陈经纶中学高二上学期期中考试试题（解析版）x

北京市陈经纶中学2017-2018学年高二上学期期中考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ‎1. 在空间坐标系中，空间点，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，故选．‎ ‎2. 两圆和的位置关系是（ ）．‎ A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 ‎【答案】C ‎【解析】由圆，得圆心为，半径，圆，化为标准方程为，可知圆心为，半径，两圆心距，所以，则两圆内切，故选．‎ ‎3. 已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）．‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】对于项、若，，则，相交、平行、异面都有可能，故错误；对于项、若，，则由线面垂直的定义可知，故正确；对于项、若，，则或，故错误；对于项、若，，则或与平面相交，故 错误，故选．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎4. 已知椭圆的长轴是短轴的倍，则椭圆的离心率等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，，,,椭圆的离心率，故选D.‎ 考点：1、椭圆的离心率；2、椭圆的简单性质.‎ ‎5. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（ ）．‎ A. 与是异面直线 B. 平面 C. ，为异面直线，且 D. 平面 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A不正确，因为与 在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面AB1E相交，且与交线有公共点，故∥平面不正确；故选C．‎ 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎6. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】此几何体为组合体．项、若上下两个几何体均为圆柱，此俯视图为，故项正确；项、若上面的几何体为正四棱柱，下面的几何体为圆柱，则俯视图为，故项正确；项、若俯视图为项，则主视图中应该是虚线，故项错误；项、若上面的几何体为底面的等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为，故项正确,故选．‎ ‎7. 直线与圆的位置关系为（ ）．‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由不等式知，，因此圆心到直线的距离，即圆心到直线距离小于等于半径，故直线与圆相交或相切．选D．‎ 考点：直线与圆的位置关系；‚重要不等式的应用．‎ ‎【方法点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则：若，则直线与圆相交；‚若，则直线与圆相交或相切；ƒ若，则直线与圆相离；④若，则直线与圆相离或相切．（2）需记忆常用的重要不等式若则；‚．‎ ‎8. 在正方体中，点在侧面，及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为（ ）．‎ A. 线段 B. 线段 C. 的中点与的中点连成的线段 D. 的中点与的中点连成的线段 ‎【答案】A ‎【解析】在正方体中，平面，又点在侧面及其边界上运动，所以点的轨迹为平面与平面的交线段，故选A．‎ ‎9. 如图，已知正方体，、分别是、的中点，则至少过正方体个顶点的截面中与平行的截面个数为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵、分别是，的中点，∴，则至少过正方体个顶点的截面中与平行的平面有平面，平面，平面,平面，平面共个，故选．‎ ‎10. 已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）．‎ A. 当时，存在某个位置，使得 B. 当时，存在某个位置，使得 C. 当时，存在某个位置，使得 D. 时，都不存在某个位置，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，∴若存在某个位置，使得直线，则平面，则，在中，，，则由直角边小于斜边可知，，即，结合选项可知只有选项中时，存在某个位置，使得，故选．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查翻折问题、线面垂直与线线垂直转换的应用以及空间想象能力，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理，本题中，先根据线线垂直得到线面垂直，在根据线面垂直得到线线垂直，从而得到，进而得到结果.‎ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 ‎11. 若方程表示圆，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】方程表示圆，则，即，‎ 解得或，实数的取值范围是,故答案为．‎ ‎12. 圆柱的侧面展开图是边长分别为，的矩形，则圆柱的体积为__________．‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】当母线为时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是，‎ ‎ ‎ ‎13. 如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为__________．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】设椭圆的另一个焦点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为.‎ ‎14. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由该四棱锥的正视和俯视图可知，侧视图是直角三角形，且两直角边分别是和，故其侧视图的面积是,故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎15. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度，降水量以为单位．‎ 为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设圆锥形液面的底面半径为，则圆锥容器的底面半径为，圆锥形液面的体积，设降水量为，则，解得,故答案为.‎ ‎16. 在正方形中，，分别在线段，上，且，以下结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③平面；‎ ‎④与异面，其中有可能成立的是__________．‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ 当，分别是线段，的中点时，连结，，则为的中点，∵在中，，分别为和的中点，∴，故②有可能成立,∵，平面，平面，∴平面，故③有可能成立,∵平面，平面，∴，又，∴，故①有可能成立．当与重合，与重合时，与异面，故④有可能成立,综上所述，结论中有可能成立的是①②③④, 故答案为①②③④.‎ 三、解答题：本大题共3个小题，共40分 ‎17. （分）已知圆及直线．直线被圆截得的弦长为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值．‎ ‎（Ⅱ）求过点并与圆相切的切线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 试题解析：（）根据题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，‎ 由勾股定理可以知道，代入化简得，‎ 解得或，‎ 又，‎ 所以．‎ ‎（）由（）知圆，圆心为，半径，‎ 点到圆心的距离为，故点在圆外，‎ 当切线方程的斜率存在时，设方程为，则圆心到切线的距离，‎ 化简得：，故．‎ ‎∴切线方程为，‎ 即，‎ 当切线方程斜率不存在时，直线方程为与圆相切，‎ 综上，过点并与圆相切的切线方程为或．‎ ‎18. （分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别为、的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面．‎ ‎（Ⅱ）求证：平面．‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.‎ ‎（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，‎ 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.‎ ‎（2）取AB中点G，连结EG，FG，‎ 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，‎ 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，‎ 所以四边形为平行四边形，所以EG，‎ 又因为EG平面ABE，平面ABE，‎ 所以平面.‎ ‎（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，‎ 所以三棱锥的体积为：==.‎ 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．‎ ‎ ‎ ‎19. （分）如图，在三棱锥中，底面为等边三角形，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：．‎ ‎（Ⅱ）判断在线段上是否存在点（与点不重合），使得为直角三角形？若存在，试找出一个点，并求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）当时，为直角三角形．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正三角形的性质可得，根据勾股定理可得，由线面垂直证的判定定理可得平面，由线面垂直的性质可得结论；（2）在（1）基础上可知平面与平面的垂直性，所以只需过作交线的垂线，由线线垂直线面垂直，再由线面垂直线线垂直，证明直角三角形的存在性，在上述条件下分别求出，，从而求出的值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连结，‎ ‎∵在等边中，是的中点，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∵在直角中，是斜边的中点，且，‎ ‎∴，‎ 在中，由，得，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）解：线段上存在点使得为直角三角形，此时，‎ 如图，过作于点，连结，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 即为直角三角形，‎ 故当点与点重合时，为直角三角形，‎ 在直角中，由，，，‎ 得（即），（即），‎ 当时，为直角三角形．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面垂直性质与判定、线线垂直的证明，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.本题的解答一直围绕线面垂直与线线垂直的互相转化进行.‎ ‎ ‎ ‎ ‎