2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）12：平面向量

2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）12：平面向量

‎2 012高考试题分类汇编：12：平面向量 一、选择题 ‎1.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】如图，在直角三角形中，,则,所以,所以,即，选D.‎ ‎2.【2012高考重庆文6】设 ，向量且 ，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，所以有，解得，即，所以，，选B.‎ ‎3.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。‎ A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|‎ C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实 数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若 a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．‎ ‎4.【2012高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、且 B、 C、 D、‎ ‎【答案】Ｄ ‎ 【解析】A.可以推得或为必要不充分条件；Ｂ可以推得为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.‎ ‎5.【2012高考陕西文7】设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）‎ A B C .0 D.-1‎ ‎【答案】C.‎ ‎ 【解析】，故选C.‎ ‎6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =‎ ‎(A) —1 (B) — (C) (D)1‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D ‎【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。‎ ‎7.【2012高考广东文3】若向量，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量和，定义. ‎ 若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，则 A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，同理，因为和都在集合中，令，所以，即，又因为，所以，所以，即，只有当时，满足条件，‎ 故有．故选D．‎ ‎9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是 A.x=- B.x‎-1 C.x=5 D.x=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D ‎10.【2012高考天津文科8】在△ABC中， A=90°，AB=1，设点P，Q满足=， =(1-)， R。若=-2，则=‎ ‎（A） （B） C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，设 ，则 ‎，又，，由得，即，选B.‎ 二、填空题 ‎1.【2012高考新课标文15】已知向量夹角为 ，且；则 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去）.‎ ‎2.【2012高考安徽文11】设向量，，，若，则______.[‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】。‎ ‎3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】设，则，=‎ ‎.‎ ‎【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.‎ ‎4.【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 ‎=________.‎ ‎【答案】-16 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】由余弦定理，‎ ‎，，两式子相加为，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎5.【2012高考山东文16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为＿＿＿＿. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以.‎ 另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且 ‎，则点P的坐标为，即.‎ ‎6.【2012高考江西文12】设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_______________‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】因为为单位向量，所以。又，所以，即，两式联立解得。，所以 ‎7.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎8.【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】[1,4].‎ ‎【解析】设=（0≤≤1），‎ 则=,=，‎ 则==‎ ‎=+++,‎ 又∵=0，‎ ‎∴=，‎ ‎∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范围是[1,4].‎ ‎9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则 ‎ （Ⅰ）与‎2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；‎ ‎（Ⅱ）向量b‎-3a与向量a夹角的余弦值为____________。‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与 同向的单位向量的坐标为.‎ ‎（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则.‎ ‎【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.‎ ‎10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。‎ ‎【答案】1，1‎ ‎【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，‎ ‎，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．‎ ‎ ‎