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文档介绍
2012年高考真题汇编-文科数学(解析版)3:导数
2 012高考试题分类汇编:3:导数 一、选择题 1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是 【答案】C 【解析】由函数在处取得极小值可知,,则;,则时,时,选C. 2.【2012高考浙江文10】设a>0,b>0,e是自然对数的底数 A. 若ea+2a=eb+3b,则a>b B. 若ea+2a=eb+3b,则a<b C. 若ea-2a=eb-3b,则a>b D. 若ea-2a=eb-3b,则a<b 【答案】A 【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 3.【2012高考陕西文9】设函数f(x)=+lnx 则 ( ) A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为 f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】,令,则,当时 ,当时,所以为极小值点,故选D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为 (A)(1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞) (D)(0,+∞) 【答案】B 【解析】故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。 5.【2102高考福建文12】已知f(x)=x³-6x²+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 12.【答案】C. 【解析】,令则或,当时;当时;当时, 所以时有极大值,当时有极小值,函数有三个零点,,且,又,,即,因此,.故选C. 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8 【答案】C 【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4 【点评】 本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。 二、填空题 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________ 【答案】 【解析】函数的导数为,所以在的切线斜率为 ,所以切线方程为,即. 8..【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段,其中、、,函数()的图像与轴围成的图形的面积为 【答案】。 【解析】,∴ ∴围成的面积=+=。 三、解答题 9.【2102高考北京文18】(本小题共13分) 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; 当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。 【答案】 10.【2012高考江苏18】(16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。 已知是实数,1和是函数的两个极值点. (1)求和的值; (2)设函数的导函数,求的极值点; (3)设,其中,求函数的零点个数. 【答案】解:(1)由,得。 ∵1和是函数的两个极值点, ∴ ,,解得。 (2)∵ 由(1)得, , ∴,解得。 ∵当时,;当时,, ∴是的极值点。 ∵当或时,,∴ 不是的极值点。 ∴的极值点是-2。 (3)令,则。 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。 当时,∵, , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。 由(1)知。 ① 当时, ,于是是单调增函数,从而。 此时在无实根。 ② 当时.,于是是单调增函数。 又∵,,的图象不间断, ∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。 ③ 当时,,于是是单调减两数。 又∵, ,的图象不间断, ∴在(一1,1 )内有唯一实根。 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足。 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足。 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。 ( 11 )当时,有三个不同的根,满足。 而有三个不同的根,故有9 个零点。 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。 11.【2012高考天津文科20】(本小题满分14分) 已知函数,x其中a>0. (I)求函数的单调区间; (II)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a=1时,设函数在区间上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。 【答案】 12.【2012高考广东文21】(本小题满分14分) 设,集合,,. (1)求集合(用区间表示) (2)求函数在内的极值点. 【答案】 【解析】(1)令, 。 ① 当时,, 方程的两个根分别为, , 所以的解集为。 因为,所以。 ② 当时,,则恒成立,所以, 综上所述,当时,; 当时,。 (2), 令,得或。 ① 当时,由(1)知, 因为,, 所以, 所以随的变化情况如下表: 0 ↗ 极大值 ↘ ↗ 所以的极大值点为,没有极小值点。 ② 当时,由(1)知, 所以随的变化情况如下表: 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的极大值点为,极小值点为。 综上所述,当时,有一个极大值点,没有极小值点; 当时,有一个极大值点,一个极小值点。 13.【2102高考福建文22】(本小题满分14分) 已知函数且在上的最大值为, (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。 【答案】 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分) 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。 (Ⅰ)用和表示; (Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值; (Ⅲ)当时,比较与 的大小,并说明理由。 命题立意:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】 15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分) 已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.[@#中国^教育出版&网~] (1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;[z (2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1查看更多