2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3:导数

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文档介绍

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3:导数

‎2012高考真题分类汇编:导数 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 ‎(A)函数有极大值和极小值 ‎ ‎(B)函数有极大值和极小值 ‎ ‎(C)函数有极大值和极小值 ‎ ‎(D)函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】由图象可知当时,,所以此时,函数递增.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递增.所以函数有极大值,极小值,选D.‎ ‎2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数与函数互为反函数,图象关于对称 ‎ 函数上的点到直线的距离为 ‎ 设函数 ‎ 由图象关于对称得:最小值为,‎ ‎3.【2012高考真题陕西理7】设函数,则( )‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】,令,则,当时,当时,所以为极小值点,故选D.‎ ‎4.【2012高考真题辽宁理12】若,则下列不等式恒成立的是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,则 所以所以当时,‎ 同理即,故选C ‎【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大。‎ ‎5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示,则它与 轴所围图形的面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为.‎ ‎6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=‎ ‎(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为,令,解得,可知当极大值为,极小值为.由,解得,由,解得,所以或,选A.‎ 二、填空题 ‎7.【2012高考真题浙江理16】定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为,‎ 曲线C1:y=x2+a对应函数的导数为,令得,所以C1:y=x2+a上的点为,点到到直线l:y=x的距离应为,所以,解得 或(舍去)。‎ ‎8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。‎ ‎【解析】。‎ ‎9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,所以,所以。‎ ‎10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,当时,,此时,故切线方程为,即。‎ ‎11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当,线段的方程为,当时。线段方程为,整理得,即函数,所以,函数与轴围成的图形面积为 ‎。‎ ‎12.【2012高考真题陕西理14】设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】函数在点处的切线为,即.所以D表示的 平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值,最大值为.‎ 三、解答题 ‎13.【2012高考真题广东理21】(本小题满分14分)‎ 设a<1,集合,,。‎ ‎(1)求集合D(用区间表示);‎ ‎(2)求函数在D内的极值点.‎ ‎【答案】本题是一个综合性问题,考查集合与导数的相关知识,考查了学生综合解决问题的能力,难度较大.‎ ‎14.【2012高考真题安徽理19】(本小题满分13分)‎ 设。‎ ‎(I)求在上的最小值;‎ ‎(II)设曲线在点的切线方程为;求的值。‎ ‎【答案】本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分类讨论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。‎ ‎【解析】(I)设;则,‎ ①当时,在上是增函数,‎ 得:当时,的最小值为。‎ ②当时,,‎ 当且仅当时,的最小值为。‎ ‎(II),‎ 由题意得:。‎ ‎15.【2012高考真题福建理20】(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R. ‎ ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. ‎ ‎【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识,考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力,以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎16.【2012高考真题全国卷理20】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考真题北京理18】(本小题共13分)‎ ‎【答案】解:(1)由为公共切点可得:‎ ‎,则,,‎ ‎,则,,‎ ‎①‎ 又,,‎ ‎,即,代入①式可得:.‎ ‎(2),设 则,令,解得:,;‎ ‎,,‎ 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ‎①若,即时,最大值为;‎ ‎②若,即时,最大值为 ‎③若时,即时,最大值为.‎ 综上所述:‎ 当时,最大值为;当时,最大值为.‎ ‎18.【2012高考真题新课标理21】(本小题满分12分)‎ 已知函数满足满足;‎ ‎(1)求的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎ 令得:‎ ‎ ‎ ‎ 得:‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得:的解析式为 ‎ 且单调递增区间为,单调递减区间为 ‎ (2)得 ‎ ①当时,在上单调递增 ‎ 时,与矛盾 ‎ ②当时,‎ ‎ 得:当时,‎ ‎ ‎ ‎ 令;则 ‎ ‎ ‎ 当时,‎ ‎ 当时,的最大值为 ‎19.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分)‎ 已知函数的最小值为0,其中 ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;‎ ‎(Ⅲ)证明().‎ ‎【答案】‎ ‎20.【2012高考江苏18】(16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。‎ 已知是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎【答案】解:(1)由,得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点,‎ ‎ ∴ ,,解得。‎ ‎ (2)∵ 由(1)得, ,‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∵当时,;当时,,‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时,,∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是-2。‎ ‎(3)令,则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况:‎ 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时,∵, ,‎ ‎∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。‎ 由(1)知。‎ ‎① 当时, ,于是是单调增函数,从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时.,于是是单调增函数。‎ 又∵,,的图象不间断,‎ ‎∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。‎ 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。‎ ‎③ 当时,,于是是单调减两数。‎ 又∵, ,的图象不间断,‎ ‎∴在(一1,1 )内有唯一实根。‎ 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足。‎ 现考虑函数的零点:‎ ‎( i )当时,有两个根,满足。‎ 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。‎ ‎( 11 )当时,有三个不同的根,满足。‎ 而有三个不同的根,故有9 个零点。‎ 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质,导数的应用。‎ ‎【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。‎ ‎ (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。‎ ‎21.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)‎ 设,曲线与 直线在(0,0)点相切。‎ ‎ (Ⅰ)求的值。‎ ‎ (Ⅱ)证明:当时,。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练。本题属于中档题。‎ ‎22.【2012高考真题重庆理16】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)‎ 设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的极值. ‎ ‎ 【答案】‎ ‎23.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a>0,bR,函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|‎2a-b|﹢a;‎ ‎(ⅱ) +|‎2a-b|﹢a≥0;‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.‎ ‎【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力,同时考查抽象概括、推理论证能力。‎ ‎【答案】本题主要考察不等式,导数,单调性,‎ ‎(Ⅰ)(ⅰ).‎ 当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,‎ 此时的最大值为:=|‎2a-b|﹢a;‎ 当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,‎ 此时的最大值为:‎ ‎=|‎2a-b|﹢a;‎ 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a-b|﹢a;‎ ‎(ⅱ) 要证+|‎2a-b|﹢a≥0,即证=﹣≤|‎2a-b|﹢a.‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a-b|﹢a,‎ ‎∵,‎ ‎∴令.‎ 当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,‎ 此时的最大值为:=|‎2a-b|﹢a;‎ 当b<0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,‎ ‎≤|‎2a-b|﹢a;‎ 综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a-b|﹢a.‎ 即+|‎2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a-b|﹢a,‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|‎2a-b|﹢a)要大.‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0,1]恒成立,‎ ‎∴|‎2a-b|﹢a≤1.‎ 取b为纵轴,a为横轴.‎ 则可行域为:和,目标函数为z=a+b.‎ 作图如下:‎ 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有.‎ ‎∴所求a+b的取值范围为:.‎ ‎24.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分)‎ 已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.‎ ‎【答案】解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;‎ ‎(Ⅱ),令可得,‎ 当时,;当时,。‎ 于是在区间内为增函数;在内为减函数。‎ 简证(Ⅲ),‎ 当时, ,.‎ 当时,要证。‎ 只需证,然后构造函数即可证明。‎ ‎25.【2012高考真题湖南理22】(本小题满分13分)‎ 已知函数=,其中a≠0.‎ (1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.‎ ‎(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,‎ 故.‎ 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 ‎     .                  ①‎ 令则 当时,单调递增;当时,单调递减.‎ 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.‎ 综上所述,的取值集合为.‎ ‎(Ⅱ)由题意知,‎ 令则 令,则.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .‎ 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 ‎.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.‎ ‎ ‎
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