高考理数　简单的线性规划

高考理数　简单的线性规划

§7.2 　简单的线性规划 高考理数 (课标专用 ) A组  统一命题·课标卷题组 考点　简单的线性规划 1. (2017课标Ⅱ,5,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z =2 x + y 的最小值是   (　　) A.-15　    B.-9　    C.1　    D.9 五年高考 答案    A 　本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图.   作出直线 l 0 : y =-2 x .平移直线 l 0 ,当经过点 A 时,目标函数取得最小值. 由   得点 A 的坐标为(-6,-3). ∴ z min =2 × (-6)+(-3)=-15.故选A. 2 .(2014课标Ⅱ,9,5分,0.798)设 x , y 满足约束条件   则 z =2 x - y 的最大值为   (　　) A.10　    B.8　    C.3　    D.2 答案    B      由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由   得 A (5,2).当直线2 x - y = z 过点 A 时, z =2 x - y 取得最大值.其最大值为2 × 5-2=8.故选B. 方法总结 　解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确定其 取得最优解的点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值. 3. (2018课标Ⅰ,13,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z =3 x +2 y 的最大值为 　　　     . 答案 　6    解析   本题主要考查简单的线性规划. 由 x , y 所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线 l 0 :3 x +2 y =0,平移直线 l 0 ,当经过点 A (2,0)时, z 取最大值,即 z max =3 × 2=6. 题型归纳 　线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以 对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相 应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种:一是把参数当成常数 用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程求解参数 的值;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位 置,从而求出参数. 4 .(2018课标Ⅱ,14,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x + y 的最大值为 　　　     . 答案　 9 解析 　本题考查简单的线性规划. 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 当直线 x + y - z =0经过点 A (5,4)时, z = x + y 取得最大值,最大值为9. 5. (2017课标Ⅰ,14,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z =3 x -2 y 的最小值为 　　　     . 答案 　-5      解析 本题考查线性规划问题,考查学生对数形结合思想的应用能力. 由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示. 平移直线3 x -2 y =0可知,目标函数 z =3 x -2 y 在 A 点处取最小值,又由   解得   即 A (-1, 1),所以 z min =3 × (-1)-2 × 1=-5. 温馨提醒 　在求解直线型目标函数 z = Ax + By 的最值时,一定要注意 y 前系数 B 的符号. 6. (2017课标Ⅲ,13,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z =3 x -4 y 的最小值为 　　　     . 答案 　-1      解析 本题考查简单的线性规划. 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界). 可得目标函数 z =3 x -4 y 在点 A (1,1)处取得最小值, z min =3 × 1-4 × 1=-1. 7. (2016课标Ⅲ,13,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x + y 的最大值为 　　　     . 答案        解析 　由题意画出可行域(如图所示),其中 A (-2,-1), B   , C (0,1),由 z = x + y 知 y =- x + z ,当直线 y =- x + z 过点 B   时, z 取最大值   .   8. (2015课标Ⅰ,15,5分,0.866)若 x , y 满足约束条件   则   的最大值为 　　　     . 答案 　3 解析 　由约束条件画出可行域,如图.     的几何意义是可行域内的点( x , y )与原点 O 连线的斜率,所以   的最大值即为直线 OA 的斜率, 又由   得点 A 的坐标为(1,3),则   = k OA =3. 解题关键 　分析出   的几何意义是可行域内点( x , y )与原点 O 连线的斜率是解题的关键. 导师点睛     (1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法,坚决杜绝不画可行域,直接代点 求解的恶习,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键. 9. (2016课标Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件 产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲 材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最 大值为 　　　     元. 解析 　设生产产品A x 件,产品B y 件,依题意,得   设生产产品A,产品B的利润之 和为 E 元,则 E =2 100 x +900 y .画出可行域(如图),易知最优解为   (满足 x ∈N, y ∈N),则 E max =2 16 000.   答案 　216 000 考点　简单的线性规划 1. (2018天津,2,5分)设变量 x , y 满足约束条件   则目标函数 z =3 x +5 y 的最大值为   (　　) A.6　    B.19　    C.21　    D.45 B组  自主命题·省(区、市)卷题组      答案    C 本题主要考查线性目标函数最值的求解. 由变量 x , y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 作出基本直线 l 0 :3 x +5 y =0,平移直线 l 0 ,当直线经过点 A (2,3)时, z 取最大值,即 z max =3 × 2+5 × 3=21,故 选C. 2. (2017浙江,4,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x +2 y 的取值范围是   (　　) A.[0,6]　    B.[0,4]　    C.[6,+ ∞ )　    D.[4,+ ∞ ) 答案    D 　本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法. 不等式组形成的可行域如图所示. 平移直线 y =-   x ,当直线过点 A (2,1)时, z 有最小值4.显然 z 没有最大值.故选D.   易错警示 　1.易把可行域看成是图中的三角形 OAB 区域,而错选A;同时,又错认为过点 A 时,取 到最大值,而错选B. 2.可行域判断对了,但错认为过点 B 时, z 有最小值,从而错选C. 3. (2016浙江,3,5分)在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区 域   中的点在直线 x + y -2=0上的投影构成的线段记为 AB ,则| AB |=(　　) A.2   　    B.4　    C.3   　    D.6 答案    C      由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线 x + y -2=0与直线 x + y =0平行,所以可行 域内的点在直线 x + y -2=0上的投影构成的线段的长| AB |即为| CD |.易得 C (2,-2), D (-1,1),所以| AB |=| CD |=   =3   .故选C. 4. (2015福建,5,5分)若变量 x , y 满足约束条件   则 z =2 x - y 的最小值等于   (　　) A.-   　    B.-2　    C.-   　    D.2 答案    A 　由约束条件画出可行域如图(阴影部分).   当直线2 x - y - z =0经过点 A   时, z min =-   .故选A. 评析 　本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法. 5 .(2015山东,6,5分)已知 x , y 满足约束条件   若 z = ax + y 的最大值为4,则 a =(　　) A.3　    B.2　    C.-2　    D.-3 答案    B 　作出可行域如图. ①当 a <0时,显然 z = ax + y 的最大值不为4;②当 a =0时, z = y 在 B (1,1)处取得最大值,为1,不符合题意; ③当0< a <1时, z = ax + y 在 B (1,1)处取得最大值, z max = a +1=4,故 a =3,舍去;④当 a =1时, z = x + y 的最大值 为2;⑤当 a >1时, z = ax + y 在 A (2,0)处取得最大值, z max =2 a =4,得 a =2,符合题意.综上, a =2. 6 .(2015重庆,10,5分)若不等式组   表示的平面区域为三角形,且其面积等于   ,则 m 的值为   (　　) A.-3　    B.1　    C.   　    D.3     答案    B  如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2 m <2,即 m >-1,由图知所围成的区域为△ ABC 及其内部, S △ ABC = S △ ADC - S △ BDC . 易知点 A 的纵坐标为1+ m ,点 B 的纵坐标为   (1+ m ), C , D 两点的横坐标分别为2,-2 m , 所以 S △ ABC =   (2+2 m )(1+ m )-   (2+2 m )·   (1+ m ) =   (1+ m ) 2 =   ,解得 m =-3(舍去)或 m =1.故选B. 7.( 2014安徽,5,5分) x , y 满足约束条件   若 z = y - ax 取得最大值的最优解   ,则实数 a 的值为   (　　) A.   或-1　    B.2或   　    C.2或1　    D.2或-1 答案    D      作出可行域(如图所示的△ ABC 及其内部).由题设 z = y - ax 取得最大值的最优解不唯一可知:线性 目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合.又 k AB =-1, k AC =2, k BC =   ,∴ a =-1或 a =2或 a =   ,验证: a =-1或 a =2时,满足题意; a =   时,不满足题意.故选D. 8. (2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A , B 两种原料.已知生产1吨每种产品所 需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万 元,则该企业每天可获得最大利润为   (　　) 甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨) 1 2 8 A.12万元　    B.16万元　    C.17万元　    D.18万元 答案    D 　设该企业每天生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,每天获得的利润为 z 万元,则有 z =3 x +4 y , 由题意得, x , y 满足:   该不等式组表示的可行域是以 O (0,0), A (4,0), B (2,3), C (0,4)为顶 点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3 x +4 y - z =0过点 B (2,3)(满足 x ∈N, y ∈ N)时, z 取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元. 9 .(2018北京,12,5分)若 x , y 满足 x +1 ≤ y ≤ 2 x ,则2 y - x 的最小值是 　　　     . 答案 　3      解析 本题主要考查简单的线性规划问题. 由 x +1 ≤ y ≤ 2 x 作出可行域,如图中阴影部分所示. 设 z =2 y - x ,则 y =   x +   z , 当直线 y =   x +   z 过 A (1,2)时, z 取得最小值3. 方法总结　 解决简单的线性规划问题的方法 先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而 求得最值. 10. (2018浙江,12,6分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x +3 y 的最小值是 　　　     ,最大值是           . 答案 　-2;8 解析 　本小题考查简单的线性规划. 由约束条件得可行域是以 A (1,1), B (2,2), C (4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.   当直线 y =-   x +   过点 C (4,-2)时, z = x +3 y 取得最小值-2,过点 B (2,2)时, z = x +3 y 取得最大值8. 思路分析 　(1)作出可行域,并求出顶点坐标. (2)平移直线 y =-   x ,当在 y 轴上的截距最小时, z = x +3 y 取得最小值,当在 y 轴上的截距最大时, z = x + 3 y 取得最大值. 11 .(2016江苏,12,5分)已知实数 x , y 满足   则 x 2 + y 2 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　画出不等式组   表示的可行域如图:   由 x -2 y +4=0及3 x - y -3=0得 A (2,3),由 x 2 + y 2 表示可行域内的点( x , y )与点(0,0)的距离的平方可得( x 2 + y 2 ) max =2 2 +3 2 =13,( x 2 + y 2 ) min 等于点(0,0)到直线2 x + y -2=0的距离的平方,故( x 2 + y 2 ) min =   =   ,所以 x 2 + y 2 的取值范围为   . 解后反思 　对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的 “距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键. 12. (2015浙江,14,4分)若实数 x , y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1,则|2 x + y -2|+|6- x -3 y |的最小值是 　　　     . 答案 　3 解析 　∵ x 2 + y 2 ≤ 1,∴6- x -3 y >0,令 t =|2 x + y -2|+|6- x -3 y |,当2 x + y -2 ≥ 0时, t = x -2 y +4.点( x , y )可取区域Ⅰ 内的点(含边界).   通过作图可知,当直线 t = x -2 y +4过点 A   时, t 取最小值,∴ t min =   -   +4=3. 当2 x + y -2<0时, t =8-3 x -4 y ,点( x , y )可取区域Ⅱ内的点(不含线段 AB ). 通过作图可知,此时 t >8-3 ×   -4 ×   =3.综上, t min =3,即|2 x + y -2|+|6- x -3 y |的最小值是3. 考点　简单的线性规划 1 .(2017北京,4,5分)若 x , y 满足   则 x +2 y 的最大值为   (　　) A.1　    B.3　    C.5　    D.9 C组  教师专用题组 答案    D 　本题考查简单的线性规划. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.   令 z = x +2 y , 当 z = x +2 y 过 A 点时, z 取最大值. 由   得 A (3,3), ∴ z 的最大值为3+2 × 3=9.故选D. 2. (2017天津,2,5分)设变量 x , y 满足约束条件   则目标函数 z = x + y 的最大值为   (　　) A.   　    B.1　    C.   　    D.3 答案    D 　本题主要考查简单的线性规划. 由变量 x , y 满足的约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由 z = x + y 得 y = z - x ,当直线 y = z - x 经过点 (0,3)时, z 取最大值3,故选D.   3 .(2017山东,4,5分)已知 x , y 满足约束条件   则 z = x +2 y 的最大值是   (　　) A.0　    B.2　    C.5　    D.6 答案    C 　本题考查简单的线性规划. 由约束条件画出可行域,如图.   由 z = x +2 y 得 y =-   +   ,当直线 y =-   +   经过点 A 时, z 取得最大值,由   得 A 点的坐标为(- 3,4).故 z max =-3+2 × 4=5.故选C. 易错警示 　没有真正掌握简单的线性规划问题的求解方法,从而找错了最优解,导致最终结果 错误. 4. (2016山东,4,5分)若变量 x , y 满足   则 x 2 + y 2 的最大值是   (　　) A.4　    B.9　    C.10　    D.12      答案    C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示, x 2 + y 2 表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点 A (3,-1)到原点的距离最大,所以 x 2 + y 2 的最大值是10,故选C. 评析     本题考查了数形结合的思想方法.利用 x 2 + y 2 的几何意义是求解的关键. 5. (2016天津,2,5分)设变量 x , y 满足约束条件   则目标函数 z =2 x +5 y 的最小值为   (    　) A.-4　    B.6　    C.10　    D.17 答案    B 　由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).   当直线2 x +5 y - z =0过点 A (3,0)时, z min =2 × 3+5 × 0=6,故选B. 评析     本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键. 6 .(2016北京,2,5分)若 x , y 满足   则2 x + y 的最大值为   (　　) A.0　    B.3　    C.4　    D.5 答案    C 　画出可行域,如图中阴影部分所示,令 z =2 x + y ,则 y =-2 x + z ,当直线 y =-2 x + z 过点 A (1,2) 时, z 最大, z max =4.故选C.   评析 　本题考查简单的线性规划,属容易题. 7. (2015天津,2,5分)设变量 x , y 满足约束条件   则目标函数 z = x +6 y 的最大值为   (    　) A.3　    B.4　    C.18　    D.40 答案    C 　由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线 x +6 y - z =0过点(0,3)时, z max =0+ 6 × 3=18.故选C.   8 .(2013课标Ⅱ,9,5分,0.788)已知 a >0, x , y 满足约束条件   若 z =2 x + y 的最小值为1,则 a =   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.2      答案    B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ ABC 及其内部), 由   得 A (1,-2 a ), 当直线2 x + y - z =0过点 A 时, z =2 x + y 取得最小值,所以1=2 × 1-2 a ,解得 a =   ,故选B. 解题关键     根据约束条件准确画出可行域,从而经过平移确定直线 z =2 x + y 过可行域内的点 A 时 z 取得最小值是解题的关键. 9 .(2013北京,8,5分)设关于 x , y 的不等式组   表示的平面区域内存在点 P ( x 0 , y 0 ),满足 x 0 - 2 y 0 =2.求得 m 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.        答案    C 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域,要使区域内存在点 P ( x 0 , y 0 ),使 x 0 -2 y 0 =2成立,只需点 A (- m , m )在直线 x -2 y -2=0的下方即可,即- m -2 m -2>0,解得 m <-   ,故选C. 评析     本题主要考查线性约束条件表示的平面区域的画法及线性规划问题,考查学生对基 本方法和基本技能的掌握情况,以及数形结合思想的应用能力. 10 .(2013安徽,9,5分)在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,两定点 A , B 满足|   |=|   |=   ·   =2, 则点集{ P |   = λ   + μ   ,| λ |+| μ | ≤ 1, λ , μ ∈R}所表示的区域的面积是   (　　) A.2   　    B.2   　    C.4   　    D.4   答案    D 　由|   |=|   |=   ·   =2知<   ,   >=   . 设   =(2,0),   =(1,   ),   =( x , y ),则   解得   由| λ |+| μ | ≤ 1得|   x - y |+|2 y | ≤ 2   . 作出可行域,如图.   则所求面积 S =2 ×   × 4 ×   =4   . 11 .(2014湖南,14,5分)若变量 x , y 满足约束条件   且 z =2 x + y 的最小值为-6,则 k = 　　　     . 答案 　-2 解析 　要使不等式组构成一可行域,则 k <2,此时,可行域为以 A ( k , k ), B (2,2), C (4- k , k )为顶点的三 角形区域(包括边界).从而在点 A ( k , k )处, z 有最小值3 k ,则3 k =-6,得 k =-2. 12. (2013江苏,9,5分)抛物线 y = x 2 在 x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D (包含三角形 内部与边界).若点 P ( x , y )是区域 D 内的任意一点,则 x +2 y 的取值范围是 　　　     . 答案            解析  ∵ y = x 2 , ∴ y '| x =1 =2 x | x =1 =2. 故抛物线 y = x 2 在 x =1处的切线方程为2 x - y -1=0,设其与 x 轴, y 轴交于 A , B 两点,则 A   , B (0,-1),区 域 D 为如图阴影部分, 令 z = x +2 y ,即 y =-   x +   z ,易知 y =-   x +   z 分别过 A 、 B 两点时 z 取最大、最小值,∴ z max =   +2 × 0=   , z min =0+2 × (-1)=-2,∴ x +2 y 的取值范围是   . 13. (2013浙江,13,4分)设 z = kx + y ,其中实数 x , y 满足   若 z 的最大值为12,则实数 k = 　    　     . 答案 　2 解析 　约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分,其中点 A (4,4), B (0,2), C (2,0).当- k ≤   ,即 k ≥ -   时,目标函数 z = kx + y 在点 A (4,4)取得最大值12,故4 k +4=12, k =2,满足题意; 当- k >   ,即 k <-   时,目标函数 z = kx + y 在点 B (0,2)取得最大值12,故 k ·0+2=12,无解.综上所述, k =2. 评析     本题考查简单的线性规划问题,考查分类讨论思想和数形结合思想.考查学生的灵活 应用知识能力和运算求解能力.本题也可采用代入交点逐个检验的方法求解(因为最大值必在 交点处取得),作为填空题,特殊值代入既快又准确. 14 .(2013广东,13,5分)给定区域 D :   令点集 T ={( x 0 , y 0 )∈ D | x 0 , y 0 ∈Z,( x 0 , y 0 )是 z = x + y 在 D 上 取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定 　　　     条不同的直线. 答案 　6 解析 　画出平面区域 D ,如图中阴影部分所示. 作出 z = x + y 的基本直线 l 0 : x + y =0. 经平移可知目标函数 z = x + y 在点 A (0,1)处取得最小值,在线段 BC 处取得最大值.而集合 T 表示 z = x + y 取得最大值或最小值时的整点坐标,在取最大值时线段 BC 上共有5个整点,分别为(0,4),(1,3), (2,2),(3,1),(4,0),故 T 中的点共确定6条不同的直线. 评析     本题考查平面区域的画法及目标函数的最优解,考查学生数形结合思想的应用能力, 以及最优解中整点的求法.准确找出整点个数是解题的关键. 15 .(2012课标,14,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z = x -2 y 的取值范围为 　　　     . 答案 　[-3,3] 解析     由不等式组画出可行域(如图所示).   当直线 x -2 y - z =0过点 B (1,2)时, z min =-3; 过点 A (3,0)时, z max =3. ∴ z = x -2 y 的取值范围是[-3,3]. 评析     本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法. 16. (2011课标,13,5分)若变量 x , y 满足约束条件   则 z = x +2 y 的最小值为 　　　     . 答案 　-6 解析     画出约束条件所表示的平面区域,如图阴影部分所示:   当目标函数表示的直线经过点 A (4,-5)时, z 有最小值, z min =4+2 × (-5)=-6. 失分警示 　本题易将平面区域画错或者将目标函数表示的直线的斜率看成   而致错. 评析     本题考查线性规划问题,正确作图是得分的前提. 考点　简单的线性规划 1. (2018广东广州3月测试,8)若 x , y 满足约束条件   则 z = x 2 +2 x + y 2 的最小值为   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   A组  2016—2018年高考模拟·基础题组 三年模拟 答案    D      画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所示, z = x 2 +2 x + y 2 =( x +1) 2 + y 2 -1,其几何意义是平 面区域内的点( x , y )到定点(-1,0)的距离的平方再减去1,观察图形可得,平面区域内的点到定点(- 1,0)的距离的最小值为   ,故 z = x 2 +2 x + y 2 的最小值为 z min =   -1=-   ,选D. 解题技巧 　解决线性规划问题要注意三点:第一,明确可行域是封闭区域还是开放区域,分界线 是实线还是虚线;第二,确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线 的斜率,还是求点到直线的距离;第三,结合图形确定最优解. 2. (2018江西南昌NCS项目3月联考,5)设不等式组   表示的平面区域为 M ,若直线 y = kx 经过区域 M 内的点,则实数 k 的取值范围为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C 　作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,易知当直线 y = kx 经过点 A (2,1) 时, k 取得最小值   ,当直线 y = kx 经过点 C (1,2)时, k 取得最大值2,可得实数 k 的取值范围为   .故 选C.   3. (2018广东肇庆二模,7)已知实数 x , y 满足约束条件   若 z =2 x + y 的最小值为3,则实数 b =   (　　) A.   　    B.   　    C.1　    D.        答案    A 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示. 由 z =2 x + y 得 y =-2 x + z ,平移直线 y =-2 x , 由图可知当直线 y =-2 x + z 经过点 A 时,直线 y =-2 x + z 的截距最小,此时 z 最小,为3,即2 x + y =3. 由   解得   即 A   ,又点 A 也在直线 y =- x + b 上,即   =-   + b ,∴ b =   .故选A. 4. (2018江西九江二模,8)实数 x , y 满足线性约束条件   若 z =   的最大值为1,则 z 的 最小值为   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.-        答案    D 作出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z =   的几何意义是可行域内的点( x , y )与点 A (-3,1)两点连线的斜率,当取点 B ( a ,2 a +2)时, z 取得最大值1,故   =1,解得 a =2,则 C (2,0).当取点 C (2,0)时, z 取得最小值,即 z min =   =-   .故选D. 5 .(2018湖南师大附中3月月考,7)已知 x , y 满足约束条件   若 ax + y 取得最大值的最优 解不唯一,则实数 a 的值为   (　　) A.   或-1　    B.2或   　    C.-2或1　    D.2或-1 答案    C 　由题中约束条件作可行域如图所示:   令 z = ax + y ,化为 y =- ax + z ,由题意知使直线 y =- ax + z 的纵截距取得最大值的最优解不唯一.当- a >2 时,直线 y =- ax + z 经过点 A (-2,-2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当- a =2时,直 线 y =- ax + z 与 y =2 x +2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当-1<- a <2时,直线 y =- ax + z 经过点 B (0,2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当- a =-1时,直线 y =- ax + z 与 y =- x +2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当- a <-1时,直线 y =- ax + z 经过点 C (2,0)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意.综上,当 a =-2或 a =1时最优解不唯一,符 合题意.故选C. 6 .(2018山西太原五中4月模拟,9)若不等式组   所表示的平面区域内存在点( x 0 , y 0 ), 使 x 0 + ay 0 +2 ≤ 0成立,则实数 a 的取值范围是   (　　) A. a ≤ -1　    B. a <-1　    C. a >1　    D. a ≥ 1     答案    A  由不等式组所表示的平面区域(图中阴影部分)可得 y >0,由题意得 a ≤   ,   表示(-2,0)与平面区域内( x , y )两点连线的斜率,可得   ≤   ≤ 1,所以-   ≤ -   ≤ -1,所以 a ≤ -1. 7. (2016河北衡水中学五调,6)若不等式组   表示的平面区域的形状是三角形,则 a 的取 值范围是   (　　) A. a ≥   　     B.0< a ≤ 1 C.1 ≤ a ≤   　    D.0< a ≤ 1或 a ≥   答案    D 作出不等式组   表示的平面区域(如图中阴影部分).由图知,要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形,只需动直线 l : x + y = a 在 l 1 、 l 2 之间(包含 l 2 ,不包含 l 1 )或 l 3 上方(包含 l 3 ).故选D. 8. (2017山东日照一模,6)已知变量 x , y 满足:   则 z =(   ) 2 x + y 的最大值为   (　　) A.   　    B.2   　    C.2　    D.4      答案    D 作出满足不等式组的平面区域,如图所示,令 m =2 x + y ,则当 m 取得最大值时, z =(   ) 2 x + y 取得最大值.由图知直线 m =2 x + y 经过点 A (1,2)时, m 取得最大值,所以 z max =(   ) 2 × 1+2 =4,故选D. 9 .(2017河南郑州二模,8)已知实数 x , y 满足   则 z =2| x -2|+| y |的最小值是   (　　) A.6　    B.5　    C.4　    D.3 答案    C 　画出不等式组   表示的可行域,如图阴影部分,其中 A (2,4), B (1,5), C (1,3),∴ x ∈[1,2], y ∈[3,5].   ∴ z =2| x -2|+| y |=-2 x + y +4,当直线 y =2 x -4+ z 过点 A (2,4)时,直线在 y 轴上的截距最小,此时 z 有最小值, ∴ z min =-2 × 2+4+4=4,故选C. 10. (2017广东五校联考,8)不等式组   的解集记为 D ,有下面四个命题: p 1 : ∀ ( x , y )∈ D , 2 x +3 y ≥ -1; p 2 : ∃ ( x , y )∈ D ,2 x -5 y ≥ -3; p 3 : ∀ ( x , y )∈ D ,   ≤   ; p 4 : ∃ ( x , y )∈ D , x 2 + y 2 +2 y ≤ 1.其中的真 命题是   (　　) A. p 1 , p 2 　    B. p 2 , p 3 　    C. p 2 , p 4 　    D. p 3 , p 4 答案    C 　作出不等式组   表示的区域 D ,如图中阴影部分所示,其中 A (0,3), B (-1,0), 由   得   即 C (1,1),对于 p 1 ,因为2 × (-1)+3 × 0<-1,故 p 1 是假命题,对于 p 2 ,2 × 1-5 × 1=-3, 故 p 2 是真命题,对于 p 3 ,因为   =1>   ,故 p 3 是假命题,对于 p 4 ,易知区域{( x , y )| x 2 + y 2 +2 y ≤ 1}为以(0, -1)为圆心,   为半径的圆上及圆内区域,其与区域 D 有公共部分,故 p 4 是真命题,故选C.   11. (2018广东深圳3月模拟,14)设实数 x , y 满足约束条件   则目标函数 z = x + y 的 最大值为 　　　     . 答案 　4 解析 　由 z = x + y 得 y =- x + z .作出不等式组对应的区域(图中阴影部分),平移直线 y =- x ,由图可知,当 直线 y =- x + z 与圆在第一象限相切时,直线 y =- x + z 的截距最大,此时 z 最大,直线 y =- x + z 与圆心(1,1) 的距离 d =   =   ,得 z =4或 z =0(舍去),所以目标函数 z = x + y 的最大值是4.   1.( 2018安徽合肥一模,11)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件. 甲、乙两种产品都需要在 A , B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用 A 设备2小时, B 设备6小时; 生产一件乙产品需用 A 设备3小时, B 设备1小时. A , B 两种设备每月可使用时间数分别为480小 时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为   (　　) A.320千元　    B.360千元　    C.400千元　    D.440千元 B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:40分钟　　分值:55分) 一、选择题(每题5分,共25分) 答案    B 　设生产甲产品 x 件,生产乙产品 y 件,利润为 z 千元,则   z =2 x + y ,作出   表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2 x + y =0,平移该直线,当直线 z =2 x + y 经过直线2 x +3 y =480与直线6 x + y =960的交点(150,60)(满足 x ∈N, y ∈N)时, z 取得最大值,为360.   方法点拨　 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标函数的两个变量, 用这两个变量建立约束条件和目标函数,在解题时要注意题目中的各种制约关系,列出所有的 制约条件和正确的目标函数. 思路分析 　根据题意条件设出变量,列出符合条件的约束条件和目标函数,进而画出可行域,求 出目标函数的最优解,从而得出该实际问题的答案. 2. (2018湖北武汉二调,10)已知实数 x , y 满足约束条件   若不等式(1- a ) x 2 +2 xy +(4-2 a ) y 2 ≥ 0恒成立,则实数 a 的最大值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A     绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,   题中的不等式可化为 a ( x 2 +2 y 2 ) ≤ x 2 +2 xy +4 y 2 , 即 a ≤   ,设 t =   ,则 a ≤   , 由 t =   及其几何意义可知, 在点 C (2,3)处取得最大值 t max =   , 在线段 AB 上取得最小值 t min =1,即 t ∈   . 故原问题可转化为求函数 f ( t )=     的最小值,整理函数的解析式得: f ( t )=2 ×   =2 ×   =2+   , 令 m = t -   ,则   ≤ m ≤ 1, 令 g ( m )= m +   ,则 g ( m )在区间   上单调递减,在区间   上单调递增, 且 g   =2, g (1)=   ,据此可得,当 m =   , t =1时,函数 g ( m )取得最大值, 则此时函数 f ( t )取得最小值,最小值为 f (1)=   =   . 综上可得,实数 a 的最大值为   .故选A. 方法点拨　 此题实质上是含参不等式恒成立问题,故可分离参数,构造函数,转化为求最值问 题.难点是分离参数后,不等式中不含参的式子含有两个变量,故应根据式子结构特点换元,使 之成为仅含一个变量的式子,进而由可行域得出该变量的范围,从而转化为求一元函数的最值 问题. 3. (2016豫北六校第二次联考,9)已知区域 D :   的面积为 S ,点集 T ={( x , y )∈ D | y ≥ kx +1} 在坐标系中对应区域的面积为   S ,则 k 的值为   (　　) A.   　    B.   　    C.2　    D.3      答案    A 作出不等式组对应的区域,如图中阴影部分所示. 直线 y = kx +1过定点 A (0,1),点集 T ={( x , y )∈ D | y ≥ kx +1}在坐标系中对应区域的面积为   S ,则直线 y = kx +1过 BC 中点 E .由   解得   即 B (2,3).又 C (1,0),∴ BC 的中点为 E   ,则   =   k +1,解得 k =   ,故选A. 思路分析 　根据不等式组画出平面区域,分析出直线 y = kx +1的位置,进而求 k 的值. 4 .(2016皖江名校联考,11)已知实数 x , y 满足   若目标函数 z = ax + by +5( a >0, b >0)的最 小值为2,则   +   的最小值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),对 z = ax + by +5( a >0, b >0)进 行变形,可得 y =-   x +   -   ,所以该直线的斜率为负数,当直线 z = ax + by +5( a >0, b >0)过点 A 时, z 取得 最小值,联立   可求出交点 A 的坐标为(-2,-2),所以-2 a -2 b +5=2,整理得 a + b =   ,所以   +   =   ( a + b )   =     ≥   ,当且仅当   a =   b 时取等号,故选D.   思路分析 　作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义确定取得最小值时的最 优解,从而结合已知可得到 a , b 的关系式,然后对所求式进行变形,利用基本不等式求出最小值. 方法归纳 　已知目标函数的最值求参数的常用方法:把参数当成常数用,根据线性规划问题的 求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,进而列方程求解参数的值. 5. (2017湖北黄冈模拟)在平面直角坐标系中,已知平面区域 A ={( x , y )| x + y ≤ 1,且 x ≥ 0, y ≥ 0},则平 面区域 B ={( x + y , x - y )|( x , y )∈ A }的面积为   (　　) A.2　    B.1　    C.   　    D.   答案    B 　对于集合 B ,令 m = x + y , n = x - y ,则 x =   , y =   ,由于( x , y )∈ A ,所以有   即   因此平面区域 B 的面积即为不等式组   所对应的平面区域的面积,画出图 形可知该平面区域面积为2 ×   =1,故选B.   名师点拨 　利用换元法转化本题是求解的关键,正确理解集合 B 的含义是得到正确答案的前提. 6. (2018豫南九校4月联考,14)已知不等式组   表示的平面区域为 D ,若对任意的( x , y ) ∈ D ,不等式 t -4< x -2 y +6< t +4恒成立,则实数 t 的取值范围是 　　　     . 二、填空题(每题5分,共30分) 答案 　(3,5) 解析 　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可求得 A (3,4), B (0,1), C (1,0).设 z = x - 2 y +6,平移直线 y =   x ,可知 z = x -2 y +6在 A (3,4)处取得最小值1,在 C (1,0)处取得最大值7,所以   解得3< t <5.故实数 t 的取值范围是(3,5).   思路分析 　首先画出不等式组所表示的平面区域,然后求 x -2 y +6的最大值与最小值,从而利用 恒成立问题的解决方法求得实数 t 的取值范围. 7. (2018清华大学自主招生3月能力测试,14)已知实数 x , y 满足   则   的取 值范围是       . 答案        解析 　根据 x , y 所满足的约束条件画可行域,如图中阴影部分所示,   可得 C (3,3),且 A   , x B >3, 令 z =   =   =1+   =1+   . 令 t =   ,则 z =1+   . 可知 t =   在线段 AC 上取得最大值1,在点 D 处取得最小值,以下求 D 点坐标: 由   得 x 2 -5 tx +1=0.(*) ∴ Δ =25 t 2 -4,令 Δ =0,解得 t =   或 t =-   (舍). 当 t =   时,(*)式为 x 2 -2 x +1=0,得 x =1, ∴ D 点坐标为   . 故 t ∈   , 又易知 z =1+   =1+   在 t ∈   上单调递增, ∴当 t =   时, z 取最小值   ,当 t =1时, z 取最大值3, 故   的取值范围为   . 方法点拨 　对于二元齐次分式形式的目标函数,常令 t =   进行换元,转化成一元函数求解. 8. (2018河南顶级名校第二次联考,15)设实数 x , y 满足约束条件   则 z =   +   的最小值 为 　　　     . 答案 　1      解析 画出可行域如图所示,可求得 A   , B   .当 y 为常数时,要使 z =   +   最小,则 x 必须最小,这样的点在可行域内相应水平线的最左侧,因此所有可能让 z 取到最小值的点在线段 AB 上,此时这 些点的坐标满足方程 y =2 x , y ∈[1,3],于是 z =   +   ≥   +   ≥ 1,当且仅当 x =1, y =2时 z 取最小值.∴ z =   +   的最小值为1. 解题关键 　缩小最优解的范围,即得出使 z 取得最小值的点落在线段 AB 上是解题的关键. 9. (2018江西南昌二中1月模拟,15)已知区域 D :   且圆 C :( x - a ) 2 +( y -2) 2 =2与区域 D 有公 共点,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案 　[-2,5] 解析 　在坐标系中作出区域 D (如图中阴影部分所示),易知圆 C 的圆心为( a ,2),半径为   ,所以 只需确定圆心的位置即可,通过左右平移圆可观察到圆 C 与直线 l 1 : x + y -2=0和 l 2 : x - y -1=0分别相 切时对应 a 取值的临界位置.当圆与 l 1 : x + y -2=0相切时,   =   =   ⇒ a = ± 2,由图可得 a =-2;当圆 与 l 2 : x - y -1=0相切时,   =   =   ⇒ a =1或 a =5,由图可得 a =5,所以 a ∈[-2,5].   解题关键　 找到临界位置是解题的关键. 10. (2017河北衡水中学3月模考,15)已知点 P ( x , y )的坐标满足   则   的取值范围 为 　　　     . 答案 　(-   ,1]      解析 作出不等式组   表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中 B (-1,-1), C (0,1). 设 A (1,1),向量   ,   的夹角为 θ , ∵   ·   = x + y ,|   |=   , ∴cos θ =   =   =   ×   , 由图可知∠ AOC ≤ θ <∠ AOB ,即45 ° ≤ θ <180 ° , ∴-1

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