数学卷·2018届四川省宜宾市南溪二中高二下学期入学数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届四川省宜宾市南溪二中高二下学期入学数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）‎ ‎1．椭圆=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（　　）个个体．‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（　　）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5‎ ‎4．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2‎ ‎5．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎6．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（　　）‎ A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定 B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定 C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定 D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定 ‎7．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：‎ 年 份 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号t ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人口总数y ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（　　）‎ A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14） D．（4，11）‎ ‎9．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．4‎ ‎10．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎11．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0‎ ‎12．在如图所示的几何体中，三棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）‎ A．OA，OB，OC的长度可以不相等 B．直线OB∥平面ACD C．直线OD与BC所成的角是45° D．直线AD与OB所成的角是45°‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）‎ ‎13．阅读如图所示的程序框图输出的S是　　．‎ ‎14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为　　．‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共6小题，共70分）‎ ‎17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．‎ ‎（1）若l1∥l2，求m的值；‎ ‎（2）若l1⊥l2，求m的值．‎ ‎18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．‎ ‎（1）求直线BC的一般式方程；‎ ‎（2）求△ABC的外接圆的标准方程．‎ ‎19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．‎ ‎20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．‎ ‎21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 ‎（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞‎ ‎0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省宜宾市南溪二中高二（下）入学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）‎ ‎1．椭圆=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，‎ 则c==2；‎ 则椭圆的离心率为e==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5：3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取（　　）个个体．‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】因为分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，又A、B、C三层的个体数之比已知，根据条件列出结果．‎ ‎【解答】解：∵A、B、C三层，个体数之比为5：3：2．‎ 又有总体中每个个体被抽到的概率相等，‎ ‎∴分层抽样应从C中抽取100×=20．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（　　）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5‎ ‎【考点】频率分布表．‎ ‎【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．‎ ‎【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，‎ 样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，‎ ‎∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，‎ 故选C ‎　‎ ‎4．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（2，1），4 B．（2，﹣1），2 C．（﹣2，1），2 D．（﹣2，﹣1），2‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可．‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为：（2，﹣1），2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，‎ ‎∴a（2a﹣1）﹣a=0，‎ 解得a=0或a=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（　　）‎ A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定 B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定 C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定 D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定 ‎【考点】众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由茎叶图知：‎ ‎=（76+77+88+90+94）=85，‎ ‎= [（76﹣85）2+（77﹣85）2+（88﹣85）2+（90﹣85）2+（94﹣85）2]=52，‎ ‎=（75+86+88+88+93）=86，‎ ‎= [（75﹣86）2+（86﹣86）2+（88﹣86）2+（88﹣86）2+（93﹣86）2]=35.6，‎ ‎∴甲＜乙，乙比甲成绩稳定．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x+2y=0，则a的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的渐近线方程代入即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：由双曲线﹣=1焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程y=±x，即ay±bx=0，‎ 由b=3，则a=2，‎ ‎∴a的值为2，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：‎ 年 份 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 年份代号t ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人口总数y ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线=t+一定过点（　　）‎ A．（3，9） B．（9，3） C．（6，14） D．（4，11）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，可得结论．‎ ‎【解答】解： =（0+1+2+3+4+5+6）=3， =（8+8+8+9+9+10+11）=9，‎ ‎∴线性回归直线=t+一定过点（3，9），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．椭圆4x2+5y2=1的左、右焦点为F，F′，过F′的直线与椭圆交于M，N，则△MNF的周长为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义可知|FM|+|F′M|和|FN|+|F′N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．‎ ‎【解答】解：椭圆4x2+5y2=1‎ 可得a=，‎ 利用椭圆的定义可知，|FM|+|F′M|=2a=1，|FN|+|F′N|=2a=1，‎ ‎∴△MNF2的周长为|FM|+|F′M|+|FN|+|F′N|=1+1=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，‎ 可得xM=9，则M到y轴的距离是：9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（　　）‎ A．2x+y﹣8=0 B．x+2y﹣8=0 C．x﹣2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣8=0‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】斜率设为 k，则直线l的方程为 y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，利用韦达定理x1+x2，求出斜率，即可求解直线l的方程．‎ ‎【解答】解：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y﹣2=k（x﹣4），即 kx﹣y+2﹣4k=0，‎ 代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，‎ ‎∴x1+x2==8，解得 k=﹣，‎ 故直线l的方程为x+2y﹣8=0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．在如图所示的几何体中，三棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）‎ A．OA，OB，OC的长度可以不相等 B．直线OB∥平面ACD C．直线OD与BC所成的角是45° D．直线AD与OB所成的角是45°‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】在A中，推导出△AOC≌△BOC≌AOB，从而OA，OB，OC的长都相等；在B中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OB与平面ACD不平行；在C中，直线OD与BC所成的角是90°；在D中，利用向量法得到直线AD与OB所成的角是45°．‎ ‎【解答】解：在A中，∵棱锥D﹣ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，‎ ‎∴△AOC≌△BOC≌AOB，∴OA，OB，OC的长都相等，故A错误；‎ 在B中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ O（0，0，0），B（0，，0），A（，0，0），C（0，0，），D（），‎ ‎=（0，，0），=（﹣，0，），=（0，），‎ 设平面ACD的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣1，1），‎ ‎=﹣，∴直线OB不平行于平面ACD，故B错误；‎ 在C中， =（），=（0，﹣），‎ cos＜＞==0，∴‎ 直线OD与BC所成的角是90°，故C错误；‎ 在D中， =（0，），=（0，），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ ‎∴直线AD与OB所成的角是45°，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分，共5×4=20分）‎ ‎13．阅读如图所示的程序框图输出的S是　30　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，i=2，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=5，i=3，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=30，i=5，满足退出循环的条件；‎ 故输出的结果为：30，‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ ‎14．将一颗骰子先后抛掷2次，以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为36，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件总数为36，‎ 满足条件的事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4种结果，‎ 记点（x，y）在圆x2+y2=9的内部记为事件A，‎ ‎∴P（A）==，‎ 即点（x，y）在圆x2+y2=9的内部的概率，‎ 故答案为 ‎ ‎　‎ ‎15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．‎ ‎【解答】解：∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．‎ ‎∵双曲线方程为x2﹣y2=1，‎ ‎∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8‎ 又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4‎ 因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12‎ ‎∴|PF1|+|PF2|的值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是　1﹣2＜b≤﹣1　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线方程变形后，表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b与圆有2个公共点，‎ ‎【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，表示圆心A为（2，3），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，‎ 当直线y=x+b过B（4，3）时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=﹣1；‎ 当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b﹣1=2（不合题意舍去）或b﹣1=﹣2，‎ 解得：b=1﹣2，‎ 则直线与曲线有两个公共点时b的范围为1﹣2＜b≤﹣1．‎ 故答案为：1﹣2＜b≤﹣1‎ ‎　‎ 三、解答题：（共6小题，共70分）‎ ‎17．已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2‎ 经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．‎ ‎（1）若l1∥l2，求m的值；‎ ‎（2）若l1⊥l2，求m的值．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由两点式求出l1的斜率．‎ ‎（1）再由两点求斜率的到l2的斜率，由斜率相等求得m的值；‎ ‎（2）由两直线的斜率乘积等于﹣1得答案．‎ ‎【解答】解：∵直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），∴直线l1的斜率为：‎ 直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0），∴直线l2的斜率为．‎ ‎（1）若l1∥l2，则=，∴m=‎ ‎（2）若l1⊥l2，则=﹣1，∴m=﹣2．‎ ‎　‎ ‎18．设平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，2），C（﹣4，1）．‎ ‎（1）求直线BC的一般式方程；‎ ‎（2）求△ABC的外接圆的标准方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据A（﹣1，1），B（﹣1，2），可知直线BC的斜率不存在，即可得出一般式方程；‎ ‎（2）根据kAC=0，直线AB的斜率不存在，可得AB⊥AC．利用直角三角形的外接圆的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（﹣1，2），∴直线BC的一般式方程为：x+1=0；‎ ‎（2）∵kAC=0，直线AB的斜率不存在，‎ ‎∴AB⊥AC．‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ 线段BC的中点，为△ABC外接圆的圆心．‎ 外接圆的半径r===．‎ ‎∴△ABC的外接圆的标准方程为： +=．‎ ‎　‎ ‎19．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；‎ ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积×底边中点横坐标之和，求出本次考试的平均分；‎ ‎（Ⅱ）利用频数=频率×样本数，求出分数在[30，50）和[130，150]的学生人数，再按照分层抽样的方法按比例求出3人中成绩在[130，150]的有几人？‎ ‎（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，分数在[130，150]的有1人，问题为古典概型．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为 ‎0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100‎ ‎+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．‎ ‎（Ⅱ）样本中分数在[30，50）和[130，150]的学生人数分别为6人和3人，‎ 所以抽取的3人中成绩在[130，150]的有=1人．‎ ‎（III）由（II）知，抽取的3人中分数在[30，50）的有2人，记为a，b，‎ 分数在[130，150]的有1人，记为c，从中随机抽取2人，总的情形有（a，b），（a，c），（b，c）三种．‎ 而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形为（a，c），（b，c）两种，‎ 故所求的概率为：P=．‎ ‎　‎ ‎20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求AC与PB所成的角余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．‎ ‎（Ⅰ）证明DC⊥面PAD即可得面PAD⊥面PCD．‎ ‎（Ⅱ）由 ‎∴，得cos＜‎ ‎＞=‎ ‎（Ⅲ）求出平面AMC、平面BMC的法向量分别为，求出cos＜＞‎ 即可得平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值 ‎【解答】因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，‎ 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．‎ ‎（Ⅰ）证明：因，，故，∴AP⊥DC 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．‎ 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．‎ ‎（Ⅱ）解：因 ‎∴，∴cos＜＞=‎ ‎（Ⅲ）设平面AMC、平面BMC的法向量分别为 ‎，由，取；‎ ‎，由，取 cos＜＞=．‎ 平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 ‎（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=|PD|，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得：；‎ ‎（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，弦长公式：丨AB丨=•，即可求得直线被C所截线段的长度．‎ ‎【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），‎ 由|MD|=|PD|，解得：‎ ‎∵P在圆上，‎ ‎∴x'2+y'2=25，即，整理得：，‎ 即C的方程为：；…‎ ‎（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…‎ 设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入C的方程，得，整理得：x2﹣3x﹣8=0…‎ ‎∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，…‎ ‎∴线段AB的长度为，‎ 线段AB的长度丨AB丨=…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴k=±1．‎