数学卷·2018届贵州省安顺市平坝一中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届贵州省安顺市平坝一中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年贵州省安顺市平坝一中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）‎ ‎1．下面一段程序执行后输出结果是（　　）‎ A．2 B．8 C．10 D．18‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ‎②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件 ‎③“明天安顺要下雨”是必然事件 ‎④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为（　　）‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎4．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（　　）‎ A．32 B．0.2 C．40 D．0.25‎ ‎6．袋中装有6只白球，5只黄球，4只红球，从中任取一球，抽到不是白球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．.非以上答案 ‎7．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是（　　）‎ A．120 B．720 C．1 440 D．5 040‎ ‎9．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．统计结果如图，则取到号码为奇数的频率是（　　）‎ 卡片号码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 取到的次数 ‎13‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎9‎ A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37‎ ‎11．如图所示，程序执行后的输出结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎12．小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若六进制数3m502（6），化为十进制数为4934，则m=　　．‎ ‎14．在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，则所选的2个球至少有1个红球的概率是　　．‎ ‎15．用辗转相除法求出153和119的最大公约数是　　．‎ ‎16．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为　　，数据落在（2，10）内的概率约为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分解答要写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）‎ ‎17．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C=“抽到的三等品”，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.1，P（C）=0.05，求下列事件的概率：‎ ‎（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”；‎ ‎（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．‎ ‎（1）求证：PB⊥平面ADMN；‎ ‎（2）求BD与平面ADMN所成的角；‎ ‎（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．‎ ‎19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如表：‎ 分组 频数 ‎[1.30，1.34）‎ ‎4‎ ‎[1.34，1.38）‎ ‎25‎ ‎[1.38，1.42）‎ ‎30‎ ‎[1.42，1.46）‎ ‎29‎ ‎[1.46，1.50）‎ ‎10‎ ‎[1.50，1.54）‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）列出频率分布表，并画出频率分布直方图；‎ ‎（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？‎ ‎（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．‎ ‎20．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为（﹣1，2），（4，3），AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求直线MN的方程．‎ ‎21．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ t ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+；‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）‎ ‎22．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．‎ ‎（1）证明：DN∥平面PMB；‎ ‎（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；‎ ‎（3）求直线PB与平面BD的夹角．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省安顺市平坝一中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）‎ ‎1．下面一段程序执行后输出结果是（　　）‎ A．2 B．8 C．10 D．18‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用顺序结构计算变量A的值，并输出，逐行分析程序各语句的功能不难得到结果．‎ ‎【解答】解：∵A=2，‎ ‎∴A=A×2=2×2=4，‎ ‎∴A=A+6=4+6=10．‎ 故输出的变量A的值是10．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ‎②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件 ‎③“明天安顺要下雨”是必然事件 ‎④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】必然事件是一定会发生的事件，随机事件有偶然性，不会发生的事件不可能事件，根据三种事件的定义解答．‎ ‎【解答】解：对于①，三个球分为两组，有两种情况，1+2和3+0，所以①是正确的命题；‎ 对于②，一实数x都有x2≥0，所以②是正确的命题；‎ 对于③，“明天安顺要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；‎ 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”，发生与否是随机的，所以④，是正确的命题．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为（　　）‎ A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎【考点】收集数据的方法．‎ ‎【分析】分析三个事件的特点，①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样．‎ ‎【解答】解：①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，‎ ‎②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，‎ ‎③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据一组数是前一组数x1，x2，…，xn扩大倍后，再增大，故其中平均数也要扩大倍后，再增大，而其方差扩大（）2倍，由此不难得到答案．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，‎ ‎∴的平均数为，‎ 的方差为3s2‎ 故选C ‎　‎ ‎5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（　　）‎ A．32 B．0.2 C．40 D．0.25‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．‎ ‎【解答】解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为 所以中间一组的频数为160×0.2=32‎ 故选A ‎　‎ ‎6．袋中装有6只白球，5只黄球，4只红球，从中任取一球，抽到不是白球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．.非以上答案 ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】袋中装有15个球，从中任取1球有15种取法，且取到每个球的概率相等，故为古典概型．取道白球的概率为=，“抽到的不是白球”与“抽到的是白球”为对立事件，利用对立事件概率和为1求解即可．‎ ‎【解答】解：袋中装有15个球，从中任取1球有15种取法，“抽到的不是白球”即为事件A，则P（）==‎ 所以P（A）=1﹣=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中和为9的情况，可得其数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，‎ 则2张卡片的取法有6×6=36种，‎ 其中和为9的情况有（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种情况，‎ 则两数之和等于9的概率为=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．执行如图的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是（　　）‎ A．120 B．720 C．1 440 D．5 040‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据输入的N是6，然后判定k=1，满足条件k＜6，则执行循环体，依此类推，当k=6，不满足条件k＜6，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．‎ ‎【解答】解：若输入的N是6，则：‎ k=1，p=1，执行循环体，p=1，满足条件k＜6，‎ k=2，p=2，满足条件k＜6，‎ k=3，p=6，满足条件k＜6，‎ k=4，p=24，满足条件k＜6，‎ k=5，p=120，满足条件k＜6，‎ k=6，p=720，不满足条件k＜6，则退出执行循环体，此时p=720．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】分析出共可得到多少个分数，再在其中分析有多少个分子与分母能约分的分数，相比即为所求的概率．‎ ‎【解答】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，‎ 由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，‎ 故这种分数是可约分数的共有个，‎ 则分数是可约分数的概率为P==，‎ 故答案为：D ‎　‎ ‎10．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．统计结果如图，则取到号码为奇数的频率是（　　）‎ 卡片号码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 取到的次数 ‎13‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎9‎ A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．这样事件的总数是100，从表中可以看出取到的卡片上数字是奇数有53种情况，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知：本题是一个古典概型，‎ ‎∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，‎ ‎∴事件总数是100，‎ 由表可以看出取到号码为奇数有13+5+6+18+11=53种结果，‎ ‎∴P==0.53，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示，程序执行后的输出结果为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当s=15时不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0‎ 满足条件s＜15，s=5，n=4‎ 满足条件s＜15，s=9，n=3‎ 满足条件s＜15，s=12，n=2‎ 满足条件s＜15，s=14，n=1‎ 满足条件s＜15，s=15，n=0‎ 不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，‎ ‎∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}‎ 集合对应的面积是长为60的线段，‎ 而满足条件的事件对应的集合是A={x|30＜x＜50}‎ 得到 其长度为20‎ ‎∴两人能够会面的概率是 =，‎ 故选：D ‎　‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若六进制数3m502（6），化为十进制数为4934，则m=　4　．‎ ‎【考点】排序问题与算法的多样性．‎ ‎【分析】由已知中六进制数3m502（6），累加权重可得3m502（6）=4070+182m，又由化为十进制数为4934，构造方程，解得m值 ‎【解答】解：∵3m502（6）=2+5×62+m×63+3×64=4070+182m=4934‎ 解得m=4‎ 故答案为4‎ ‎　‎ ‎14．在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，则所选的2个球至少有1个红球的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】根据所有的取法共有C62种，而所选取的2个球中至少有1个红球的取法有C21•C41+C42种，由此求得所选取的2个球中至少有1个红球的概率．‎ ‎【解答】解：在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，所有的取法共有 C62=15种，‎ 则选取的2个球中至少有1个红球的取法有C21•C41+C42=14种，‎ 故所选的2个球至少有1个红球的概率等于，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．用辗转相除法求出153和119的最大公约数是　17　．‎ ‎【考点】辗转相除法．‎ ‎【分析】利用“辗转相除法”即可得出．‎ ‎【解答】解：153=119×1+34，119=34×3+17，34=17×2．‎ ‎∴153与119的最大公约数是17．‎ 故答案为17．‎ ‎　‎ ‎16．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为　64　，数据落在（2，10）内的概率约为　0.4　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．‎ ‎【解答】解：观察直方图易得 数落在[6，10]内的频率=0.08×4；‎ 数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；‎ ‎∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．‎ 故答案为64 0.4．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分解答要写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）‎ ‎17．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C=“抽到的三等品”，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.1，P（C）=0.05，求下列事件的概率：‎ ‎（1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”；‎ ‎（2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】利用互斥事件概率加法公式求解．‎ ‎【解答】解：设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C=“抽到的三等品”，‎ 且已知P（A）=0.7，P（B）=0.1，P（C）=0.05，‎ ‎（1）P（D）=P（A∪B）‎ ‎=P（A）+P（B）=0.7+0.1=0.8‎ ‎（2）P（E）=P（B∪C）‎ ‎=P（B）+P（C）=0.1+0.05=0.15．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．‎ ‎（1）求证：PB⊥平面ADMN；‎ ‎（2）求BD与平面ADMN所成的角；‎ ‎（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）推导出AN⊥PB，AD⊥PB，由此能证明PB⊥平面ADMN．‎ ‎（2）连结DN，则∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，由此能求出BD与平面ADMN所成的角．‎ ‎（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，则∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角，由此能求出当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．‎ ‎【解答】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，‎ ‎∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面 ‎∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．‎ ‎∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．‎ 又∵AD∩AN=N ‎∴PB⊥平面ADMN．‎ 解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，‎ ‎∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．‎ 在Rt△BDN中，，‎ ‎∴BD与平面ADMN所成的角是．‎ ‎（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA ‎∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF ‎∴∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角 若∠AFE=45°，则AE=AF 由 AF•CD=AB•AD，可解得 ‎∴当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．‎ ‎　‎ ‎19．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如表：‎ 分组 频数 ‎[1.30，1.34）‎ ‎4‎ ‎[1.34，1.38）‎ ‎25‎ ‎[1.38，1.42）‎ ‎30‎ ‎[1.42，1.46）‎ ‎29‎ ‎[1.46，1.50）‎ ‎10‎ ‎[1.50，1.54）‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）列出频率分布表，并画出频率分布直方图；‎ ‎（2）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？‎ ‎（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图；‎ ‎（2）由频率分布表可得纤度落在[1.38，1.42]、[1.42，1.46]、[1.46，1.50]中的概率，将其相加[1.38，1.50]中的概率，由频率分布直方图可以估算纤度小于1.40的频数，由频率与频数的关系，计算可得纤度小于1.40的概率．‎ ‎（3）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即得．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，补充频率分布表可得：‎ 分组 频数 频率 ‎[1.30，1.34）‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎[1.34，1.38）‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎[1.38，1.42）‎ ‎30‎ ‎0.30‎ ‎[1.42，1.46）‎ ‎29‎ ‎0.29‎ ‎[1.46，1.50）‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎[1.50，1.54）‎ ‎2‎ ‎0.02‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ 进而可以作频率直方图可得：‎ ‎（2）由频率分布表，可得纤度落在[1.38，1.42]中的概率为0.3，‎ 纤度落在[1.42，1.46]中的概率为0.29，‎ 纤度落在[1.46，1.50]中的概率为0.10，‎ 则纤度落在[1.38，1.50]中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，‎ 由频率分布表可得，纤度小于1.40的频数约为4+25+×30=44，则纤度小于1.40的概率约为0.44．‎ ‎（3）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，‎ ‎∴中间的两个矩形最高，所以众数是1.40，中位数：1.408，‎ 平均数：1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088．‎ ‎　‎ ‎20．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为（﹣1，2），（4，3），AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求直线MN的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）设C（x，y），根据AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．利用中点坐标公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）利用中点坐标公式可得：yM，xN．再利用截距式即可得出直线MN的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设C（x，y），∵AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎∴=0， =0，‎ 解得x=1，y=﹣3．‎ ‎（2）由（1）可得：yM==﹣，xN==．‎ M（0，﹣），N．‎ ‎∴直线MN的方程是+=1，化为2x﹣10y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎21．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ t ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+；‎ ‎（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）建立坐标系，由表中数据画出散点图；‎ ‎（2）利用线性回归方程公式，分别求出，，即得方程；‎ ‎（3）由（2）的结论代入，即可得出结论．‎ ‎【解答】解（1）散点图如下：‎ ‎ ‎ ‎（2）==4.5， ==3.5‎ ‎=32+42+52+62=86 ‎ ‎===0.7 ‎ ‎=﹣=3.5﹣0.7×4.5=0.35 ‎ 故线性回归方程为y=0.7x+0.35 ‎ ‎（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35=70.35‎ 故耗能减少了90﹣70.35=19.65（吨） ‎ ‎　‎ ‎22．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．‎ ‎（1）证明：DN∥平面PMB；‎ ‎（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；‎ ‎（3）求直线PB与平面BD的夹角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；单峰函数．‎ ‎【分析】（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出QNMD得到四边形MQND是平行四边形，可得DN∥MQ．利用线面平行判定定理，即可证出DN∥平面PMB；‎ ‎（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，从而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用线面垂直的判定定理，证出MB⊥平面PAD，结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；‎ ‎（3）由前面的证明，可得△PBD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到直线PB与平面BD的夹角为45°．‎ ‎【解答】解：（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，‎ ‎∵M、N分别是棱AD、PC中点，‎ ‎∴QN∥BC∥MD，且QN=MD，‎ 四边形MQND是平行四边形，可得DN∥MQ．‎ ‎∵MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB ‎∴DN∥平面PMB；…‎ ‎（2）∵PD⊥底ABCD，MB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥MB 又∵底面ABCD为菱形，∠A=60°且M为AD中点，‎ ‎∴MB⊥AD．‎ 又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线，∴MB⊥平面PAD．‎ ‎∵MB⊂平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD；…‎ ‎（3）连结BD，‎ ‎∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°‎ ‎∴△ABD是边长为a的正三角形 ‎∵PD⊥底ABCD，且PD=CD，‎ ‎∴RT△PBD中，PD=BD=a，可得∠PBD=45°‎ 即直线PB与平面BD的夹角等于45°…‎