2020高中数学 第2章 平面向量 第四讲 向量的数量积习题 苏教版必修4

2020高中数学 第2章 平面向量 第四讲 向量的数量积习题 苏教版必修4

向量的数量积 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 下列式子：‎ ‎①＝；②（a·b）2＝a2·b2；③a·a·a＝a3；④（a·b）·c＝a·（b·c）‎ 其中错误的序号为________。‎ ‎*2. （安徽高考）若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为_______。‎ ‎**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy中，已知＝（－1，t），＝（2,2），若∠ABO＝90°，则实数t的值为________。‎ ‎*4. 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________。‎ ‎**5. 已知向量a＝（1,2），b＝（－2，－4），|c|＝，若（a＋b）·c＝，则a与c的夹角是________。‎ ‎**6. 已知向量＝（2,2），＝（4,1），O为坐标原点，在x轴上取一点P使·有最小值，则点P的坐标是________。‎ ‎**7. 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？‎ ‎**8. 已知|a|＝，|b|＝3，a和b的夹角为45°，求当向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角时λ的取值范围。‎ ‎***9. 已知a＝（，－1），b＝（，），且存在实数k和t，使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值。‎ 3‎ ‎1. ①②④ 解析：①错，因为不存在这样的运算，向量间只能作加、减、乘运算，此题应分子、分母先分开算；②错，因为（a·b）2＝（|a|·|b|cos θ）2＝a2·b2cos2θ不一定与a2·b2相等；④错，因为a与c方向未必一致。‎ ‎2. － 解析：由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝（a＋2b）2＝|a|2＋4|b|2＋‎4a·b，所以a·b＝－|b|2，又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－。‎ ‎3. 5 解析：∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0,‎ 又＝－＝（2,2）－（－1，t）＝（3,2－t），‎ ‎∴（2,2）·（3,2－t）＝6＋2（2－t）＝0，‎ ‎∴t＝5。‎ ‎4. － 解析：选，为基底，则＝－＋，‎ ‎＝－＋，‎ ‎∴·＝（－＋）·（－＋）＝－。‎ ‎5. π 解析：设c＝（x，y），则（a＋b）·c＝（－1，－2）·（x，y）＝－x－2y＝，∴x＋2y＝－，又|a|＝|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cos α，故cos α＝－，α∈[0，π]，α＝π。‎ ‎6. （3,0） 解析：设点P坐标为（x,0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1），·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，当x＝3时，·有最小值1，‎ ‎∴点P的坐标为（3,0）。‎ ‎7. 解：∵（ka－b）⊥（a＋2b），‎ ‎∴（ka－b）·（a＋2b）＝0，ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，k×52＋（2k－1）×5×4×cos 60°－2×42＝0，‎ ‎∴k＝，即k＝时，向量ka－b与向量a＋2b垂直。‎ ‎8. 解：因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以（a＋λb）·（a＋b）＝a2＋（1＋λ）a·b＋λb2＝12λ＋5＞0，‎ 由此解得λ＞－，若向量a＋λb与a＋b同向，则存在唯一的正数k，使得a＋λb＝k（a＋b）成立，有k＝λ＝1，‎ 要保证向量a＋λb与a＋b不同向，则必须λ≠1.‎ 综上所述，当λ＞－且λ≠1时，向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角。‎ 3‎ ‎9. 解：∵a＝（，－1），b＝（，），‎ ‎∴|a|＝＝2，‎ ‎|b|＝＝1，‎ 又∵a·b＝×＋（－1）×＝0，∴a⊥b，‎ 由x⊥y得[a＋（t2－3）b]·（－ka＋tb）＝0，‎ 即－ka2＋（t3－3t）b2＋（t－kt2＋3k）a·b＝0，‎ ‎∴－k|a|2＋（t3－3t）|b|2＝0.‎ 将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0，‎ 解得k＝，‎ ‎∴＝ （t2＋4t－3）＝ （t＋2）2－，‎ 故当t＝－2时，取得最小值，为－。‎ 3‎