寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题15 导数及其运算（解析）x

寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题15 导数及其运算（解析）x

专题15　导数及其运算 ‎　　　　　　　　　　‎ ‎1．导数的几何意义 ‎2．基本初等函数的导数公式 ‎(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0；‎ ‎(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1；‎ ‎(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；‎ ‎(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；‎ ‎(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln a；‎ ‎(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；‎ ‎(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ ；‎ ‎(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.‎ ‎3．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)[]′＝(g(x)≠0)．‎ 例1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．‎ 变式1　若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ 例2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝.‎ 变式2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x＋2cos x；(2)f(x)＝ex.‎ 例3　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)‎ A．2 B．0 C．－2 D．－4‎ 变式3　已知函数f(x)满足f(x)＝ex－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式．‎ A级 ‎1．若函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1，则f′(0)等于(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则在A处的切线斜率等于(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．6‎ ‎3．点P(1,1)是曲线y＝x2－aln x上一点，若曲线在点P处的切线是直线y＝x，则a等于(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A. B．2e2 C．e2 D. ‎5．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　)‎ A．(3,9) B．(－3,9)‎ C. D．(1,1)‎ ‎6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.‎ ‎7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ B级 ‎8．函数y＝的导数是(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－2‎ ‎10．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．‎ ‎12．设函数f(x)满足x2f′(x)＋f(x2－x＋1)＝ex，则f′(1)的值为________．‎ ‎13．已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；‎ ‎ (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．‎ 详解答案 典型例题 例1　解　f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，‎ 故b＝4，a＋b＝8，解得a＝b＝4.‎ 变式1　 解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.‎ 例2　解　(1)方法一　y′＝‎ ‎＝＝.‎ 方法二　y＝＝＝1＋，y′＝－.‎ ‎(2)y′＝＝.‎ 变式2　解　(1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′‎ ‎＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cos x)′‎ ‎＝2xsin x＋x2cos x－2sin x.‎ ‎(2)f′(x)＝‎ ‎＝xex·.‎ 例3　D　[f′(x)＝2x＋2f′(1)，‎ 令x＝1，得f′(1)＝－2，‎ 于是f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.]‎ 变式3　解　f′(x)＝ex－f(0)＋x，‎ 令x＝1，得f(0)＝1.‎ 所以f(x)＝ex－x＋x2.‎ 令x＝0，得f′(1)＝f(0)e＝e.‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2.‎ 强化提高 ‎1．B ‎2．D　[∵y＝2x3，∴y′＝6x2.∴y′|x＝1＝6.‎ ‎∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]‎ ‎3．A　[y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－a＝1，所以a＝1.]‎ ‎4．D　5.C　6.3　7.(e，e)　8.B　9.D ‎10．[2，＋∞)‎ 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝x－a＋.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，‎ ‎∴f′(x)存在零点，‎ 即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.‎ ‎11．－3‎ 解析　y＝ax2＋的导数为 y′＝2ax－，‎ 直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.‎ 由题意得 解得 则a＋b＝－3.‎ ‎12．e－1‎ 解析　令x＝0，得f(1)＝1；令x＝1，得f′(1)＋f(1)＝e，故f′(1)＝e－1.‎ ‎13．解　(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，‎ 得f′(x)＝x(2＋cos x)‎ ‎∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，‎ 则a＝0，b＝f(0)＝1.‎ ‎(2)令f′(x)＝0，得x＝0.‎ ‎∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．‎ ‎∴f(x)的最小值为f(0)＝1.‎ 由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，‎ 所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎