2020年高中数学第四章导数及其应用4

2020年高中数学第四章导数及其应用4

‎4.4　生活中的优化问题举例 一、基础达标 ‎1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ‎(　　)‎ A．4 B．‎6 ‎‎ C．4.5 D．8‎ 答案　A 解析　设底面边长为x，高为h，‎ 则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，‎ ‎∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，‎ ‎∴S′(x)＝2x－.‎ 令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.‎ ‎2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为 ‎(　　)‎ A．0.016 2 B．0.032 ‎4 ‎‎ C．0.024 3 D．0.048 6‎ 答案　B 解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．‎ 所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(00；‎ 当0.032 40，‎ ‎∴r＝是其唯一的极值点．‎ ‎∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.‎ ‎4．用边长为‎120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 ‎(　　)‎ A．120 ‎000 cm3 B．128 ‎000 cm3‎ C．150 ‎000 cm3 D．158 ‎000 cm3‎ 答案　B 解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．‎ 水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (00.‎ 求导数，得S′(x)＝2－.‎ 令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．‎ 于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；‎ 当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.‎ 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．‎ 所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．‎ 二、能力提升 ‎8．把长为‎12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ‎(　　)‎ A. cm2 B．‎4 cm‎2 ‎ C．‎3 cm2 D．‎2 cm2‎ 答案　D 解析　设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.‎ ‎9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ‎(　　)‎ 6‎ A．150 B．‎200 ‎‎ C．250 D．300‎ 答案　D 解析　由题意得，总利润 P(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.‎ ‎10. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为‎2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料‎60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．‎ 答案　6　3‎ 解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋‎2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．‎ 此时n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使y最小．‎ ‎12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为‎20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为‎100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？‎ 解　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.‎ 则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．‎ 由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，‎ ‎∴f(x)＝a(0＜x＜100)．‎ 令f′(x)＝＝0，‎ 得x＝10.‎ 当00.‎ ‎∴当x＝10时，f(x)有最小值，‎ 即速度为‎10 km/h时，总费用最少．‎ 三、探究与创新 ‎13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．‎ ‎(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ 6‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的r.‎ 解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr‎2l＋πr3，‎ 又V＝，‎ 故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此03，所以c－2>0.‎ 当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，‎ 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．‎ ‎①当0时，令y′＝0，得r＝m.‎ 当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，‎ 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．‎ ‎②当m≥2，即3时，建造费用最小时 r＝.‎ 6‎