2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考一模数学理

2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考一模数学理

2017 年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则(ð RA)∩B=( ) A.{0} B.{2} C.{2，4} D.{0，1，2} 解析：根据题意，由集合 B={y|y=2x，x∈A}，结合 A 的元素可得集合 B，分析可得(ð RA)∩ B 中的元素为属于 B 不属于 A 的元素，即可得答案. 答案：B. 2.在等差数列{an}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差 d 为( ) A.-14 B.-7 C.7 D.14 解析：利用等差数列的通项公式及其性质即可得出. 答案：C. 3.若函数 f(x)=3cos(ωx- 4  )(1＜ω＜14)的图象关于 x= 12  对称，则ω等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析：由题意可得 ω- 4  =kπ，k∈Z，由此求得ω的值. 答案：B. 4.函数 f(x)=-|x|- x +3 的零点所在区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可. 答案：B. 5.在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC 的 周长为( ) A.7.5 B.7 C.6 D.5 解析：由已知利用余弦定理可求 c 的值，进而可得周长的值. 答案：D. 6.设向量 a =(2tanα，tanβ)，向量b =(4，-3)，且 a + = 0 ，则 tan(α+β)等于( ) A. 1 7 B.- 1 5 C. D.- 1 7 解析：利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得 tan(α+β)的值. 答案：A. 7.当双曲线 M： 22 2 26 xy mm  =1(-2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线 M 的渐近线方程为 ( ) A.y=± 2 x B.y=± 2 2 x C.y=±2x D.y=± 1 2 x 解析：由题意可得 c2=m2+2m+6=(m+1)2+5，可得 m=-1 取得最小值，由双曲线的渐近线方程， 可得渐近线的斜率. 答案：C. 8.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体 的体积为( ) A.6π+12 B.6π+24 C.12π+12 D.24π+12 解析：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论. 答案：A. 9.设正数 x，y 满足-1＜x-y＜2，则 z=x-2y 的取值范围为( ) A.(0，2) B.(-∞，2) C.(-2，2) D.(2，+∞) 解析：由约束条件作出可行域，z=x-2y，化为直线方程的斜截式，求出 z 的范围得答案. 答案：B. 10.将函数 f(x)=2sin(2x+ 6  )的图象向左平移 12  个单位，再向上平移 1 个单位，得到 g(x) 的图象.若 g(x1)g(x2)=9，且 x1，x2∈[-2π，2π]，则 2x1-x2 的最大值为( ) A. 49 12  B. 35 6  C. 25 6  D.17 6  解析：由已知可得 g(x)=2sin(2x+ 3  )+1，若 g(x1)g(x2)=9，且 x1，x2∈[-2π，2π]，则 g(x1)=g(x2)=3，则 2x+ = 2  +2kπ，k∈Z，结合 x1，x2∈[-2π，2π]，可得答案. 答案：A. 11.在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记 者 5 人，主持人需要从这 10 名记者中选出 4 名记者提问，且这 4 人中，既有甲电台记者， 又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为( ) A.1200 B.2400 C.3000 D.3600 解析：由题意，甲电台记者选 1 名，乙电视台记者选 3 人，不同的提问方式的种数为 1 3 1 3 5 5 4 3C C C A =1200 ； 甲 电 台 记 者 选 2 名 ， 乙 电 视 台 记 者 选 2 人 ， 不 同 的 提 问 方 式 的 种 数 为  2 2 2 2 2 2 5 5 2 2 2 22C C A A A A =1200，即可得出结论. 答案：B. 12.已知函数 f(x)=2x-5，g(x)=4x-x2，给下列三个命题： p1：若 x∈R，则 f(x)f(-x)的最大值为 16； p2：不等式 f(x)＜g(x)的解集为集合{x|-1＜x＜3}的真子集； p3：当 a＞0 时，若 x1，x2∈[a，a+2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则 a≥3， 那么，这三个命题中所有的真命题是( ) A.p1，p2，p3 B.p2，p3 C.p1，p2 D.p1 解析：给出 f(x)f(-x)的表达式，结合基本不等式，可判断 p1，在同一坐标系中作出函数 f(x)=2x-5，g(x)=4x-x2 的图象，数形结合，可判断 p2，p3. 答案：A. 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.sin63°cos18°+cos63°cos108°=_____. 解析：利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解. 答案： 2 2 . 14.设函数 f(x)=   6 2 1 log 4 4 xx f x x   ， ， ＜ ，则 f(3)+f(4)=_____. 解析：先分别求出 f(3)=f(9)=1+log69，f(4)=1+log64，由此能求出 f(3)+f(4). 答案：4. 15.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织 几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前 3 天所织布的总 尺数为_____. 解析：利用等比数列的求和公式即可得出. 答案： 35 31 . 16.在 Rt△AOB 中，OA OB =0，|OA|= 5 ，|OB |=2 5 ，AB 边上的高线为 OD，点 E 位 于线段 OD 上，若 3 4OE EA，则向量 EA 在向量OD 上的投影为_____. 解析：由题意可得∠AOB= 2  ，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出 AD 的值，可 得 D、E 的坐标，由 ，求得λ的值，可得向量 在向量 上的投影为 ED=| OD OE |的值. 答案： 1 2 或 3 2 . 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设函数 f(x)=x+ 1 x +a 为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数. (1)求实数 a 的值； (2)判断函数 f(x)在区间(a+1，+∞)上的单调性，并用定义法证明. 解析：(1)利用 f(x)=x+ 1 x +a 为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，f(-x)=-f(x)，即 可求实数 a 的值； (2)利用函数单调性的定义进行证明. 答案：(1)∵f(x)=x+ +a 为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数， ∴f(-x)=-f(x)， ∴-x- +a=-(x+ +a)，∴a=0. (2)函数 f(x)在区间(1，+∞)上是增函数. 证明：设 1＜x1＜x2， 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+ 12 11 xx =x1-x2- 12 12 xx xx  =(x1-x2) 12 12 1xx xx  . ∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0， 12 12 1xx xx  ＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2). ∴函数 f(x)在区间(1，+∞)上是增函数. 18.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，C 为锐角且 asinA=bsinBsinC，b= 2 a. (1)求 C 的大小； (2)求 2 2 c a 的值. 解析：(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，可求 sinC= 1 2 ，结合 C 为锐角， 可求 C 的值. (2)由余弦定理即可解得 2 2 c a 的值. 答案：(1)由已知，asinA=bsinBsinC， 利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC， 由于：sinC= ，C 为锐角， 解得：C= 6  . (2)由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=3a2-2a× 2 a× 3 2 =3a2- 6 a2， 故解得： 2 2 =3 6c a  . 19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的 危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两 个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜， 根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元) 满足 P=80+4 2a ，Q= 1 4 a+120，设甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益 为 f(x)(单位：万元). (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解析：(1)由甲大棚投入 50 万元，则乙大投棚入 150 万元，把 a 的值代入即可得出. (2)f(x)=80+4 2x + 1 4 (200-x)+120=- x+4 +250，依题意得 20 200 20 x x    20≤x ≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出. 答案：(1)∵甲大棚投入 50 万元，则乙大投棚入 150 万元， ∴f(50)=80+4 2 50 + ×150+120=277.5 万元. (2)f(x)=80+4 + (200-x)+120=- x+4 +250，依题意得 20≤x ≤180， 故 f(x)=- x+4 +250(20≤x≤180). 令 t= x ∈[2 5 ，6 ]，则 f(x)=- t2+4 2 t+250=- (t-8 )2+282， 当 t=8 ，即 x=128 时，f(x)max=282 万元. 所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282 万元. 20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+an-1，且 a1，a4 是等比数列{bn}的前两项，记 bn 与 bn+1 之 间包含的数列{an}的项数为 cn，如 b1 与 b2 之间包含{an}中的项为 a2，a3，则 c1=2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{ancn}的前 n 项和. 解析：(1)利用 an=Sn-Sn-1，求出数列{an}的通项公式，利用且 a1，a4 是等比数列{bn}的前两项， 求出公比即可求解{bn}的通项公式. (2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可. 答案：(1)由题意知，Sn=n2+an-1，Sn-1=(n-1)2+an-1-1(n≥2)，两式作差得 an=2n-1+an-an-1，即 an-1=2n-1(n≥2) 所以 an=2n+1，则 a1=3，a4=9， 所以 b1=3，b2=9，q= 2 1 b b =3，所以 bn=b1×qn-1=3n. (2)bn=3n，bn+1=3n+1，因为数列{an}是由连续的奇数组成的数列，而 bn 和 bn+1 都是奇数，所以 bn 与 bn+1 之间包含的奇数个数为 1331 3 12 nn n      ，所以 cn=3n-1 ancn=(2n+1)(3n-1)=(2n+1)3n-(2n+1).设{(2n+1)3n}的前 n 项和为 Tn， Tn=3×31+5×32+…+(2n+1)3n，①3Tn=3×32+5×33+…+(2n+1)3n+1，② ①---②，得-2Tn=9+ 1932 13 n  -(2n+1)3n+1=-2n·3n+1，则 Tn=n·3n+1， 所以数列{ancn}的前 n 项和为 Tn-Sn=n·3n+1-n2-2n. 21.已知函数 f(x)=(kx+a)ex 的极值点为-a-1，其中 k，a∈R，且 a≠0. (1)若曲线 y=f(x)在点 A(0，a)处的切线 l 与直线 y=|2a-2|x 平行，求 l 的方程； (2)若 a∈[1，2]，函数 f(x)在(b-ea，2)上为增函数，求证：e2-3≤b＜ea+2. 解析：(1)求出函数的导数，求出 k 的值，从而求出 a 的值，带入 a 的值，求出切线方程即 可； (2)问题转化为 x≥-a-1 对 x∈(b-ea，2)恒成立，根据-a-1≤b-ea，即 b≥ea-a-1 对 a∈[1， 2]恒成立，设 g(a)=ea-a-1，a∈[1，2]，根据函数的单调性证明即可. 答案：(1)当 k=0 时，f(x)无极值，故 k≠0. 由 fˊ(x)=(kx+a+k)ex=0， 得 x=- ak k  =-a-1， ∴a+k=ak+k. ∵a≠0，∴k=1. ∵fˊ(0)=a+1=|2a-2|，∴a=3 或 a= 1 3 . 当 a=3 时，f(x)=(x+3)ex，f(0)=3， ∴l 的方程为 y=4x+3. 当 a= 1 3 时，f(x)=(x+ 1 3 )ex，f(0)= 1 3 ， ∴l 的方程为 y= 4 3 x+ 1 3 . (2)证明：由题可知 fˊ(x)=(x+a+1)ex≥0 对 x∈(b-ea，2)恒成立， ∵ex＞0，∴x+a+1≥0，即 x≥-a-1 对 x∈(b-ea，2)恒成立， ∴-a-1≤b-ea，即 b≥ea-a-1 对 a∈[1，2]恒成立. 设 g(a)=ea-a-1，a∈[1，2]，则 gˊ(a)=ea-1＞0， ∴g(a)在[1，2]上递增，∴g(a)max=g(2)=e2-3，∴b≥e2-3. 又(b-ea＜2，∴e2-3≤b＜ea+2. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的参数方程 为 xt y at    ，(t 为参数)，曲线 C1 的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12，定点 A(6，0)，点 P 是曲线 C1 上的动点，Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)直线 l 与直线 C2 交于 M，N 两点，若|MN|≥2 3 ，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)首先，将曲线 C1 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而 确定点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等 式即可得到取值范围. 答案：(1)根据题意，由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2， 曲线 C1 的极坐标方程ρ(ρ-4sinθ)=12， 可得曲线 C1 的直角坐标方程为：x2+y2-4y=12， 设点 P(x′，y′)，Q(x，y)， 根据中点坐标公式，得 26 2 xx yy      ，代入 x2+y2-4y=12， 得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为：(x-3)2+(y-1)2=4； (2)直线 l 的普通方程为：y=ax， 设圆心到直线的距离为 d， 由弦长公式可得，|MN|= 2222 d ≥2 3 ， 可得圆心(3，1)到直线的距离为 d=  22 2 31 23 1 a a    ， 即为 4a2-3a≤0， 解得实数 a 的取值范围为：[0， 3 4 ]. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|，x∈R. (1)解不等式 f(x)≤5； (2)若不等式 m2-m＜f(x)， x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)原不等式等价于 1 2 4 4 5 x x    ＜ ①，或 13 22 25 x    ②，或 3 2 4 4 5 x x    ＞ ③.分别求得 ①、②、③的解集，再取并集，即得所求. (2)利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值为 2，可得 m2-m＜2，由此解得实数 m 的取值 范围. 答案：(1)原不等式等价于 ①，或 ②，或 3 2 4 4 5 x x    ＞ ③. 解①求得- 1 4 ≤x＜ 1 2 ，解②求得 ≤x≤ 3 2 ，解③求得 ＜x≤ 9 4 ， 因此不等式的解集为[- ， ]. (2)∵f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-(2x-3)|=2， ∴m2-m＜2，解得-1＜m＜2， 即实数 m 的取值范围为(-1，2).