2017-2018学年河南省中原名校(豫南九校)高二上学期第二次联考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南省中原名校(豫南九校)高二上学期第二次联考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省中原名校(豫南九校)高二上学期第二次联考数学（文）试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知命题：，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定为存在命题，命题：，，则为，‎ ‎，选B.‎ ‎2. 在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据余弦定理，，选C.‎ ‎3. 在中，角，，所对边分别是，，，若，，且，满足题意的有（ ）‎ A. 0个 B. 一个 C. 2个 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】，，,为锐角，且， b，满足题意的有一个，选B.‎ ‎4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等差数列的前项和，,选D.‎ ‎5. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】C ‎【解析】，则为锐角，根据正弦定理，，则，则 ，选C.‎ ‎6. 设为等比数列，若，，，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则 ，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A.‎ ‎7. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，符合题意，时，关于的不等式的解集为，只需，综上可知实数的取值范围是，选B.‎ ‎8. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，， ，，， ，，，选B.‎ ‎9. 设是等比数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列首项为，公比为， ，，则，， ，，选D.‎ ‎10. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ， ，， ，，，选B. ‎ ‎11. 椭圆（）的两个焦点是，，若为其上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，则，则，，，又，椭圆离心率的取值范围是，选C.‎ ‎12. 已知变量，满足约束条件则目标函数（）的最大值为16，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎...............‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 100以内的正整数有__________个能被7整除的数．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】它们分别为，共计14个.‎ ‎14. 等比数列的前项和，若，为递增数列，则公比的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时，有 ，恒成立，若， ，即 成立，若 只要，若，需要恒成立，当时，恒成立，当时，也恒成立，当时，若为偶数时，也不可能恒成立，所以的取值范围为 ‎ ‎15. 在中，，，是的中点，，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】延长至N，使，连接，则四边形为平行四边形，，在 中，，在中，， ，.‎ ‎16. 设，实数，满足若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数的取值范围是，填.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：首先落实集合A与B，解一元二次不等式求出集合A，由于解一元二次不等式得出集合B，根据p找出非p,由于若是的充分不必要条件，说明非p对应的集合是q对应的集合的真子集，借助集合的包含关系列出不等式，解出a的范围；‎ 试题解析：‎ 由得 ，‎ 由得 ‎． ‎ 又因为是的充分不必要条件,‎ 所以解得．‎ ‎【点睛】有关充要条件问题有两种解释，第一是从逻辑关系的角度去解决，若，但推不出，则是的充分不必要条件；第二从命题所对应的集合的包含关系的角度去解决，是的充分不必要条件说明对应的集合是所对应的集合的真子集.‎ ‎18.为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：当数列提供与之间的递推关系时，一般把原式中的n替换为n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为 与的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，由于通项公式符合使用裂项相消法，所以借助裂项相消法求和后证明不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ，‎ 两式作差得： ‎ ‎ ， 成等差数列 又当时， ． ‎ ‎（2）由可知 则 故．‎ ‎【点睛】当数列提供与之间的递推关系时，常规方法是把原式中的n替换为n+1得到另一个式子，然后两式作差，从而把与的关系转化为 与的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎19. 设：实数满足，其中；：实数满足 ‎（1）若，且为真，为假，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：第一步首先把a=1代入求出p所表示的含义，解不等式组搞清q的含义，根据为真，为假，求出x的范围，第二步是的充分不必要条件的等价关系为，说明所表示的集合是所表示的集合的真子集，针对为正、负两种情况按要求讨论解决. ‎ 试题解析：‎ ‎（1）当为真时，当为真时，‎ 因为为真，为假，所以，一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知，当为真时，，‎ 因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，解得：， ‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，不等式组无解．‎ 综上所述：实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】解含参一元二次不等式时，若已知参数值可代入后求解，若不知参数值需要讨论后求解，涉及含有逻辑联结词的命题的真假问题需要按照真值表考虑简单命题的真、假，按照要求求出参数的范围，当遇到是的充分不必要条件时，要按照互为逆否命题同真假去转化为等价关系为，然后再去解决. ‎ ‎20. 已知在中，，，分别为角，，所对的边长，且．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：第一步利用正弦定理进行“边转角”化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角A的余弦值，进而求出角A；第二步利用余弦定理，转化为b+c与bc的关系，然后利用基本不等式“等转不等”，求出b+c的范围，再根据三角形两边之和大于第三边，求出范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意由正弦定理可得：‎ ‎ 又．‎ ‎（2）由余弦定理知：‎ ‎（当且仅当时成立）‎ ‎，又 故的取值范围是．‎ ‎【点睛】有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等，多用正弦定理和余弦定理进行“边角转化”，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式求范围或最值.‎ ‎21. 已知数列的前项和为. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题第二步数列求和，由于通项公式符合使用错位相减法，所以利用错位相减法求出数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，， 当时，‎ 当时，不满足上式，故 ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 令 ① ‎ ‎ ②‎ ‎①—②得： ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.‎ ‎22. 已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析： 首先利用椭圆的离心率和焦点坐标列方程求出a,b写出椭圆方程，第二步设出直线方程和直线与椭圆的交点坐标，利用设而不求思想解题，联立方程组，代入整理后写出根与系数关系，求出弦AB中点的坐标，根据等腰三角形三线合一，底边的中线也是高线，根据垂直关系列出等式求出参数，利用弦长公式求出底边长，计算出面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，，解得，又 所以椭圆E的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由消去得 设的坐标分别为，AB中点为 ‎，‎ ‎， ‎ 因为AB是等腰的底边，所以，‎ 所以的斜率，‎ 此时 又点P到直线AB：的距离 所以的面积．‎ ‎【点睛】求椭圆的标准方程基本方法就是到顶系数法，利用椭圆的离心率和焦点坐标列方程求出a,b写出椭圆方程，直线和椭圆相交问题，一般都是利用设而不求思想解题，联立方程组，代入整理后，第一是判别式大于零，第二是写出根与系数关系，有时需要求出弦长，然后根据题意借助坐标处理问题.‎ ‎ ‎