2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数2 ＝(　　)‎ A．－3－4i　　 B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i ‎【答案】A ‎【解析】解：因为2=，选A ‎2．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：解不等式化简集合，根据两个集合的交集的定义，求出，‎ 即可得到答案 详解：‎ 故选 点睛：本题主要考查了交集及其运算，属于基础题，求出，即可得到答案 ‎3．凡自然数都是整数，而 4是自然数 所以，4是整数。以上三段论推理（ ）‎ ‎(A)正确 (B)推理形式不正确 ‎(C)两个“自然数”概念不一致 (D)两个“整数”概念不一致 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：凡自然数都是整数，而 4是自然数  所以4是整数．大前提：凡自然数都是整数是正确的，小前提：4是自然数也是正确的，结论：4是整数是正确的，∴这个推理是正确的，故选A 考点：进行简单的演绎推理．‎ ‎4．二项式的展开式中常数项为（ ）‎ A. －15 B. 15 C. －20 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式： .要使其为常数，则,即，常数项为.‎ 考点：二项式定理.‎ ‎5．在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据指数函数，对数函数，一次函数的增减性对选项逐一验证即可 详解：中，都单调递增，故，但是中，，矛盾，排除 中，都单调递减，故，但是中，，矛盾，排除 中，都单调递减，故，单调递增，故，矛盾，排除 故选 点睛：本题主要考查了指数函数，对数函数和一次函数的图象，指数函数和对数函数的底数大于时单调递增，底数大于小于时单调递减。‎ ‎6．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填个空，要求个位是奇数，其他位置无条件限制，因此先从个奇数中任选一个填入，其他个数在个位置上全排列 详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有种排法 然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法 由分步乘法计算原理可得，‎ 由组成的无重复数字的五位数中奇数共有个 故选 点睛：本题主要考查了排列与组合，根据题意将特殊位置上的数字确定后进行排列，本题较为基础。‎ ‎7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时， 增加的项数是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分别计算当时， ，当成立时，‎ ‎ ，观察计算即可得到答案 详解：假设时成立，即 ‎ 当成立时，‎ ‎ ‎ 增加的项数是 故选 点睛：本题主要考查的是数学归纳法。考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。‎ ‎8．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝ （n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为随机变量X的概率分布规律为（n＝1,2,3,4），所以 ‎，所以 ‎.‎ 考点：随机变量的概率.‎ ‎9．观察下列各式： ， ， ， ， ，…，则 (　　)‎ A. 28 B. 76 C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察各等式可得，各式的值构成数列，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和， 值为数列中的第十项，继续写出此数列为，第十项为，即，故选C.‎ ‎10．下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. “”是“x=-1”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件．‎ C. 命题“使得”的否定是：“ 均有”．‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，由于，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故A不正确；‎ 对于B, 解得或3，所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确；‎ 对于C，特称命题的否定为全称，所以 ‎“使得”的否定是：“ 均有.”‎ 对于D，“若，则”为真命题，原命题为真，则逆否命题也为真，所以D正确.‎ 故选D.‎ ‎11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球，那么取球次数恰为3次的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：“取球次数恰为次”意味着第次取到红球且前两次取到红白，故所求概率为．‎ 考点：1、古典概型；2、分步计数原理．‎ ‎【思路点晴】这是一个实际操作的题目，需要同学们理解好操作的过程，“取球次数恰为次”意味着第次取到红球且前两次取到红白，这样，前两次取到红球白球的概率是，第三次取到红球的概率是，按分布计数原理，概率为，另外要注意的就是本题是有放回的抽取,不是无放回抽取.‎ ‎12．如下四个结论中，正确的有（ ）个 ‎①当实数时，恒成立 ‎②存在实数使得方程有两个不等实根 ‎③存在实数使得：当时，；时，‎ ‎④存在实数使得函数有最大值 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用导数，分别求导进行判断 ‎ 详解：对于①令，则 ‎，‎ 当，时，，单调增，，则单调增 ‎，，故①正确 对于②，令，，‎ 在递增，在递减 ‎，则，单调递减，‎ 不存在实数使得方程有两个不等实根，故②错误 对于③，由②得，则在内，‎ 在内，故正确 对于④，由③可得存在实数使得函数有最大值，故正确 综上所述， 故选 点睛：本题考查了运用导数解答含有参量的恒成立问题，根的问题及最值问题，在解答过程中运用导数求导，然后判定其单调性，进而得出结果。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设，且，，则的值是__________．‎ ‎【答案】4＋3i ‎【解析】分析：由题意可得，再结合，即可得到答案 详解：，，‎ 又，‎ 点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。‎ ‎14．若函数为偶函数，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：根据函数奇偶性的定义，建立方程即可得到结论 详解：函数为偶函数 即 化简为，，‎ 解得 点睛：本题主要考查的是函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程是解题的关键，属于基础题。‎ ‎15．函数的单调增区间为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出函数的定义域，求导，利用导数求函数的增区间 详解：的定义域为 当时，是增函数 ‎，‎ 故函数的单调增区间为 点睛：在定义域内运用导数，求导后令导函数大于零即可，本题较为基础。‎ ‎16．设集合，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于中最小的数，则可组成不同的子集对__________个．‎ ‎【答案】49‎ ‎【解析】分析：根据题意进行列举，即可得出结果 详解：①若，则可以表示为，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，，共种 若，则可以表示为，，，，，，，共种 若，则可以表示为，，，共种 若，则可以表示为，共种 计种 ‎②若，则可以表示为，，，，，，，共种 若，则可以表示为，，，共种 ‎，则可以表示为，共种 ‎，则有种 ‎，则有种 ‎，则有种 计种 ‎③，则有种 ‎，则有种 ‎，则有种 ‎，则有种 计种 ‎④若，则有种 综上所述，共有种 故答案为种 点睛：本题主要考查的知识点是排列组合的实际应用，本题解题的关键是理解题意，能够看懂中最大的数不大于中最小的数的意义，本题是一个难题也是一个易错题，需要认真解答 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎（1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【答案】（1），；（2）相交.‎ ‎【解析】试题分析：（1）把点的极坐标代入直线的极坐标方程即可求得的值，进而可求得直线的直角坐标方程；（2）先把圆的参数方程消去参数化为普通方程，再判断直线与圆的位置关系.‎ 试题解析：（1）由点在直线上，可得.‎ 所以直线的方程可化为，‎ 从而直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由已知得圆的直角坐标方程为，所以圆心为，半径，‎ 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．‎ 考点：1、极坐标与参数方程；2、直线与圆的位置关系.‎ ‎18．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大 ‎【解析】试题分析：解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,两人中奖与否互不影响,‎ 记“这2人的累计得分”的事件为A,则A事件的对立事件为“”,‎ ‎,‎ 这两人的累计得分的概率为. 6分 ‎(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为,都选择方案乙抽奖中奖的次数为,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 由已知:,‎ ‎,‎ ‎,‎ 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. 12分 考点：独立事件的概率以及期望 点评：主要是考查了独立事件的概率以及期望值的运用，属于中档题。‎ 视频 ‎19．设直角坐标系原点与极坐标极点重合， x轴非负半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为 ‎ （I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎ （II）求曲线C上的动点P到直线l的最大距离。‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：⑴消去参数，可得直线的普通方程和曲线的直角坐标方程 ‎⑵设动点，则到直线的距离，即可求得曲线上的动点到直线的最大距离 详解：（I）直线l普通方程为 ‎ 椭圆C的普通方程为 ‎ ‎ （II）由椭圆的普通方程可以得到其参数方程为 则动点的距离为 ‎ ‎ 由于 点睛：本题考查的是点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题。利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即可得到答案 ‎20．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．‎ ‎(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎【答案】（1）4（2）递增区间为(，＋∞)；递减区间为(0，)．‎ ‎【解析】分析：⑴求出函数的导数，根据是的一个极值点，利用 ‎ ，可得，再检验当时，是的极小值点符合题意 ‎⑵讨论导数的零点，可得当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 详解：⑴，是的一个极值点 ‎，解得 此时，‎ 的定义域为 当时，，当时，‎ 即当时，是的极小值点，故 ‎⑵，当时，的单调递增区间为 当时，，‎ 令，则 的单调递增区间为，‎ 令，则 的单调递减区间为 点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，根据已知中的函数的解析式，求出导函数的解析式，然后确定导函数的符号是解答此类问题的关键，属于中档题，做题时要注意分类讨论思想的应用，以及取极值时的检验。‎ ‎21．某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).‎ ‎(1)应收集多少位女生样本数据? ‎ ‎(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10], (10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.‎ ‎(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附:K2=‎ ‎【答案】（1）90（2）0.75（3）可以 ‎【解析】分析：⑴根据抽样比例与样本总体比例相同的性质即可得到结论 ‎⑵根据频率分布直方图横纵乘积和为的性质求解 ‎⑶得到每周平均体育运动时间与性别联表，结合列联表可算得的值，与表中对应的相比较即可得到结论 详解：(1)300×=90,‎ 所以应收集90位女生的样本数据.‎ ‎(2)由频率分布直方图得2×(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75,‎ 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.‎ ‎(3)由(2)知,300名学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4个小时.75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下:‎ 平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4个小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间 超过4个小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得K2的观测值k==≈4.762>3.841.‎ 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 点睛：本题主要考查了随机抽样和概率，考查了独立性检验的应用，解题的关键是根据的计算公式求得的值，属于基础题 ‎22．已知函数，其导函数为.‎ 求的最小值；‎ 证明：对任意的和实数且，总有 ‎；‎ 若满足：且，‎ 求的最小值.‎ ‎【答案】（1）1（2）见解析（3）‎ ‎【解析】分析：⑴求出，利用导数判断的单调性，由单调性即可求得其最小值 ‎⑵不妨设，构造新函数，只需要证明，由⑴可判断，然后得到函数在上单调递增，于是，即 ‎⑶先证对任意的和实数且，总有，运用⑵的结论容易证明，再令，即可求得其最小值 详解：（1），‎ 当时，，即在区间上为减函数；‎ 当时，，即在区间上为增函数；‎ 于是的最小值为.‎ ‎（2）不妨设，构造函数（）‎ 则有 则 由（1）知在区间上为增函数，于是 即，于是 即.‎ ‎（3）先证对任意的和实数且，总有 ‎ ‎ 令，有 当且时，有 ‎.‎ 点睛：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查了学生对问题的转化能力，本题综合性较强，难度大，能力要求高。‎