河北省衡水中学2020届高三下学期（5月）第三次联合考试数学（理）试题 Word版含解析

河北省衡水中学2020届高三下学期（5月）第三次联合考试数学（理）试题 Word版含解析

河北衡水中学 2020 届全国高三第三次联合考试(I) 理科数学 总分 150 分．考试时间 120 分钟 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上相应的位置． 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时， 将答案用 0.5 mm 黑色笔 迹签字笔写在答题卡上． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解出集合 、 ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【 详 解 】 ， , 所以， ， ， . 故选：A. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式 与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. { }2 0M x x x= + > ( ){ }ln 1 0N x x= − > M N⊇ M N⊆ ( )1,M N∩ = +∞ ( )2,M N∪ = +∞ M N { } ( ) ( )2 0 , 1 0,M x x x= + > = −∞ − ∪ +∞ ( ){ } { } ( )ln 1 0 1 1 2,N x x x x= − > = − > = +∞ M N⊇ ( )2,M N = +∞ ( ) ( ), 1 0,M N = −∞ − +∞  2(2 )z i= + z 3 3i 4 4i 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解： ，所以 的虚部为 4. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学 2019 年毕业生就业质量报告》. 则下列选项错误的是（ ） A. 清华大学 2019 年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业 B. 清华大学 2019 年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高 C. 清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散 D. 清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】 2(2 ) 3 4z i i= + = + z 【分析】 根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案. 【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为 80.4%，硕士生选择就业的比例为 89.2%，所以判断正确. B. 根据统计表，本科生就业率 17.3%, 硕士生的就业率为为 89.2%.判断正确. C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海； 本科生的就业城市相对比较分散.判断正确. D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的 本科生占 18.2%，而硕士生和博士生分别占 43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D 【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基 础题. 4.若圆 关于直线 对称，则 的最小值 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心 在直线 上，则 ，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解. 【详解】由题意知圆心 在直线 上，则 .又因为 ，所 以 ，当且仅当 时，即 时取等 号， 此时， 故选：C 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = 1 0( 0, 0)ax by a b+ − = > > 2 1 a b + 4 4 2 9 9 2 (2,1) 1 0ax by+ - = 2 1a b+ = (2,1) 1 0ax by+ - = 2 1a b+ = 0, 0a b> > 2 1 2 1 2 2(2 ) 5 9b aa ba b a b a b  + = + + = + +    2 2b a a b = 1 3a b= = min 2 1 9a b  + =   【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题. 5.要使得满足约束条件 ， 变量 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个 约束条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设新增加的约束条件为 ，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为 ，两组对边的距离相等， 故 ，所以 或 (舍去). 如图所示 故选:C. 的4 2 y x y x x y   −  +    ,x y 4x y+ ≤ 4x y+  6x y+  6x y+  x y c+  x y c+  4 | 2 |2 2 2 2 cd −= = = 6c = 2c = − 【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础 题. 6.若 是公比为 的等比数列，记 为 的前 项和，则下列说法正确的是 （ ） A. 若 是递增数列，则 ， B. 若 是递减数列，则 ， C. 若 ，则 D. 若 ，则 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】 选项 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项 都是错 误的，选项 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中， ，满足 单调递增，故 A 错误； B 选项中， ，满足 单调递减，故 B 错误； C 选项中，若 ，则 ，故 C 错误； D 选项中， ，所以 是等比数列.故 D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础 题. 7.为了得到函数 的图象，需将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 { }na ( )0q q ≠ nS { }na n { }na 1 0a < 0q < { }na 1 0a > 0 1q< < 0q > 4 6 52S S S+ > 1 n n b a = { }nb , ,A B C , ,A B C D 1 2, 3a q= = { }na 1 1, 2a q= − = { }na 1 11, 2a q= = 6 5 6 5 5 4,a a S S S S< − < − ( )1 1 1 0n n n n b a qb a q + + = = ≠ { }nb ( ) sing x x= ( ) sin 6f x x π = −   6 π 6 π C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 先将函数 用诱导公式变形为 ，结合三角函数图象 的平移变换规律，得到答案. 【详解】 , 由 的图象得到函数 的图象， 向右 个单位长度即可. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象 平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“ ” 的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”. 8.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .若 ， ， 大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意当 时 ， 是定义在 上的奇函数,则 在定 义域上单调递增， ， ， ，由函数的单调 性可得出答案. 的 5 6 π 5 6 π ( ) sin 6f x x π = −   5( ) sin 6f x x π = +   5( ) sin sin sin sin6 6 6 6f x x x x x π π π ππ       = − = − − = − + = +               5( ) sin 6f x x π = +   ( ) sing x x= 5 6 π x ( )f x R 0x 1( ) sin 23f x x x= − 2tan 5a f π =    3 2log cos 5b f π =    2cos 5c f π =    a b c< < b c a< < b a c< < c b a< < 0x 2( ) 1 cos2 03f x x′ = − > ( )f x R ( )f x 2tan tan 15 4 π π> = 20 cos 15 π< < 3 2log cos 05 π < 【详解】由题意知由当 时, ，所以 在 上单调递增， 且 又 是定义在 上的奇函数，所以 在 上单调递增. 所以 在定义域上单调递增. 又因为 ， ，所以 ， 由 在定义域上单调递增，则 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数 值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题 9.如图是由等边△ 和等边△ 构成的六角星，图中的 ， ， ， ， ， 均 为三等分点，两个等边三角形的中心均为 .若 ，则 （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】【 0x 2( ) 1 cos2 03f x x′ = − > ( )f x [ )0 +，∞ ( )0 0f = ( )f x R ( )f x ( ]0−∞， ( )f x 2 8tan tan tan 15 20 4 π π π= > = 20 cos 15 π< < 3 2log cos 05 π < ( )f x 3 2 2 2tan cos log cos5 5 5f f f π π π     > >           b c a< < AIE KGC B D F H J L O OA mOC nOJ= +   m n = 1 2 2 3 3 4 1 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为 ，得出点 的坐标，由向量的运算可求得 的值，可得答案. 【详解】由平行四边形法则， ，所以 ， ，所以 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设等边三角形的边长为 . 则等边三角形的高为 ， 由 ， ， ， ， ， 均为三等分点， 则 , 所以 , , O OD x OA y 2 3 , ,A C J ,m n 2 2( ) 2 3OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ= + = + + = +        2m = 3n = 2 3 m n = O OD x OA y 2 3 ( ) ( )2 2 2 3 3 3− = B D F H J L 2 3 23OA = × = 2 33OJ = × ( ) ( )2 30,2 ,0 3,13 ， ，A J C  −    ( )0,2OA = ( )3,1OC = 2 3 ,03OJ  = −     ( ) 2 3 2 33,1 ,0 3 ,3 3 nOA mOC nOJ m n m m    = + = + − = −             所以 ，解得 所以 故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问 题的常用方法，属于中档题. 10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的 一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连， 边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且 无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有 ， ， ， 四个点， 若图中恰有 条边，则满足上述条件的图的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 A，B，C，D 四点最可确定 6 条边，再由题得到满足条件的图的个数. 【详解】如图， A，B，C，D 四点最可确定 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 条边. 由题意知恰有 3 条边且无孤立点， 所以满足条件的图有 (个). 故选：D. 【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律， 可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以 下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中 点和 点；② 2 33 03 2 nm m  − =  = 3 2 n m =  = 2 3 m n = A B C D 3 4 8 12 16 3 6 4 16C − = A B 已知地球公转轨道的长半轴长约为 千米，短半轴长约为 千米，则该 椭圆的离心率约为 .因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（ 月 日前后）和秋 分（ 月 日前后），地球会分别运行至图中 点和 点，则由此可知我国每年的夏半年 （春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根 据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位 于图中 点和 点，命题①正确； ，则该椭圆的离心率 ，命题②错 误； 根据开普勒行星运动第二定律，地球从 点到 点运行的速度较快，因此经历的时间较短， 因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A. 【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考 查推理能力，属于中等题. 12.正方体 的棱长为 ，在 ， ， ， ， ， 这六个顶点中.选 择两个点与 ， 构成正三棱锥 ，在剩下的四个顶点中选择两个点与 ， 构成正三 棱锥 ， 表示 与 的公共部分，则 的体积为（ ） A. B. C. D. 149600000 149580000 1 3 21 9 23 C D A B 149580000 1149600000 b a = ≈ 22 2 2 1 0c a b be a a a −  = = = − ≈   D C 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 A B C D 1C 1D 1A 1B P 1A 1B Q M P Q M 1 3 2 4 2 3 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设平面 与平面 的交线为 ，则 为四面体 ， 取 的中点 ，连 ，可得 平面 ，然后，分别求出 与 即可求出 的体积 【详解】 如图，由题意知， 和 分别为三棱锥 和三棱锥 ，设平面 与 平面 的交线为 ，则 为四面体 ， 取 的中点 ，连接 ，可得 ， ， 可得 平面 ，则 的体积为 故选：A 【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题. 二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 的展开式中 的系数为_________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项 ，再令 即得解. 1 1A BC 1 1AB D EF M 1 1A B EF 1 1A B O EO接 EO ⊥ 1 1A B F EO 1 1A B FS△ M 1 1 1 3 A B FV EO S= ⋅ ⋅ △ P Q 1 1 1B A BC− 1 1 1A AB D− 1 1A BC 1 1AB D EF M 1 1A B EF 1 1A B O EO 1EO = 1 1 1 2 1 12A B FS = × × =△ EO ⊥ 1 1A B F M 1 1 1 1 11 13 3 3A B FV EO S= ⋅ ⋅ = × × =△ 62x x  −   2x 60 6 2 1 6( 2)r r r rT C x − + = − 6 2 2r− = 【详解】由题得 . 令 ，解得 ， 所以 的系数为 . 故答案为：60 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握 水平. 14.记 为正项等差数列 的前 项和，若 ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 ，根据已知求出 ，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为 ， 由题得 ， 所以 所以 . 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平. 15.若抛物线 的焦点到双曲线 的一个焦点的距离为 ， 则 的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于 的等 ( )6 1 6 2 1 6 6( 2) ( 2)rr r r r r r rT C x x C x− − − + = ⋅ − ⋅ = − 6 2 2r− = 2r = 2x 2 2 6 ( 2) 60C ⋅ − = nS { }na n 1 3 4 71,a a a S= ⋅ = nS = 23 1 2 2n n− d 3d = d 1 7 3 4 7 47 72 a aa a S a +⋅ = = × = 3 7,a = 1+2 7, 3d d= ∴ = 2( 1) 3 132 2 2n n nS n n n −= + × = − 23 1 2 2n n− ( )2 2 0y px p= > 2 2 22 2y x p− = 13 p 2 p 式，由此可解得 的值. 【详解】抛物线的焦点为 ，双曲线的方程可化为 ，所以 ， 所以其一个焦点化为 ，所以 ，所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数 ，若 的解集中恰有三个整数，则实数 的 取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 把 转化为 ，即 ，然后，利用数形结合法求解即 可. 【详解】由 得， ，即 ， 在平面直角坐标系中画出函数 和 的图象如图所示， 为了满足不等式 的解集中恰有三个整数，只需要满足 ，解得 p ,02 pF      2 2 2 2 12 y x p p − = 2 23c p= ( )1 0, 3F p 2 2 1 133 134 2 pFF p p= + = = 2p = 2 ( ) ( 2 ) 1xf x kx k e x= + − − ( ) 0f x < k 3 2 4 3,5 4e e     ( ) 0f x < ( 2 ) 1xkx k e x+ < + 1( 2) x xk x e ++ < ( ) ( 2 ) 1 0xf x kx k e x= + − − < ( 2 ) 1xkx k e x+ < + 1( 2) x xk x e ++ < g( ) ( 2)x k x= + 1( ) += x xh x e ( ) 0f x < (2) (2) (3) (3) h g h g >    故答案为： 【点睛】本题考查利用数形结合，求参数范围的问题，本题采用数形结合法求解，先对解析 式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，属于中档题 三､解答题：共 70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第 17-21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答． (一)必考题：共 60 分． 17.在锐角△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， 边上的高 ， . （1）求 的长： （2）过点 作 ，垂足为 ，且 为锐角， ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到 ，根据等腰三角形的性质， 得 ，利用二倍角公式求出 的正弦、余弦，进而求出 的正切 值，即可出 的长 (2)利用 ， 求出 ，然后，分别利用余弦和正弦定理即可求解 【详解】解：（1）由 及正弦定理得 即 . 因为 ，所以 3 2 4 3 5 4ke e < 3 2 4 3,5 4e e     ABC A B C a b c cos cosc B b C= BC 12AD = 4sin 5BAC∠ = BC A AE AB⊥ A CAE∠ 3 5AE = sin ACE∠ 12BC = 5sin 5ACE∠ = B C= 2BAC BAD∠ = ∠ BAD∠ BAD∠ BC 4 3cos cos sin ,sin2 5 5EAC BAC BAC EAC π ∠ = − ∠ = ∠ = ∠ =   2 2 6 5AC AB AD BD= = + = cos cosc B b C= sin Ccos sin cosB B C= sin( ) 0B C− = ,2 2B C π π − ∈ −   .B C= 因为 为锐角三角形，且 ， 所以 . 又因为根据等腰三角形的性质， 可得， ， 所以 则 所以 所以 ，所以 （2）由题意得 在 ，因为 所以 . 由 得 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，在三棱锥 中， 平面 ， 为棱 上的一点，且 平面 . ABC 4sin 5BAC∠ = 3cos 5BAC∠ = 2BAC BAD∠ = ∠ 2 32cos 1 5BAD∠ − = 2 5cos 5BAD∠ = 5 1sin ,tan5 2BAD BAD∠ = ∠ = 6BD = 12BC = 4 3cos cos sin ,sin2 5 5EAC BAC BAC EAC π ∠ = − ∠ = ∠ = ∠ =   2 2 6 5AC AB AD BD= = + = ACE△ 2 2 2 cos 2 AE AC CECAE AE AC + −∠ = ⋅ 9CE = sin sin CE AE CAE ACE =∠ ∠ 5sin 5ACE∠ = A BCD− AB ⊥ BCD E AC BE⊥ ACD （1）证明： ； （2）设 . 与平面 所成的角为 .求二面角 的大小. 【答案】（1）见解析（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到 平面 ，进而可得 ； （2）先由题意，得到 ，求得 ，以 为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，求出两平面 和 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ， 所以 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 . 因为 ，所以 平面 因为 平面 ，所以 . （2）解：因为 平面 ， 即为 与平面 所成的角， 所以 ，所以 ， 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 则 BC CD⊥ 1BC CD= = BC ACD 45° B AD C− − 60° CD ⊥ .ABE BC CD⊥ 45BCE BCA °∠ = ∠ = 1BC AB= = C CD x CB y C xyz− ACD ABD BE⊥ ACD CD ⊂ ACD BE CD⊥ AB ⊥ BCD CD ⊂ BCD AB CD⊥ AB BE B= CD ⊥ .ABE BC ⊂ ABE BC CD⊥ BE⊥ ACD BCE∠ BC ACD 45BCE BCA °∠ = ∠ = 1BC AB= = C CD x CB y C xyz− (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,1,1)C D B A (1,0,0), (0,1,1), (1, 1,0), (0,0,1)CD CA BD BA= = = − =    设平面 的一个法向量为 ， 平面 的一个法向量为 则 ， 即 ， ， 令 可得 所以 由图知，二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的大小为 . 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性 质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 19.2020 年 1 月 10 日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获 2019 年度国家 最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预 报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去 50 年 的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到 35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率 分布直方图.若某年的高温天达到 15 天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年 相互独立，以这 50 年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率. ACD ( )1 1 1, ,n x y z= ABD ( )2 2 2, ,m x y z= 0 0 CD n CA n  ⋅ =  ⋅ =     0 0 BD m BA m  ⋅ =  ⋅ =     1 1 1 0 0 x y z =  + = 2 2 2 0 0 x y z − =  = 1 21, 1y x= = (0,1, 1), (1,1,0)n m= − =  1cos , 2 n mn m n m ⋅< >= =      B AD C− − B AD C− − 60° （1）求今后 4 年中，甲地至少有 3 年为高温年的概率. （2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为 了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年 为高温年，则预计当年的收入会减少 6000 元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为 5000 元， 可使用 4 年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加 1000 元.以 4 年为期，试分析该 同学是否应该购买遮阳伞？ 【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】 （1）先求出某年为高温年的概率为 ，再根据 ，求出今后 4 年中，甲地至 少有 3 年为高温年的概率； （2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为 ， 设今后 年中高温年出现 年，则 故 ， ， . （2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后 年共损失 元， 则 若选择方案二，购买遮阳伞，设今后 年共损失 元， 则 (元) 则 ，故该同学应该购买遮阳伞. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望 的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 0.2 ~ (4,0.2)X B (0.03 0.01) 5 0.2+ × = 4 X ~ (4,0.2)X B 4 4( ) 0.2 0.8 , 0,1,2,3,4k k kP X k C k−= = = 3 3 1 4( 3) 0.2 0.8 0.0256P X C= = = 4 4 0 4( 4) 0.2 0.8 0.0016P X C= = ⋅ = ( 3) ( 3) ( 4) 0.0256 0.0016 0.0272P X P X P X= = + = = + = 4 1Y ( )1 4 6000 0.2 4800E Y = × × = 4 2Y ( )2 5000 4 1000 0.2 4200E Y = − × × = ( ) ( )1 2E Y E Y> 20.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且 .过椭圆的右 焦点 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点 ，且满足 . （1）求椭圆的标准方程； （2）若矩形 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）易知 ，设 ， ，根据勾股定理计算得到 ，得到椭圆方 程. （2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据 得到 和 的 关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由 ，可知椭圆半焦距 ， 设 ，因为 ，所以 ， 在 △ 中， ，即 ，所以 ， 所以 ，解得 ，所以椭圆的标准方程为 . （2）记矩形面积为 ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知 . 当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为 ， 则对边所在直线方程 ， 另一边所在的直线方程为 ，则对边所在直线方程为 ， 联立 ，得 ， 由题意知 ，整理得 ， 为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F 1 2 2 3F F = 2F P 1 2 7PF PF = ABCD 2 2 14 x y+ = [ ]8,10 3c = 2PF x= 1 7PF x= 2a = 0∆ = ,m n k 1 2 2 3F F = 3c = 2PF x= 1 2 7PF PF = 1 7PF x= Rt 1 2PF F 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F= + 2 249 12x x= + 1 2x = 2 8 4a x= = 2 2 22, 1a b a c= = − = 2 2 14 x y+ = S 8S = y kx m= + y kx m= − 1y x nk = − + 1y x nk = − − 2 24 4x y y kx m  + =  = + ( ) ( )2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 16 1 1 4 0k m m k∆ = − − + = 2 24 1k m+ = 矩形的一边长为 ，同理 ，矩形的另一边长为 ， ， 因为 ，所以 ，所以 (当且仅当 时等号成立)， 所以 ，则 ，所以 . 综上所述，该矩形面积的取值范围为 . 【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综 合应用能力. 21.已知函数 ，若 是函数 的零点， 是函数 的零点. （1）比较 与 的大小； （2）证明： . 【答案】（1） ，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 方法一：利用 ，利用 对不等式进行放缩，可得 ， 进而利用 单调递增，且 和 ，即可比较 与 的大小 方法二：设 ，令函数 ，从而判 1 2 | 2 | 1 md k = + 2 2 4 1 nk + = 2 2 | 2 | 1 1 nd k = + 1 2 22 2 | 2 | | 2 | | 4 | 111 1 m n mnkS d d kk k = ⋅ = ⋅ = ++ + ( )( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 22 2 4 1 4 4 17 44 4 1 1 k k k k k k + + + += ⋅ = ⋅ + + ( ) 2 22 2 2 9 94 4 4 4 11 2 k k k k = ⋅ + = ⋅ + + + + 0k ≠ 2 0k > 2 2 1 2k k + ≥ 2 1k = 2 2 9 90,1 42k k  ∈  + + 2 2 9 54 2,1 22k k  + ∈  + + (8,10]S ∈ [ ]8,10 ( ) 2, ( ) lnxf x e x g x x x= + − = + 1x ( )f x 2x ( )g x 1x 2x ( ) ( )2 1 0f x g x+ < 1 2x x< ( ) 2 0= + − =xf x e x 2= −xe x ( )1 1 1 1 1 1ln 2 ln 1 2 ln 1 0xx e x x x x− + − + + = − + ≤ ( )g x ( )1 0g x < ( )2 0g x = 1x 2x ( ) 1 1 1 1 1ln ln 2xH x x x x e= + = − + ( ) ln 2, 0tH t t e t= − + > 断出函数 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较 与 的大小 (2) 令函数 ，则 ，要证 ，即证 ，只要证： ，最后通过证明函数 在区间 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解: 方法一： 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，且 单调递增，所以 方法二：设 ， 令函数 则 ，则 则函数 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减， 所以 所以 因为 ，且 单调递增，所以 （2）证明：令函数 ， 则 . 要证 ，即证 只要证： ， 只要证：函数 在区间 上单调递减. ( )g x 1x 2x ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2,h x g x h x f x= − = ( ) ( )2 1 0f x g x+ < ( ) ( )2 1f x g x< − ( ) ( )2 1h x h x< ( )h x [ ]1 2,x x ( ) 1 1 1 2 0xf x e x= + − = ( ) 1 1 1 1 1ln ln 2xg x x x x e= + = − + ( )1 1 1 1 1 1ln 2 ln 1 2 ln 1 0xx e x x x x− + − + + = − + ≤ 1 1x ≠ 1 1ln 1 0x x− + < ( )1 0g x < ( )2 0g x = ( )g x 1 2x x< ( ) 1 1 1 1 1ln ln 2xH x x x x e= + = − + ( ) ln 2, 0tH t t e t= − + > 1( ) tH t et ′ = − ( ) 0 0 0 1 0tH t et ′ = − = ( )H t ( )00,t ( )H t ( )0 ,t +∞ ( ) 0 max 0 0 0 0 1( ) ln 2 2 0tH t H t t e t t = = − + = − − + < ( )1 0g x′ < ( )2 0g x = ( )g x 1 2x x< ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2,h x g x h x f x= − = ( ) ( )2 1 0f x g x+ < ( ) ( )2 1f x g x< − ( ) ( )2 1h x h x< ( )h x [ ]1 2,x x 由题意得 因为 所以 所以 因为 单调递增，所以在区间 上， 所以 在区间 上单调递减. 所以原命题得证. 【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小， 属于难题. (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22､23 题中任选一题作答．如果多做，则按 所做的第一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 上异于原点 的两点 ， 所对应的参数分别为 .以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）当 时，直线 平分曲线 ，求 的值； （2）当 时，若 ，直线 被曲线 截得的弦长为 ，求直线 的 方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】 ( ) ( ) ( ) ln 2xh x f x g x e x= − = − − ( ) 2 2 2 1 1( ) , xxh x e h x ex x ′ ′= − = − ( )2 2 2ln 0g x x x= + = 2 2 2 1ln lnx x x = − = ( )2 2 2 2 2 1 1, 0x xe h x ex x ′= = − = ( )h x′ [ ]1 2,x x ( ) 0h x′  ( )h x [ ]1 2,x x xOy 2 2 2 x t y t t = −  = − t C M N 1 2,t t O x D 2 sinaρ θ= 1 21, 3t t= = MN D a 1a = 1 2 2 3t t+ = + MN D 3 MN 1a = 3y x= 3 2y x= + （1）求出直线 的方程和曲线 的直角坐标方程，然后利用直线 过点 求出答 案； （2）由 可算出 ，然后可设直线 的方程为 ，然 后根据直线 被曲线 截得的弦长为 建立方程求解即可. 【详解】（1）因为 ，所以 . 所以直线 的方程为 . 曲线 的方程可化为 因为直线 平分曲线 ，所以直线 过点 ， 所以 . （2）由题意可知 曲线 的方程为 设直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离为 因为 ，所以 所以 或 ， 所以直线 的方程为 或 【点睛】设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，弦长为 ，则有 . [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 . （1）求 的解集； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） MN D MN ( )0,a 1 2 2 3t t+ = + 3MNk = MN 3y x m= + MN D 3 1 21, 3t t= = ( 1, 1), (1,3)M N− − MN 2 1y x= + D 2 2 2( )x y a a+ − = MN D MN ( )0,a 1a = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 32 2MN t t t t t t t ty yk x x t t t t − − − − + −−= = = =− − − − − D 22 ( 1) 1yx + − = MN 3y x m= + D MN .d 2 2 23 12d  + =    221 3 12 2 m  −  + =        0m = 2m = MN 3y x= 3 2y x= + r d AB 2 2 2 2 ABr d  = +     ( ) | 1| 2 | 3|, ( ) | 1|f x x x g x a x= + + − = − ( ) 8f x  [ 1,3]x∈ − ( ) ( )f x g x a 131 3x x −  ∣   ( ,2]−∞ 【解析】 【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对 分三种情况 、 、 讨论，分别求出每一种情况下的实数 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得 当 时， 得 ，所以此时无解； 当 时，由 ，即 ，解得 ； 当 时，由 ，即 ，解得 综上，解集为 . （2）①当 时， 显然恒成立. ②当 时， 因为 恒成立， 所以 ， 即 恒成立. 令 则 显然 在区间 上为增函数， 所以 ，所以 . ③当 时， . 因为 恒成立， 所以 ，即 恒成立. x 1x = [ 1,1)xÎ - (1,3]x∈ a 3 5, 1 ( ) | 1| 2 | 3| 7, 1 3 3 5, 3 x x f x x x x x x x − + < − = + + − = − + − ≤ ≤  − > 1x < − ( ) 8f x  1x ≥ − 1 3x−   ( ) 8f x  7 8x− + ≤ 1 3x−   3x > ( ) 8f x  3 5 8x − ≤ 133 3x<  131 3x x −  ∣   1x = ( ) ( )f x g x [ 1,1)xÎ - ( ) 7 , ( ) (1 )f x x g x a x= − = − ( ) ( )f x g x 7 (1 )x a x− − 7 611 1 xa x x − = +− − 6( ) 1 , [ 1,1)1F x xx = + ∈ −− min( )a F x ( )F x [ 1,1)− min( ) ( 1) 4F x F= − = 4a (1,3]x∈ ( ) 7 , ( ) ( 1)f x x g x a x= − = − ( ) ( )f x g x 7 ( 1)x a x− − 7 611 1 xa x x − = − +− − 令 ，则 显然 在区间 上为减函数， 所以 ， 所以 . 综上所述，实数 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的 单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6( ) 1 , (1,3]1G x xx = − + ∈− min( )a G x ( )G x (1,3] min( ) (3) 2G x G= = 2a a ( ,2]−∞