数学（理）卷·2018届广东省六校（珠海一中，中山纪念中学等）高三下学期第三次联考（2018

数学（理）卷·2018届广东省六校（珠海一中，中山纪念中学等）高三下学期第三次联考（2018

绝密★启用前 ‎2018届广东省六校第三次联考 理科数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题学校：深圳实验学校 命题人：魏英城 审题人：喻秋生 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合为实数，且，为实数，且，‎ ‎ 则的元素个数为 ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．设等差数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D．‎ ‎3．若变量满足约束条件，则的取值范围是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的部分图象大致为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 设函数 ，其中常数满足．若函数（其中 是函数的导数）是偶函数，则等于 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．执行右面的程序框图，如果输入的，，分别为，2，，‎ 输出的，那么，判断框中应填入的条件为 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．已知 （，为虚数单位），‎ 又数列满足：当时， ；当，为的虚部．若数列 的前项和为，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：‎ 与的夹角为，且tan=7，与与的夹角为45°．‎ 若（），则的值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的 三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 ‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎11．已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是函数与图象的两个不同的交点，则的 取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知函数是定义在上的奇函数，则__ ________．‎ ‎14．已知函数，若，‎ 则函数恒过定点___ __．‎ ‎15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，‎ 则该几何体的表面积为 ．‎ ‎16．若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得 的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．‎ 给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）‎ 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式．‎ ‎18.（12分）‎ 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．‎ ‎（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位：份，)的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎（i）小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；‎ ‎（ii）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，‎ ‎，，，分别是，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，‎ 点满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式 恒成立．‎ ‎（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. ‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线的参数方程为 为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，，分别与曲线交于三点(不包括极点)．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，若两点在直线上，求与的值．‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018届广东省六校第三次联考 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D A A C C B C A D D 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．； 14．； 15．； 16．① ④‎ 说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.‎ 三、解答题：共70分．‎ ‎17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分 ‎∵，∴. …………………………………………………2分 ‎∵，∴. ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵ … ① ， …②，‎ ‎∴①-②得， ，∵， ……………………6分 ‎∴…③ ， … …………………………………………………8分 ‎…④， ③-④得，，‎ ‎. ……………………………………………………………………10分 ‎∵，∴是首项3公比的等比数列，，‎ 故. ……………………………………………………………………12分 ‎18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分 当日需求量时，利润， …………………………2分 所以关于的函数解析式为．……………………3分 ‎（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分 并且，，．的分布列为：‎ X ‎62‎ ‎71‎ ‎80‎ P ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎……………………………………………………7分 的数学期望为元． ……………………8分 ‎（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为 Y ‎58‎ ‎67‎ ‎76‎ ‎85‎ P ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．16‎ ‎0．54‎ 的数学期望为元．………11分 由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份． ………………………………12分 ‎19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连 ‎，∵，∴，‎ ‎∵是平行四边形，，‎ ‎，∴， ‎ ‎∴是等边三角形，∴，‎ ‎∵，∴平面， ∴. ………………………3分 ‎∵分别是的中点，∴∥，∥，‎ ‎∴，，∵，∴平面，…………………5分 ‎∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分 ‎, ，，……………………………………………9分 在中，根据余弦定理得，, ………11分 ‎∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，‎ ‎，∴，‎ ‎∴是等边三角形，∵是的中点，‎ ‎∴，∵∥，‎ ‎∴. ………………………………………………………………………………1分 分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，‎ 如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分 则，，，，， ‎ 设，∵，，解得，，，‎ ‎∴可得， ………………………………………………………………4分 ‎∵是的中点，∴，∵，∴，∵，‎ ‎，∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面.…………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的 法向量，则，∴， …………………………8分 令，则， ………………………………………………………9分 又是平面的法向量， …………………………………………………10分 ‎∴， ………………………………………………………11分 ‎∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.‎ ‎20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，‎ ‎∴，………………………………………………2分 由，，得，∵，‎ ‎∴，，………………………………………………………………4分 故椭圆的方程为． ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，‎ 它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分 因此直线的斜率存在，设：，由，消得 ‎， …………………………………………7分 设、，则，， ‎ ‎∵‎ ‎， ………10分 ‎∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．‎ 故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分 ‎21.（12分）解：（Ⅰ）由于． …………………………………………1分 假设函数的图象与轴相切于点，‎ 则有， 即．………………………………………………3分 显然，代入方程中得，． …………5分 ‎∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分 ‎（Ⅱ）依题意，‎ 恒成立． ……………………………7分 设，则上式等价于，要使 对任意恒成立，即使在上单调递增， ‎ ‎∴在上恒成立． …………………………………………8分 则，，∴在上恒成立的必要条件是：．‎ 下面证明：当时，恒成立．…………10分 设，则，当时，，当时，，‎ ‎∴，即．那么，‎ 当时，，；‎ 当时，，．∴恒成立．‎ 因此，的最大整数值为3． ……………………………………………………12分 ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分 ‎，，…………………………………………3分 则． …………5分 ‎ （Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分 化直角坐标为，. ………………………………………………7分 经过点的直线方程为， …………………………………………8分 又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分 ‎23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 解：（Ⅰ）∵，∴， ……………………………………………1分 ‎ ① 当时，得，，∴； …………2分 ‎ ② 当时，得，，∴； …………3分 ‎③ 当时，得，，∴. …………4分 综上所述，实数的取值范围是． ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，‎ 的值最小，……………………………………………………………………7分 ‎∴，即，……………………………………………………8分 解得或．∴ 实数的取值范围是. …………10分