甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（文）试题

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（文）试题

武威六中2020届高三第六次诊断考试 文 科 数 学 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．设全集，且，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知 （是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：‎ ‎①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；‎ ‎②二班成绩不够稳定，波动程度较大；‎ ‎③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。‎ 其中错误的结论的个数为 A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为 A. B. 　‎ C. D. ‎ ‎5. 已知，若，，则是的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在△ABC中，若，那么△ABC一定是 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为 A． B． C． D．‎ ‎10．菱形的边长为，，沿对角线折成一个四面体，使得平面平面，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为 A． B C． D．‎ ‎11．已知、为椭圆： （）的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，，且，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，则满足的的取值范围为 A．（﹣4，3） B．（﹣5，2） ‎ C．（﹣3，4） D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．不等式组，则表示区域的面积为 ‎ ‎14．如图所示，在中，，，在内过点任作一射线与相交于点，使得的概率为 ‎ ‎15．已知等边的边长为，若，，‎ 则____________‎ ‎16．定义域为R的偶函数满足，当时，，给出下列三个结论：‎ ‎①；②若，则；③函数在（0，4）内有且仅有3个零点；其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积。‎ ‎18．（12分）某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分。整理评分数据，将分数以为组距分为组：、、、、、，得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表：‎ ‎ ‎ ‎（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；‎ ‎（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率。‎ ‎（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由。‎ ‎19．（12分）已知数列满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为,求.‎ ‎20．（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）求面积的最小值，并求出此时直线的方程。‎ ‎21．（12分）已知函数。‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围。‎ 四、选做题（10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点到直线： （）的距离为。‎ ‎（1）求实数值；‎ ‎（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形。‎ ‎23．（10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式的解集为，。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若函数，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ 武威六中2020届高三第六次诊断考试 文科数学试卷答案 ‎1-5 D C AAA, 6-10 BDDCA 11-12 DB ‎13． 14.1/2 15.-2 16. 1与3‎ ‎17(1)证明：∵，∴， 1分 ‎ 又∵底面为菱形，， 2分 连，则为正三角形，∴， 3分 又，平面， 4分 ‎∴平面； 5分 ‎ (2)解：∵平面平面，平面平面， 6‎ 分 ‎，∴平面， 7分 ‎∵平面，∴， 8分 又，，∴平面，又， 10分 ‎∴。 12分 ‎18．(1)由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：‎ ‎ 2分 ‎∴对餐厅评分低于的人数为人， 4分 ‎(2)对餐厅评分在范内的有人，设为、，‎ 对餐厅评分在范围内的有人，设为、、，‎ 从这人中随机选出人的选法为：‎ ‎、、、、、、、、、，共种， 6分 其中恰有人评分在范围内的选法包括：‎ ‎、、、、、，共种， 8分 故人中恰有人评分在范围内的概率为， 9分 ‎(3)从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的人中，‎ 餐厅评分低于的人数为，‎ ‎∴餐厅评分低于分的人数所占的比例为， 10分 餐厅评分低于分的人数为，‎ ‎∴餐厅得分低于分的人数所占的比例为， 11分 ‎∴会选择餐厅用餐。 12分 ‎19．解：（1）令， 当时，，‎ 当时，，则， 故 6分 ‎（2）， 8分 ‎ 12分 ‎20． (1)设，，‎ 以为切点的切线为，整理得：， 1分 同理：以为切点的切线为：， 2分 联立方程组：，解得。 3分 不妨设直线的方程为：， 4分 联立方程组得：， 5分 ‎∴，，∴，‎ ‎∴点的轨迹方程为； 6分 ‎(2)由(1)知：， ‎ ‎ 9分 到直线的距离为：， 10分 ‎∴， 11分 ‎∴时，取得最小值，此时直线的方程为。 12分 ‎21． (1)的定义域为，。 1分 若，则，∴在上单调递增。 2分 若，则当时，； 3分 当时，。 4分 ‎∴在上单调递增，在上单调递减。 5分 ‎(2)由(1)知，当，在上无最大值； 6分 当时，在取得最大值， 7分 最大值为。 8分 ‎∴等价于。 9分 令，则在上单调递增，。 10分 于是，当时，；当时，。 11分 ‎∴的取值范围是。 12分 ‎22．【解析】(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，‎ 则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为， 2分 由点到直线的距离为，∴； 4分 ‎(2)由(1)得直线的方程为，设，，()，‎ 则，即①， 6分 ‎∵点在直线上，∴②， 7分 将①代入②得，则点轨迹方程为，()，8分 化为直角坐标方程为()，‎ 则点的轨迹是以为圆心，为半径，除去原点的圆。。 10分 ‎23． 【解析】(1)证明：记， 2分 由，解得：，则， 3分 ‎∴； 4‎ 分 ‎(2)解：等价于， 6分 ‎，‎ 于是，即， 8分 ‎∴或。 10分