2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（新课标II卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（新课标II卷）

绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)‎ 数 学 (文科)‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，,所以，选C.‎ ‎2、（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以，选C.‎ ‎3、设满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如图,平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时取得最小值，由得，即,代入直线z=2x-3y得，选B.‎ ‎4、的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面积为.因为，所以，选B.‎ ‎5、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.‎ ‎6、已知，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，选A.‎ ‎7、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，第四次循环，，此时满足条件输出，选B.‎ ‎8、设，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，又，所以最大。又，所以，即，所以，选D.‎ ‎9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. ‎ ‎10、设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 ‎（C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2‎ 因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C.‎ ‎11、已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ ‎（A），‎ ‎（B）函数的图象是中心对称图形 ‎（C）若是的极小值点，则在区间单调递减 ‎（D）若是的极值点，则 ‎【答案】C ‎【解析】若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.‎ ‎12、若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。‎ ‎（14）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在正方形中，,,所以。‎ ‎（15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高。则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.‎ ‎（16）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，向右平移个单位，得到，即向左平移个单位得到函数，向左平移个单位，得 ‎，即。‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求； ‎ ‎（18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。‎ ‎（Ⅰ）将表示为的函数；‎ ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。‎ ‎（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的极小值和极大值； ‎ ‎（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。‎ 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 ‎ 如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆。‎ ‎（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。 ‎ ‎ ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）；（Ⅱ）‎