高考理科数学复习练习作业15
题组层级快练(十五)
1．y＝ln(－x)的导函数为( )
A．y′＝－ B．y′＝
C．y′＝ln(x) D．y′＝－ln(－x)
答案 B
2．(2017·广东五校协作体联考)曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率是( )
A．2 B．－2
C. D．－
答案 D
解析 y′＝＝－，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－＝－，故选D.
3．曲线f(x)＝2exsinx在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．y＝0 B．y＝2x
C．y＝x D．y＝－2x
答案 B
解析 ∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.
4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )
A．0秒 B．1秒末
C．2秒末 D．1秒末和2秒末
答案 D
解析 ∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.
令v＝0，得t2－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2.
5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1
k2.
6．(2017·湖南雅礼中学月考)曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0，则a＝( )
A. B．2
C．ln2 D．ln
答案 A
解析 由题知，y′＝axlna，y′＝lna，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna－y＋1＝0，∴a＝，故选A.
7．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是( )
答案 A
解析 由题意知 即
又f′(x)＝2x＋b，∴f′(x)的图像为A.
8．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
答案 C
9．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为( )
A．1 B．－
C. D．－1
答案 A
解析 因为f′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.故选A.
10．(2017·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 017)＝( )
A．1 B．2
C. D.
答案 D
解析 令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.
求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 017)＝＋1＝.故选D.
11．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B.
C. D．2
答案 C
解析 如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1，0)．故|PQ|min＝＝.故选C.
12．y＝x·tanx的导数为y′＝________．
答案 tanx＋
解析 y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·()′＝tanx＋x·＝tanx＋.
13．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
答案 [2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．
答案 －120
解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
15．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．
答案 1
解析 因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以
f′()＝－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1.
16．(1)(2015·广东，文)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，
则a＝________．
答案
解析 因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
(2)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x>0)，故a∈(－∞，0)．
17．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
答案 (1)f(x)＝－2x2(x<0) (2)存在，x0＝
解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.
∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x2.
(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，则f′(x0)＝g′(x0)，当x>0时，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得，x0＝±.故存在x0＝满足条件．
18．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
答案 y＝－x 切点为(，－)
解析 ∵直线过原点，则k＝(x0≠0)．
由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x03－3x02＋2x0，
∴＝x02－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，
∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝＝3x02－6x0＋2.
∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2.
整理得2x02－3x0＝0.
解得x0＝(x0≠0)．
这时，y0＝－，k＝－.
因此，直线l的方程为y＝－x，
切点坐标是(，－)．
1．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 ∵y′＝·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝，∴y′|x＝＝，∴k＝y′|x＝＝.
2．(2017·山东东营一模)设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图像可能为( )
答案 C
解析 根据题意得g(x)＝cosx，所以y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0.故选C.
3．(2017·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图像上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.
4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
答案 1
解析 因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2，7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
5．(2017·陕西检测)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为
( )
A．0 B．2
C．1 D．3
答案 B
解析 因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1，1)，又切点(1，1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
6．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为( )
A．(－1，1) B．(－1，－1)
C．(1，1)或(－1，－1) D．(1，－1)
答案 C
解析 y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.
当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.
7.(2017·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f′(x)的图像是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1，0)，则f(0)与f(3)的大小关系为( )
A．f(0)f(3)
C．f(0)＝f(3) D．无法确定
答案 B
解析 由题意知f(x)的图像是以x＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B.
8．(2013·江西，文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
答案 2
解析 由题意y′＝αxα－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
9．(2017·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
答案 log2e
解析 ∵y′＝，∴k＝.∴切线方程为y＝(x－1)．
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.
10．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案 4
解析 ∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.
11．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案 B
解析 切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0，故选B.
12．若P，Q是函数f(x)＝x2－x(－1≤x≤1)图像上任意不同的两点，则直线PQ的斜率的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，1)
C．(0，3) D．(－4，2)
答案 A
解析 f′(x)＝2x－1，当x＝－1时，f′(－1)＝－3.
当x＝1时，f′(1)＝1，结合图像可知，－30，排除D，答案为A.
14．若直线y＝x＋b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b＝________.
答案 ln2－1
解析 ∵切线斜率k＝，y′＝，∴x＝2，y＝ln2.
∴切线方程为y－ln2＝(x－2)．即y＝x＋ln2－1，∴b＝ln2－1.
15．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
(1)求曲线C上横坐标为1的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点．
答案 (1)y＝－12x＋8 (2)还有两个交点(－2，32)，(，0)
解析 (1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4.
∴切点为(1，－4)，又y′＝12x3－6x2－18x，∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.
(2)由
得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0.
∴x＝1，－2，.
代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4，32，0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)，(，0)．
∴除切点处，还有两个交点(－2，32)，(，0)．
16．求y＝·cos2x(x≠－2)的导数．
解析 y′＝(1＋)′cos2x＋·(cos2x)′＝－cos2x＋·(－sin2x)·
(2x)′＝－cos2x－·sin2x
