数学文卷·2017届安徽省马鞍山二中（马鞍山市）高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届安徽省马鞍山二中（马鞍山市）高三上学期期末考试（2017

‎2017年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测 高三文科数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 考生注意事项：‎ ‎ 1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．‎ ‎ 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ ‎ 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．‎ ‎ 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．‎ ‎（1）已知集合，，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】考查一元二次不等式、集合运算，简单题．‎ ‎（2）复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在（ ▲ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ 【答案】A ‎【命题意图】考查复数的概念及运算，简单题．‎ ‎（3）的内角，，的对边分别为.已知，，则（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】考查正、余弦定理，简单题．‎ ‎（4）若是方程的实数解，则属于区间（ ▲ ）‎ A．（1，1.5） B．（1.5，2） C．（2，2.5） D．（2.5，3）‎ ‎ 【答案】C ‎【命题意图】考查函数零点的概念及判断，简单题．‎ ‎（5）已知变量满足，且目标函数的最小值为，则的值为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】考查线性规划，简单题．‎ ‎（6）从正五边形的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】考查古典概型的概率计算，中等题． ‎ ‎（7）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）‎ A．“∥，∥”是“∥”的充分不必要条件 B．∥时，“∥”是“∥”的必要不充分条件 C．时，“⊥”是“⊥”的既不充分也不必要条件 D．⊥，⊥时，“⊥”是 “⊥”的充要条件 ‎【答案】D ‎【命题意图】考查线面关系、简易逻辑，中等题．‎ ‎（8）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ▲ ）‎ 开始 结束 n≤5?‎ 是 否 第（8）题图 输出S n=1,S=0‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】考查程序框图，中等题．‎ ‎（9）已知函数是定义在实数集上的奇函数，若时，，则不等式的解集为（ ▲ ）‎ A． B．，或 ‎ C．，或 D．，或 ‎【答案】C ‎【命题意图】考查函数的性质、解不等式，中等题．‎ ‎（10）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】考查导数的应用，中等题．‎ ‎（11）过点的直线被圆截得的弦长为，这条直线的方程是（ ▲ ）‎ ‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【命题意图】考查直线与圆的位置关系、运算能力，中等题．‎ ‎（12）已知函数，若关于的方程有7个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 【命题意图】考查函数方程，数形结合，较难题．‎ ‎第II卷（非选择题，共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题．‎ ‎（13）已知向量，，且∥，则= ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】考查平面向量平行的条件及坐标运算，简单题．‎ 第14题图 ‎（14）一个几何体的三视图如右图所示，图中矩形均为边长是1的正方形弧线为四分之一圆，则该几何体的体积是 ▲ ． ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第15题图 ‎【命题意图】考查三视图、几何体体积的计算，考查空间想象能力，中等题 ‎（15）函数的图象关于轴对称，该函数的部分图象如图所示，是以为斜边的等腰直角三角形，且，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】‎ ‎ 【命题意图】考查三角函数的图象和性质，中等题．‎ ‎（16）椭圆的焦点为，若椭圆上存在满足的点，则椭圆的离心率的范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】考查椭圆离心率的计算及平面向量的数量积，较难题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项的和．‎ 解：（Ⅰ）∵ ‎ ‎ ∴时，；时， ‎ ‎ 所以 ……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ………………………………………8分 ‎ ……………………①‎ ‎ ……②‎ ‎①-②得：‎ ‎ …………………………………11分 ‎…………………………………12分 ‎ 【命题意图】考查数列的概念，等差数列、等比数列的基本运算，考查运算能力，简单题．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾的原因之一．日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：‎ 日均值k(微克)‎ 空气质量等级 一级 二级 超标 ‎针对日趋严重的雾霾情况，各地环保部门做了积极的治理。马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的检测数据中各随机抽取9天的数据来分析治理效果．样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）‎ ‎（Ⅰ）分别求两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月~12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？‎ ‎（Ⅱ）在2015年的9个样本数据中随机抽取两天的数据，求这两天空气质量均超标的概率？‎ ‎ 解：（Ⅰ）由茎叶图中数据可知，2015，2016两年数据的中位数分别为61，51．‎ ‎2015年数据的平均数为 ，‎ ‎2016年数据的平均数为 ，‎ 显然2016年11月~12月的空气质量比2015年同期有所提高． …………………6分 ‎（Ⅱ）从2015年的9个数据随机抽取两天的数据，共有36种不同的情况，而在这9个数据中，有四个数据是空气质量超标的数据，从中随机抽取两个，有6种不同的情况．所以所求概率为 ‎．………………………………………………………………………………12分 ‎ 【命题意图】考查统计基本知识、古典概型概率的计算，简单题．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图1，在直角梯形中，，，，，为中点，，垂足为．沿将四边形折起，连接，得到如图2所示的六面体. 若折起后的中点到点的距离为3．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求六面体的体积．‎ 图1‎ 图2‎ 解：（Ⅰ）证明：取中点，连接. 根据题意可知，四边形是边长为的正方形，所以. 易求得，所以，于是；而，所以平面.又因为平面，所以平面平面．………………6分 ‎（Ⅱ）连接，则. ‎ 由（Ⅰ）的结论及得，平面，平面，‎ 所以，，所以 ‎． ………………………………………………………………12分 ‎（其他证法和求法酌情给分）．‎ ‎ 【命题意图】考查空间线面位置关系、几何体体积的计算，考查空间想象能力，中等题．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设动点到定点的距离比它到轴的距离大，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是曲线上一点，与两坐标轴都不平行的直线过点，且它们的倾斜角互补. 若直线与曲线的另一交点分别是，证明直线的斜率为定值．‎ 解：（Ⅰ）由题意知，动点到定点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹方程是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为…………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由在曲线C上，得，从而 ……………………………5分 设，直线，则 ……………7分 ‎ 由，‎ ‎∴ …………………………………………………………9分 同理，‎ ‎∴，∴ ……………………11分 ‎∴ ‎ 直线的斜率为定值．…………………………………………………………12分 ‎ 【命题意图】考查曲线与方程的概念、直线和圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，较难题．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性.‎ 解：（Ⅰ）当时， ………………………………………1分 ‎………………………2分 令得，或．‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴时，有极大值………………………………………3分 ‎ 时，有极小值 ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）当时，，‎ 由得，即在上，函数单调递增，‎ 由得，即在上，函数单调递减；…………6分 ‎（2）当时，令得，或．‎ ‎①当即时，无论或均有，又 即在上，，从而函数在上单调递增；………………8分 ‎②当即时，‎ 由时，函数单调递增；‎ 由时，函数单调递减；……10分 ‎③当即时，‎ 由时，函数单调递增；‎ 由时，函数单调递减；……12分 ‎ 【命题意图】考查导数的应用，考查分类讨论思想和运算能力，较难题．‎ ‎ ‎ 四、请考生在第（22）和第（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线和曲线相交于两点，求的值．‎ 解：（Ⅰ）由………………………………3分 由 即.………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵直线与圆相交于两点，‎ 又的圆心，为半径为1，‎ 故圆心到直线的距离，‎ ‎∴．……………………………………………………10分 ‎ 【命题意图】考查参数方程与极坐标方程的概念、直线和圆的位置关系，中等题．‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若的解集为，（，），求的最小值．‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴解得，或，故原不等式的解集为，或．………………5分 ‎（Ⅱ），‎ ‎∵的解集为，∴，……………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴（当且仅当即时取等号），∴的最小值为2．……10分 ‎【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题.‎