高考理科数学复习练习作业69
专题层级快练(六十九)
1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A．8 B．2
C．10 D．4
答案 A
解析 由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，选A.
2．(2017·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A. B．6
C．8 D．12
答案 B
解析 由题意得F(－1，0)，设P(x，y)，则·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故＋＝1，所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2取得最大值6，即·的最大值为6.
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
答案 C
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，
最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
4．(2017·温州十校联考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴端点到直线y＝a2x的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为( )
A．3 B．2
C. D.
答案 C
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴端点(0，b)或(0，－b)到直线y＝a2x的距离为1，所以＝1，即b2＝1＋a4，所以离心率e＝＝＝＝＝≥＝，当且仅当a2＝，即a＝1，b＝时取等号，选C.
5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则|FM|>p，即y0＋>p，∴y0>，即y0>2.
6．(2017·河南郑州质检)已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
答案
0，得m＋2>2.
∴0<<，－>－，∴1－>，即e12>.
而0b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)在椭圆C1落在第一象限的图像上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．
答案 (1)＋y2＝1 (2)2
解析 (1)由题意知e＝＝，故c＝a，b＝a.
∵S△DEF2＝(a－c)·b＝(a－a)·＝(1－)a2＝1－，
∴a2＝4，即a＝2，b＝a＝1，c＝，∴椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内一点，
∴直线l的斜率必存在且为负．
设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，联立消去y整理可得：
(k2＋)x2＋2kmx＋m2－1＝0， ①
根据题意可得方程①只有一实根，∴Δ＝(2km)2－4(k2＋)(m2－1)＝0，
整理得：m2＝4k2＋1. ②
∵直线l与两坐标轴的交点分别为(－，0)，(0，m)且k<0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝·， ③
将②代入③可得：S＝－2k＋≥2(当且仅当k＝－时取等号)，∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.
8．(2015·浙江，理)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
答案 (1)m<－或m> (2)
解析 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得(＋)x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0， ①
设M为AB的中点，则M(，)，代入直线方程y＝mx＋
解得b＝－. ②
由①②得m<－或m>.
(2)令t＝∈(－，0)∪(0，)，则
|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.
9.如图，F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两上动点，且线段AB的中点M在直线l：x＝－上．
(1)若点B的坐标为(0，1)，求点M的坐标；
(2)求·的取值范围．
答案 (1)(－，)或(－，) (2)[，)
解析 (1)因为点M是AB的中点，所以可设点A(－1，m)．
代入椭圆方程＋y2＝1，得m＝－或m＝，
则点A的坐标为(－1，－)或(－1，)，
所以点M的坐标为(－，)或(－，)．
(2)当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x＝－，此时·＝.
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，
M(－，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，
则－1＋4mk＝0，故k＝.此时，直线AB的方程为y－m＝(x＋)，即y＝x＋.联立方程组
消去y，整理得x2＋x＋＝0，故Δ＝1－>0，即0b>0)的离心率为，且经过点P(1，)．过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围．
答案 (1)＋＝1 (2)[，6]
解析 (1)由＝⇒a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，
此时四边形的面积S＝6.
若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
则直线l1的方程为y＝k(x＋1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组
消去y并整理，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.①
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|x1－x2|＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝.②
注意到方程①的结构特征和图形的对称性，可以用－代替②中的k，得|CD|＝，∴S＝|AB|·|CD|＝，令k2＝t∈(0，＋∞)，
∴S＝＝＝6－≥6－＝，
∴S∈[，6]．
综上可知，四边形ABCD的面积S∈[，6]．
12．(2017·衡水中学调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A(－，)，离心率为，点F1，F2分别为其左、右焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若y2＝4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN，求四边形PMQN面积的最小值．
答案 (1)＋y2＝1 (2)4
解析 (1)由题意得＝，得b＝c.∵＋＝1(a>b>0)，∴c＝1，∴a2＝2，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)①当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝2，S四边形PMQN＝4.
②当直线MN斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝＋2，x1x2＝1，
|MN|＝·＝＋4.
∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为y＝－(x－1.)
将直线与椭圆联立，得(k2＋2)x2－4x＋2－2k2＝0.
令P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则x3＋x4＝，x3x4＝，
|PQ|＝·＝.
∵四边形PMQN的面积S＝，
令1＋k2＝t(t>1)，
则S＝＝＝4(1＋)>4，
∴S>4，其最小值为4.
1．(2014·四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
答案 B
解析 设出直线AB的方程，用分割法表示出△ABO的面积，将S△ABO＋S△AFO表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．
设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
又y12＝x1，y22＝x2，∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0.
∴y1y2＝－m＝－2，∴m＝2，即点M(2，0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝时，等号成立．
2．(2015·山东，文)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(，)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
答案 (1)＋y2＝1 (2)①2 ②6
解析 (1)由题意知＋＝1，又＝，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y02＝1，又＋＝1，即(＋y02)＝1，
所以λ＝2，即＝2.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*)
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝
＝2.
设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知0|F1F2|＝2，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹G是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，代入椭圆方程得(x＋m)2＋2x2＝4，
即4x2＋2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，得m2<8.
又点Q不在直线l上，所以m≠0，所以0b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解析 (1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有＋＝，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝>，解得－0.于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0.于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.
