高考理科数学复习练习作业47

高考理科数学复习练习作业47

专题层级快练(四十七)‎ ‎1．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．1＋2‎ C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23‎ 答案　D 解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.‎ ‎2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于 ‎(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．0‎ 答案　C 解析　边数最少的凸n边形是三角形．‎ ‎3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案　D ‎4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)‎ A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1)‎ 答案　A 解析　因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．‎ ‎5．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________．‎ 答案　 解析　c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，‎ c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，‎ 故由归纳推理得cn＝.‎ ‎6．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.‎ 答案　略 解析　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．‎ ‎7．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝(an＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3；‎ ‎(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．‎ 答案　(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－ (2)an＝－ 解析　(1)S1＝a1＝(a1＋)，得a12＝1.‎ ‎∵an>0，∴a1＝1.‎ 由S2＝a1＋a2＝(a2＋)，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.‎ 又由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)，得a32＋2a3－1＝0，∴a3＝－.‎ ‎(2)猜想an＝－(n∈N*)．‎ 证明：①当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝－，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)，‎ 即ak＋1＝(ak＋1＋)－(－＋)‎ ‎＝(ak＋1＋)－，∴ak＋12＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.‎ 即n＝k＋1时猜想成立．‎ 由①②知，an＝－(n∈N*)．‎ ‎8．已知ai>0(i＝1，2，…，n)，考察：‎ ‎①a1·≥1；‎ ‎②(a1＋a2)(＋)≥4；‎ ‎③(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥9.‎ 归纳出对a1，a2，…，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．‎ 答案　(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…＋)≥n2‎ 解析　结论：(a1＋a2＋…＋an)·(＋＋…＋)≥n2(n∈N*)．‎ 证明：①当n＝1时，显然成立．‎ ‎②假设当n＝k时，不等式成立，即(a1＋a2＋a3＋…＋ak)·(＋＋…＋)≥k2.‎ 当n＝k＋1时，(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)·(＋＋…＋＋)‎ ‎＝(a1＋a2＋…＋ak)(＋＋…＋)＋ak＋1(＋＋…＋)＋(a1＋a2＋…＋ak)＋1‎ ‎≥k2＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋1‎ ‎≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.‎ 即n＝k＋1时命题也成立．‎ 由①②可得，不等式对任意正整数n成立．‎ ‎9．(2017·保定模拟)已知f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋，证明：an＜.‎ 答案　略 证明　(1)当n＝1时，0＜a1＜，‎ 不等式an＜成立；‎ 因a2＝f(a1)＝－(a1－)2＋≤<，‎ 故n＝2时不等式也成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式ak＜成立，因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝，知f(x) 在(－‎ ‎∞，]上为增函数，所以由ak＜≤，得f(ak)＜f()．‎ 于是有ak＋1＜－·＋－＝－＜.‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 根据(1)、(2)可知，对任何n∈N＋，不等式an＜成立．‎ ‎10．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：00，‎ 所以f(x)在(0，1)上是增函数．‎ 又f(x)在[0，1]上连续，‎ 从而f(0)0)．‎ ‎∵a1、a2、a4成等比数列，∴a22＝a1·a4⇒(1＋d)2＝1×(1＋3d)⇒d＝1(d>0)，‎ ‎∴an＝n(n∈N*)．‎ ‎(2)①根据题意要证bn≥an，即证bn≥n(n∈N*)．‎ 用数学归纳法证明如下：当n＝1时，b1≥1，原不等式成立；‎ 假设n＝k时原不等式成立，即bk≥k(k∈N*)，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ bk＋1＝bk2－(k－2)bk＋3＝bk(bk－k＋2)＋3≥bk(k－k＋2)＋3＝2bk＋3≥2k＋3>k＋1，‎ ‎∴当n＝k＋1时原不等式也成立，综上可知bn≥n(n∈N*)，即bn≥an.‎ ‎②由bn＋1＝bn2－(n－2)bn＋3＝bn(bn－n＋2)＋3≥2bn＋3，而bn＋3>0，‎ ‎∴≥2，∴b1＋3≥4，≥2，≥2，≥2，…，≥2，‎ ‎∴bn＋3≥2n＋1(n∈N*)，∴0<≤，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋，‎ ‎∴Tn≤＝－<，(n∈N*)．‎ ‎1．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．‎ 答案　 解析　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ ‎2．已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第60个数对是________．‎ 答案　(5，7)‎ 解析　本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；‎ ‎4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；‎ ‎5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；‎ ‎…；‎ 一个整数n所拥有数对为(n－1)对．‎ 设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60.‎ ‎∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，‎ ‎12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，‎ ‎∴第60个数对为(5，7)．‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.‎ ‎(1)求S1，S2，S3；‎ ‎(2)猜想Sn的表达式并证明．‎ 答案　(1)S1＝，S2＝，S3＝ (2)Sn＝，证明略 解析　(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；‎ 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.‎ ‎(2)猜想：Sn＝.‎ 证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．‎ 则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝.‎ 从而n＝k＋1时，猜想也成立．‎ 综合①②得结论成立．‎ ‎4．(2016·衡水调研)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(an2＋3)，n∈N*.‎ ‎(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；‎ ‎(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．‎ 答案　(1)略　(2)03‎ 解析　(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，‎ 则由递推关系，得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．‎ 根据数学归纳法，可知对任何n∈N*，an都是奇数．‎ ‎(2)方法一：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)，知当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.‎ 另一方面，若03，则ak＋1>＝3.‎ 根据数学归纳法，可知∀n∈N*，03⇔an>3.‎ 综上所述，对一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.‎ 方法二：由a2＝>a1，得a12－4a1＋3>0.于是03.‎ an＋1－an＝－＝.‎ 因为a1>0，an＋1＝，所以对任意n∈N*，an均大于0.‎ 因此an＋1－an与an－an－1同号．‎ 根据数学归纳法，可知∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．‎ 因此，对于一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.‎