2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)10:圆锥曲线

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2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)10:圆锥曲线

‎2012高考真题分类汇编:圆锥曲线 一、选择题 ‎1.【2012高考真题浙江理8】如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F‎1F2|,则C的离心率是 A. B。 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知直线的方程为:,联立方程组得点Q,联立方程组得点P,所以PQ的中点坐标为,所以PQ的垂直平分线方程为:,令,得,所以,所以,即,所以。故选B ‎2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线 的准线交于两点,;则的实轴长为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等轴双曲线方程为,抛物线的准线为,由,则,把坐标代入双曲线方程得,所以双曲线方程为,即,所以,所以实轴长,选C.‎ ‎3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是底角为的等腰三角形,则有,,因为,所以,,所以,即,所以,即,所以椭圆的离心率为,选C.‎ ‎4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设抛物线方程为,则点焦点,点 到该抛物线焦点的距离为, , 解得,所以.‎ ‎5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为椭圆的离心率为,所以,,,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,,,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.‎ ‎6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.‎ 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.‎ 又,,C的方程为-=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.‎ ‎7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C.3 D.5‎ ‎【答案】A.‎ ‎ 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为,又根据双曲线的几何性质可知,所以,从而可得渐进线方程为,即,所以,故选A.‎ ‎8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。‎ ‎【解析】设及;则点到准线的距离为,‎ 得: 又,‎ 的面积为。‎ ‎9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A +=1 B +=‎1C +=1 D +=1‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的焦距为4,所以因为准线为,所以椭圆的焦点在轴上,且,所以,,所以椭圆的方程为 ‎,选C.‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的方程为,所以,因为|PF1|=|2PF2|,所以点P在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=‎2a=,所以解得|PF2|=,|PF1|=,所以根据余弦定理得,选C.‎ ‎11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可求得焦点坐标F(1,0),因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线方程为,将直线和曲线联立,因此.‎ 二、填空题 ‎12.【2012高考真题湖北理14】如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则 ‎(Ⅰ)双曲线的离心率 ;‎ ‎(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】(Ⅰ)由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出 ‎(Ⅱ)设,很显然知道,因此.在中求得故;‎ 菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出.‎ ‎13.【2012高考真题四川理15】椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、,考查推理论证能力、基本运算能力,以及数形结合思想,难度适中.‎ ‎【解析】当直线过右焦点时的周长最大,;‎ 将带入解得;所以.‎ ‎14.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面‎2米,水面宽‎4米,水位下降‎1米后,水面宽 米.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设水面与桥的一个交点为A,如图建立直角坐标系则,A的坐标为(2,-2).设抛物线方程为,带入点A得,设水位下降‎1米后水面与桥的交点坐标为,则,所以水面宽度为.‎ ‎15.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为,设A,B的坐标分别为的,则,设,则,所以有,解得或,所以.‎ ‎16.【2012高考真题辽宁理15】已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.‎ 由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。‎ 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。‎ ‎17.【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若,,成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。‎ ‎【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为,所以,,又因为,,成等比数列,所以有,即,所以,离心率为.‎ ‎18.【2012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ . ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴,即,解得。‎ 三、解答题 ‎19.【2012高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 ‎,∴。‎ 由点在椭圆上,得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎(2)由(1)得,,又∵∥,‎ ‎ ∴设、的方程分别为,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理,。②‎ ‎ (i)由①②得,。解得=2。‎ ‎ ∵注意到,∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ (ii)证明:∵∥,∴,即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知,,∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得,,,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎ ‎ ‎20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B 两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.‎ ‎【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。‎ ‎【答案】(Ⅰ)由题:; (1)‎ 左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)‎ 由(1) (2)可解得:.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为:.‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.‎ ‎∵A,B在椭圆上,‎ ‎∴.‎ 设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),‎ 代入椭圆:.‎ 显然.‎ ‎∴﹣<m<且m≠0.‎ 由上又有:=m,=.‎ ‎∴|AB|=||==.‎ ‎∵点P(2,1)到直线l的距离表示为:.‎ ‎∴SABP=d|AB|=|m+2|,‎ 当|m+2|=,即m=﹣3 或m=0(舍去)时,(SABP)max=.‎ 此时直线l的方程y=﹣.‎ ‎21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,。点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点。‎ ‎ (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设动圆与相交于四点,其中,‎ ‎。若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强,运算量较大。在求解点的轨迹方程时,要注意首先写出直线和直线的方程,然后求解。属于中档题,难度适中。‎ ‎22.【2012高考真题湖北理】(本小题满分13分)‎ 设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ‎ ‎(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. ‎ ‎【答案】(Ⅰ)如图1,设,,则由,‎ 可得,,所以,. ①‎ 因为点在单位圆上运动,所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,;‎ 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,. ‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,‎ 直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得 ‎,即.‎ 因为点H在直线QN上,所以.‎ 于是,. ‎ 而等价于,‎ 即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:如图2、3,,设,,则,,‎ 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又,,三点共线,所以,即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于,即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ ‎23.【2012高考真题北京理19】(本小题共14分)‎ ‎【答案】解:(1)原曲线方程可化简得:‎ 由题意可得:,解得:‎ ‎(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,‎ ‎,解得: 由韦达定理得:①,,②‎ 设,,‎ 方程为:,则,‎ ‎,,‎ 欲证三点共线,只需证,共线 即成立,化简得:‎ 将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。‎ ‎24.【2012高考真题广东理20】(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:的离心率e=‎ ‎,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】本题是一道综合性的题目,考查直线、圆与圆锥曲线的问题,涉及到最值与探索性问题,意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。‎ ‎25.【2012高考真题重庆理20】(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)‎ ‎ 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段 的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过 做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程 ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎26.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求 的取值范围。‎ ‎【答案】本题主要考查轨迹方程的求法,圆锥曲线的定义等基础知识,考查基本运算能力,逻辑推理能力,考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题新课标理20】(本小题满分12分)‎ 设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,‎ 为半径的圆交于两点;‎ ‎(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;‎ ‎(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,‎ 求坐标原点到距离的比值.‎ ‎【答案】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ (2)由对称性设,则 ‎ 点关于点对称得:‎ ‎ 得:,直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为.‎ ‎28.【2012高考真题福建理19】如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程.‎ ‎(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相较于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎29.【2012高考真题上海理22】(4+6+6=16分)在平面直角坐标系中,已知双曲线:.‎ ‎(1)过的左顶点引的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)设斜率为1的直线交于、两点,若与圆相切,求证:;‎ ‎(3)设椭圆:,若、分别是、上的动点,且 ‎,求证:到直线的距离是定值.‎ ‎【答案】‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为 ‎,,则到直线的距离为.‎ 设到直线的距离为.‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为,它的渐近线为,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .‎ ‎30.【2012高考真题陕西理19】本小题满分12分)‎ 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ ‎ ‎31.【2012高考真题山东理21】(本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.‎ ‎【答案】解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,‎ 而,,,‎ ‎,,‎ 由可得,,则,‎ 即,解得,点M的坐标为 ‎(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M,。‎ 由可得,设,‎ 圆,‎ ‎,‎ 于是,令 ‎,‎ 设,,‎ 当时,,‎ 即当时.‎ 故当时,.‎ ‎32.【2012高考真题江西理21】 (本题满分13分)‎ 已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.‎ (1) 求曲线C的方程;‎ (2) 动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.‎ ‎33.【2012高考真题天津理19】(本小题满分14分)‎ 设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足 ‎【答案】‎ ‎ ‎
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