2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）10：圆锥曲线

2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）10：圆锥曲线

‎2012高考真题分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 ‎1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F‎1F2|,则C的离心率是 A. B。 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B ‎2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线 的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.‎ ‎3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.‎ ‎4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点 到该抛物线焦点的距离为， ， 解得，所以.‎ ‎5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，，，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.‎ ‎6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.‎ 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.‎ 又，，C的方程为-=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.‎ ‎7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C.3 D.5‎ ‎【答案】Ａ．‎ ‎ 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选Ａ．‎ ‎8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。‎ ‎【解析】设及；则点到准线的距离为，‎ 得： 又，‎ 的面积为。‎ ‎9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A +=1 B +=‎1C +=1 D +=1‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为 ‎，选C.‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=‎ ‎(A) （B） (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=‎2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.‎ ‎11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此．‎ 二、填空题 ‎12.【2012高考真题湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则 ‎（Ⅰ）双曲线的离心率 ；‎ ‎（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出 ‎（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；‎ 菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.‎ ‎13.【2012高考真题四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.‎ ‎【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；‎ 将带入解得；所以.‎ ‎14.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 米.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降‎1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.‎ ‎15.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.‎ ‎16.【2012高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.‎ 由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。‎ 曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。‎ ‎17.【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。‎ ‎【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.‎ ‎18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ 三、解答题 ‎19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎ ‎ ‎20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B 两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．‎ ‎【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。‎ ‎【答案】(Ⅰ)由题：； (1)‎ 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)‎ 由(1) (2)可解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴．‎ 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，‎ 代入椭圆：．‎ 显然．‎ ‎∴﹣＜m＜且m≠0．‎ 由上又有：＝m，＝．‎ ‎∴|AB|＝||＝＝．‎ ‎∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．‎ ‎∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，‎ 当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．‎ 此时直线l的方程y＝﹣．‎ ‎21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。‎ ‎ (Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，‎ ‎。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。‎ ‎22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即.‎ 因为点H在直线QN上，所以.‎ 于是，. ‎ 而等价于，‎ 即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：如图2、3，，设，，则，，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ ‎23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）‎ ‎【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎24.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=‎ ‎，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。‎ ‎25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）‎ ‎ 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形.‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程 ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎26.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求 的取值范围。‎ ‎【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值.‎ ‎【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为.‎ ‎28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程.‎ ‎（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎29.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．‎ ‎（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；‎ ‎（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且 ‎，求证：到直线的距离是定值.‎ ‎【答案】‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为 ‎，,则到直线的距离为.‎ 设到直线的距离为.‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．‎ ‎30.【2012高考真题陕西理19】本小题满分12分）‎ 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ ‎ ‎31.【2012高考真题山东理21】（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.‎ ‎【答案】解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，‎ 而，，，‎ ‎，，‎ 由可得，，则，‎ 即，解得，点M的坐标为 ‎（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。‎ 由可得，设，‎ 圆，‎ ‎，‎ 于是，令 ‎，‎ 设，，‎ 当时，，‎ 即当时.‎ 故当时，.‎ ‎32.【2012高考真题江西理21】 （本题满分13分）‎ 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.‎ （1） 求曲线C的方程；‎ （2） 动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.‎ ‎33.【2012高考真题天津理19】（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足 ‎【答案】‎ ‎ ‎