2020版高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式举例
二 用数学归纳法证明不等式举例
课后篇巩固探究
1.用数学归纳法证明1++…+
1)时,第一步是证下述哪个不等式成立( )
A.1<2 B.1+<2
C.1+<2 D.1+<2
解析当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+<2.
答案C
2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是( )
A.(1+x)3<1+3x
B.(1+x<1+x
C.(1+x)-2<1-2x
D.(1+x<1+x
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解析由贝努利不等式可得选项D正确.
答案D
3.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.
所以n的最小值n0为2.
答案B
4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明时,f(2k+1)比f(2k)多的项为 .
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解析f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.
答案+…+
6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为 .
答案x+≥n+1(n为正整数)
7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘 .
解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.
答案
8.用数学归纳法证明1++…+<2(n∈N+).
证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即1++…+<2.
当n=k+1时,1++…+<2=2.
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所以当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.
9.导学号26394068若不等式+…+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.
解取n=1,则有成立,
所以,因此a<26,取a=25,
即正整数a的最大值为25.
以下用数学归纳法证明.
+…+对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,
即+…+,
当n=k+1时,
+…+
=.
因为,
所以>0,
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于是+…+,
即当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+…+,且正整数a的最大值等于25.
10.导学号26394069已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.
(1)解将条件变为1-,
因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,
从而1-,
因此得an=(n≥1). ①
(2)证明由①得
a1a2…an=.
为证a1a2…an<2n!,只要证当n∈N+时,有×…×. ②
显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有
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×…×
≥1-. ③
下面用数学归纳法证明③式:
ⅰ当n=1时,显然③式成立,
ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③式成立,
即×…×≥
1-.
当n=k+1时,
×…×
≥
=1-
>1-.
即当n=k+1时,③式也成立.
故对一切n∈N+,③式都成立.
利用③,得
≥1-
=1-
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=1-.
故原不等式成立.
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