2020年高中数学第二章平面向量数量积的物理背景及其含义

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文档介绍

2020年高中数学第二章平面向量数量积的物理背景及其含义

‎2.4.1‎‎ 平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是(  )‎ A.2 B.-2‎ C.4 D.-4‎ 解析:记向量a与b的夹角为θ,由a·b=|a||b|cos θ=-12,即6×3cos θ=-12,所以cos θ=-,所以a在b方向上的投影为|a|cos θ=6×=-4.‎ 答案:D ‎2.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=(  )‎ A.4 B.3‎ C.2 D.0‎ 解析:因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c,从而c·b=c·a=0.所以c·(a+2b)=c·a+‎2c·b=0.‎ 答案:D ‎3.|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a,则a与b的夹角为(  )‎ A.30° B.60°‎ C.120° D.150°‎ 解析:c⊥a,设a与b的夹角为θ,则(a+b)·a=0,所以a2+a·b=0,‎ 所以a2+|a||b|cos θ=0,则1+2cos θ=0,所以cos θ=-,所以θ=120°.‎ 答案:C ‎4.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=(  )‎ A. B. C. D.4‎ 解析:|a+3b|2=a2+‎6a·b+9b2‎ ‎=1+6×cos 60°+9=13,所以|a+3b|=.‎ 答案:C ‎5.若向量a与b的夹角为,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.12‎ 5‎ 解析:由题意知a·b=|a||b|cos =|a||b|=2|a|,(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=‎ ‎|a|2-2|a|-6×42=-72,∴|a|=6.‎ 答案:C ‎6.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)·(a-b)=________.‎ 解析:(a+b)·(a-b)=a2-b2‎ ‎=|a|2-|b|2=32-42=-7.‎ 答案:-7‎ ‎7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2 ,则·=________.‎ 解析:由=2,所以=,=-,‎ 故·=(+)· ‎=·(-)‎ ‎=·(-)‎ ‎=·+- ‎=||||cos 120°+||2-||2‎ ‎=×2×1×+×1-×22=-.‎ 答案:- ‎8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=________.‎ 解析:将两已知等式相加得,‎2a=-6i+8j,所以a=-3i+4j.同理将两已知等式相减得,b=5i-12j,而i,j是两个互相垂直的单位向量,‎ 所以a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-3×5+4×(-12)=-63.‎ 答案:-63‎ ‎9.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b.‎ 解析:①当a∥b时,‎ 若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,‎ ‎∴a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18;‎ 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,‎ ‎∴a·b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18;‎ 5‎ ‎②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,‎ ‎∴a·b=0;‎ ‎③当a与b的夹角是60°时,‎ 有a·b=|a||b|cos 60°=3×6×=9.‎ ‎10.设向量a,b满足|a|=|b|=1,|‎3a-b|=.‎ ‎(1)求|a+3b|的值;‎ ‎(2)求‎3a-b与a+3b夹角的正弦值.‎ 解析:(1)由|‎3a-b|=,得(‎3a-b)2=5,‎ 所以‎9a2-‎6a·b+b2=5,因为a2=b2=1,所以a·b=.因此(a+3b)2=a2+‎6a·b+9b2=15,‎ 所以|a+3b|=.‎ ‎(2)设‎3a-b与a+3b的夹角为θ,‎ 因为(‎3a-b)·(a+3b)=‎3a2+‎8a·b-3b2=,‎ 所以cos θ===,‎ 因为0°≤θ≤180°,所以sin θ== =,‎ 所以‎3a-b与a+3b的夹角的正弦值为.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b共线,则|a+c|的最小值为(  )‎ A.1          B. C. D. 解析:∵|a|=|b|=1,c与a+b共线.‎ ‎∴a与c的夹角为60°或120°.‎ 当θ=60°时|a+c|= = ‎= ‎∴|a+c|min=1‎ 当θ=120°时,|a+c|= 5‎ ‎= ‎∴|a+c|min=.‎ 答案:D ‎2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(  )‎ A.2 B.4‎ C.5 D.10‎ 解析:= ‎= ‎= ‎= ‎=-6=42-6=10.‎ 答案:D ‎3.已知△ABC中,若2=·+·+·,则△ABC是(  )‎ A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:由2-·=·+·,得·(-)=·(-),‎ 即·=·,∴·+·=0,∴·(+)=0,则·=0,即⊥,‎ 所以△ABC是直角三角形,故选C.‎ 答案:C 5‎ ‎4.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________.‎ 解析:因为e1,e2为单位向量,e1,e2的夹角为,所以e1·e2=.‎ ‎|b|== ‎== 所以== ‎=≤2,所以的最大值为2.‎ 答案:2‎ ‎5.已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为60°,m=2xa+7b,‎ n=a+xb,x∈R.‎ ‎(1)若m,n的夹角为钝角,求x的取值范围;‎ ‎(2)设函数f(x)=m·n,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.‎ 解析:(1)a·b=|a||b|·cos 60°=2×1×cos 60°=1,由m,n的夹角为钝角,得m·n<0,且m,n不反向共线,∴m·n=(2xa+7b)·(a+xb)=2xa2+‎7a·b+2x‎2a·b+7xb2=‎ ‎8x+2x2+7+7x=2x2+15x+7<0,且去掉2xa+7b=μ(a+xb)中μ小于0的情形.解得-7
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