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文档介绍
2020年高中数学第二章平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 [课时作业] [A组 基础巩固] 1.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:记向量a与b的夹角为θ,由a·b=|a||b|cos θ=-12,即6×3cos θ=-12,所以cos θ=-,所以a在b方向上的投影为|a|cos θ=6×=-4. 答案:D 2.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c,从而c·b=c·a=0.所以c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案:D 3.|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a,则a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:c⊥a,设a与b的夹角为θ,则(a+b)·a=0,所以a2+a·b=0, 所以a2+|a||b|cos θ=0,则1+2cos θ=0,所以cos θ=-,所以θ=120°. 答案:C 4.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=( ) A. B. C. D.4 解析:|a+3b|2=a2+6a·b+9b2 =1+6×cos 60°+9=13,所以|a+3b|=. 答案:C 5.若向量a与b的夹角为,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 5 解析:由题意知a·b=|a||b|cos =|a||b|=2|a|,(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2= |a|2-2|a|-6×42=-72,∴|a|=6. 答案:C 6.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)·(a-b)=________. 解析:(a+b)·(a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=32-42=-7. 答案:-7 7.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2 ,则·=________. 解析:由=2,所以=,=-, 故·=(+)· =·(-) =·(-) =·+- =||||cos 120°+||2-||2 =×2×1×+×1-×22=-. 答案:- 8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=________. 解析:将两已知等式相加得,2a=-6i+8j,所以a=-3i+4j.同理将两已知等式相减得,b=5i-12j,而i,j是两个互相垂直的单位向量, 所以a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-3×5+4×(-12)=-63. 答案:-63 9.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b. 解析:①当a∥b时, 若a与b同向,则它们的夹角θ=0°, ∴a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18; 5 ②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°, ∴a·b=0; ③当a与b的夹角是60°时, 有a·b=|a||b|cos 60°=3×6×=9. 10.设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b|=. (1)求|a+3b|的值; (2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值. 解析:(1)由|3a-b|=,得(3a-b)2=5, 所以9a2-6a·b+b2=5,因为a2=b2=1,所以a·b=.因此(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=15, 所以|a+3b|=. (2)设3a-b与a+3b的夹角为θ, 因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2=, 所以cos θ===, 因为0°≤θ≤180°,所以sin θ== =, 所以3a-b与a+3b的夹角的正弦值为. [B组 能力提升] 1.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b共线,则|a+c|的最小值为( ) A.1 B. C. D. 解析:∵|a|=|b|=1,c与a+b共线. ∴a与c的夹角为60°或120°. 当θ=60°时|a+c|= = = ∴|a+c|min=1 当θ=120°时,|a+c|= 5 = ∴|a+c|min=. 答案:D 2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( ) A.2 B.4 C.5 D.10 解析:= = = = =-6=42-6=10. 答案:D 3.已知△ABC中,若2=·+·+·,则△ABC是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:由2-·=·+·,得·(-)=·(-), 即·=·,∴·+·=0,∴·(+)=0,则·=0,即⊥, 所以△ABC是直角三角形,故选C. 答案:C 5 4.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________. 解析:因为e1,e2为单位向量,e1,e2的夹角为,所以e1·e2=. |b|== == 所以== =≤2,所以的最大值为2. 答案:2 5.已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为60°,m=2xa+7b, n=a+xb,x∈R. (1)若m,n的夹角为钝角,求x的取值范围; (2)设函数f(x)=m·n,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解析:(1)a·b=|a||b|·cos 60°=2×1×cos 60°=1,由m,n的夹角为钝角,得m·n<0,且m,n不反向共线,∴m·n=(2xa+7b)·(a+xb)=2xa2+7a·b+2x2a·b+7xb2= 8x+2x2+7+7x=2x2+15x+7<0,且去掉2xa+7b=μ(a+xb)中μ小于0的情形.解得-7查看更多
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