2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试

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2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试

同步精选测试 等比数列性质 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是(  )‎ A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 ‎【解析】 因为等比数列{an}的公比为q=-,a1=,故a2<0,a3>0,…所以数列{an}是摆动数列.‎ ‎【答案】 D ‎2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(  )‎ A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 ‎【解析】 设等比数列的公比为q,因为==q3,即a=a‎3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎3.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(a∈N+),且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是(  )‎ A.-5   B.-   C.5   D. ‎【解析】 ∵log3an+1=log3an+1,∴an+1=3an,‎ ‎∴数列{an}是以3为公比的等比数列,‎ ‎∴a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9,‎ ‎∴a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35,‎ ‎∴log35=-5.‎ ‎【答案】 A ‎4.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是(  )‎ A.3 B.27‎ 5‎ C.3或27 D.15或27‎ ‎【解析】 设此三数为3,a,b,则 解得或 所以这个未知数为3或27.‎ ‎【答案】 C ‎5.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,3,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log‎2a1+log‎2a3+…+log‎2a2n-1=(  ) ‎ ‎【导学号:18082097】‎ A.n(2n-1) B.(n+1)2‎ C.n2 D.(n-1)2‎ ‎【解析】 因为{an}为等比数列,所以a5·a2n-5=a.‎ 由a5·a2n-5=22n(n≥3),得a=22n.‎ 又因为an>0,所以an=2n,所以log‎2a1+log‎2a3+…+log‎2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2,故选C.‎ ‎【答案】 C 二、填空题 ‎6.在等比数列{an}中,a3=16,a‎1a2a3…a10=265,则a7等于________.‎ ‎【解析】 ∵a‎1a2a3…a10=(a‎3a8)5=265,‎ ‎∴a‎3a8=213.‎ ‎∵a3=16=24,∴a8=29=512.‎ 又∵a8=a3q5,∴q=2,‎ ‎∴a7===256.‎ ‎【答案】 256‎ ‎7.在右列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.‎ ‎【解析】 ∵=,∴x=1.‎ ‎∵第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.‎ 同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.‎ 5‎ ‎∴y=5·,z=6·.‎ ‎∴x+y+z=1+5·+6·==2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.‎ ‎【解析】 由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需利用=m,所以月平均增长率为-1.‎ ‎【答案】 -1‎ 三、解答题 ‎9.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,求p+q的值.‎ ‎【解】 不妨设a>b,由题意得∴a>0,b>0,又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列.‎ ‎∴①或②‎ 解①得解②得 ‎∴p=5,q=4,∴p+q=9.‎ ‎10.在等比数列{an}中,a4=,a3+a5=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{an}的公比大于1,且bn=log3,求证:数列{bn}为等差数列,并求其前n项和Sn. ‎ ‎【导学号:18082098】‎ ‎【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,+a4q=.‎ 因为a4=,所以+q=,解得q=或q=3.‎ 当q=时,a1=18,所以an=18×-1=2×33-n;‎ 当q=3时,a1=,所以an=×3n-1=2×3n-5.‎ ‎(2)证明:由(1)及数列{an}的公比大于1,‎ 得q=3,an=2×3n-5,‎ 所以bn=log3=log33n-5=n-5,‎ 5‎ 所以bn-bn-1=1(常数).‎ 又因为b1=log3=-4,‎ 所以数列{bn}是首项为-4,公差为1的等差数列.‎ 所以Sn==n2-n.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a‎8a15=(  )‎ A.±2 B.±‎4 C.2 D.4‎ ‎【解析】 ∵T13=4T9.‎ ‎∴a‎1a2…a‎9a10a11a12a13=‎4a1a2…a9.‎ ‎∴a‎10a11a12a13=4.‎ 又∵a10·a13=a11·a12=a8·a15,‎ ‎∴(a8·a15)2=4.∴a‎8a15=±2.‎ 又∵{an}为递减数列,∴q>0.∴a‎8a15=2.‎ ‎【答案】 C ‎2.公差不为零的等差数列{an}中,‎2a3-a+‎2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=(  )‎ A.16 B.14‎ C.4 D.49‎ ‎【解析】 ∵‎2a3-a+‎2a11=2(a3+a11)-a=‎4a7-a=0,‎ ‎∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.‎ ‎∴b6b8=b=16.‎ ‎【答案】 A ‎3.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.‎ ‎【解析】 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,∴q<0.‎ 又∵|q|>1,‎ ‎∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81.‎ ‎∴q==-,∴6q=-9.‎ ‎【答案】 -9‎ ‎4.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,ak1,‎ 5‎ ak2,…,akn,…成等比数列,求数列{kn}的通项kn.‎ ‎【解】 依题设得an=a1+(n-1)d,a=a‎1a4,‎ ‎∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d,‎ ‎∵d≠0,‎ ‎∴d=a1,得an=nd.‎ ‎∴由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列.‎ 又d≠0,∴数列1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列,首项为1,公比为q==3,由此得k1=9.‎ 等比数列{kn}的首项k1=9,公比q=3,‎ ‎∴kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),即得到数列{kn}的通项为kn=3n+1.‎ 5‎
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