2020版高中数学 第二章 证明不等式的基本方法 2
三 反证法与放缩法
课后篇巩固探究
1.设实数a,b,c满足a+b+c=,则a,b,c中( )
A.至多有一个不大于
B.至少有一个不小于
C.至多有两个不小于
D.至少有两个不小于
解析假设a,b,c都小于,即a<,b<,c<,则a+b+c<,这与a+b+c=矛盾,因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于.
答案B
2.已知三角形的三边长分别为a,b,c,设M=,N=,Q=,则M,N与Q的大小关系是( )
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A.M
c>0,
则.
∴+1<+1,
即.
∴,
故NQ,故M>Q>N.
答案D
3.导学号26394038设M=+…+,则( )
A.M=1
B.M<1
C.M>1
D.M与1大小关系不确定
解析分母全换成210,共有210个单项.
答案B
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4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是 .
答案|f(x1)-f(x2)|≥
5.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的 条件.
解析必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.
答案充要
6.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)
解析①可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,正确;④a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.
答案③
7.设f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证|f(a)-f(b)|≤|a-b|.
证明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|
=|(a-b)(a+b-1)|
=|a-b||a+b-1|,
因为0≤a≤1,0≤b≤1,
所以0≤a+b≤2.
所以-1≤a+b-1≤1,
所以|a+b-1|≤1.
故|f(a)-f(b)|≤|a-b|.
8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于2.
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证明假设都不小于2,即
≥2,且≥2.
因为x>0,y>0,
所以1+x≥2y,且1+y≥2x.
把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),
从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.
因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.
9.导学号26394039已知Sn=+…+,求证:对于正整数m,n,当m>n时,|Sm-Sn|<.
证明记ak=(k∈N+),则|ak|≤.
于是,当m>n时,|Sm-Sn|
=|+…+am|
≤||+||+…+|am|
≤+…+
=
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=.
10.导学号26394040若数列{xn}的通项公式为xn=,求证x1·x3·x5·…·x2n-1<.
证明因为,
又
==1,
所以,
所以x1·x3·x5·…·x2n-1
=×…×
<,
故x1·x3·x5·…·x2n-1<.
5
