高考真题与高考等值卷(选修系列-不等式选讲)(文数)-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

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高考真题与高考等值卷(选修系列-不等式选讲)(文数)-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 三年高考真题与高考等值卷( 选修系列--不等式选讲 )(文科数学)‎ ‎1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:‎ ‎2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.‎ ‎(1)柯西不等式的向量形式:‎ ‎(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.‎ +≥‎ ‎(此不等式通常称为平面三角不等式.)‎ ‎3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:‎ ‎4.会用向量递归方法讨论排序不等式.‎ ‎5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.‎ ‎6.会用数学归纳法证明伯努利不等式:‎ ‎(1+x)n>1+nx(x>-1,x¹0,n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.‎ ‎7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.‎ ‎8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.‎ ‎1.【2019年新课标3文科23】设x,y,z∈R,且x+y+z=1.‎ ‎(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;‎ ‎(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.‎ ‎【解答】解:(1)x,y,z∈R,且x+y+z=1,‎ 由柯西不等式可得 ‎(12+12+12)[(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x﹣1+y+1+z+1)2=4,‎ 可得(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2,‎ 即有(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为;‎ ‎(2)证明:由x+y+z=1,柯西不等式可得 ‎(12+12+12)[(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2]≥(x﹣2+y﹣1+z﹣a)2=(a+2)2,‎ 可得(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2,‎ 即有(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2的最小值为,‎ 由题意可得,‎ 解得a≥﹣1或a≤﹣3.‎ ‎2.【2019年新课标2文科23】已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;‎ ‎(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),‎ ‎∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;‎ 当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;‎ 综上,不等式的解集为(﹣∞,1);‎ ‎(2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;‎ 当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,‎ ‎∴a的取值范围为:[1,+∞)‎ ‎3.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:‎ ‎(1)a2+b2+c2;‎ ‎(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.‎ ‎【解答】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.‎ 要证(1)a2+b2+c2;因为abc=1.‎ 就要证:a2+b2+c2;‎ 即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;‎ 即:2bc+‎2ac+2ab≤‎2a2+2b2+‎2c2;‎ ‎2a‎2+2b2+‎2c2﹣2bc﹣‎2ac﹣2ab≥0‎ ‎(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;‎ ‎∵a,b,c为正数,且满足abc=1.‎ ‎∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.‎ 即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.‎ 故a2+b2+c2得证.‎ ‎(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;‎ 即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.‎ ‎(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;‎ ‎(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);‎ 当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;‎ ‎∵a,b,c为正数,且满足abc=1.‎ ‎(a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2;‎ 当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;‎ ‎∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8••24abc=24;‎ 当且仅当a=b=c=1时取等号;‎ 故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.‎ 故得证.‎ ‎4.【2018年新课标2文科23】设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|.‎ 当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤﹣1,‎ 当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,‎ 当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,‎ 综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],‎ ‎(2)∵f(x)≤1,‎ ‎∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,‎ ‎∴|x+a|+|x﹣2|≥4,‎ ‎∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,‎ ‎∴|a+2|≥4,‎ 解得a≤﹣6或a≥2,‎ 故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).‎ ‎5.【2018年新课标1文科23】已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,‎ 由f(x)>1,‎ ‎∴或,‎ 解得x,‎ 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞),‎ ‎(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,‎ ‎∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,‎ 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,‎ 即|ax﹣1|<1,‎ ‎∴﹣1<ax﹣1<1,‎ ‎∴0<ax<2,‎ ‎∵x∈(0,1),‎ ‎∴a>0,‎ ‎∴0<x,‎ ‎∴a ‎∵2,‎ ‎∴0<a≤2,‎ 故a的取值范围为(0,2].‎ ‎6.【2018年新课标3文科23】设函数f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.‎ ‎(1)画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)当x时,f(x)=﹣(2x+1)﹣(x﹣1)=﹣3x,‎ 当x<1,f(x)=(2x+1)﹣(x﹣1)=x+2,‎ 当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x﹣1)=3x,‎ 则f(x)对应的图象为:‎ 画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,‎ 当x=0时,f(0)=2≤0•a+b,∴b≥2,‎ 当x>0时,要使f(x)≤ax+b恒成立,‎ 则函数f(x)的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上,‎ ‎∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,‎ 且各部分直线的斜率的最大值为3,‎ 故当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,‎ 即a+b的最小值为5.‎ ‎7.【2017年新课标2文科23】已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ ‎【解答】证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥()2=(a3+b3)2≥4,‎ 当且仅当,即a=b=1时取等号,‎ ‎(2)∵a3+b3=2,‎ ‎∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,‎ ‎∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,‎ ‎∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,‎ ‎∴ab,‎ 由均值不等式可得:ab≤()2,‎ ‎∴(a+b)3﹣2,‎ ‎∴(a+b)3≤2,‎ ‎∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.‎ ‎8.【2017年新课标1文科23】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x的二次函数,‎ g(x)=|x+1|+|x﹣1|,‎ 当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,];‎ 当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.‎ 当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.‎ 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,];‎ ‎(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣‎ ‎1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1,‎ 故a的取值范围是[﹣1,1].‎ ‎9.【2017年新课标3文科23】已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,f(x)≥1,‎ ‎∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;‎ 当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;‎ 综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,‎ 即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.‎ 由(1)知,g(x),‎ 当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x1,‎ ‎∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;‎ 当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x∈(﹣1,2),‎ ‎∴g(x)≤g()1;‎ 当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x2,‎ ‎∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;‎ 综上,g(x)max,‎ ‎∴m的取值范围为(﹣∞,].‎ 绝对值不等式的解法和不等式的证明 是考查的重点,解题时常用到分类讨论解绝对值不等式,利用均值不等式、柯西不等式证明不等式,考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力,题型以解答题为主,中等难度.‎ ‎ 1.已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若时不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2)空集.‎ ‎【解析】‎ 解:(1)不等式,即.‎ 可得,或或,‎ 解得或,所以不等式的解集为.‎ ‎(2)当时,,所以,‎ 由得,即,‎ 则,该不等式无解,‎ 所以实数的取值范围是空集(或者).‎ ‎2.已知.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设、、为正实数,且,求证:.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎(1)①时,,‎ 由,∴,∴,即,‎ ‎②时,,由,∴,∴,即,‎ ‎③时,,由,∴,∴,可知无解,‎ 综上,不等式的解集为;‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴,且为正实数 ‎∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 又为正实数,∴可以解得.‎ ‎3.[选修4—5:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(1)当,求不等式的解集;‎ ‎(2)对于任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,为:‎ 当时,不等式为:,解得:,无解 当时,不等式为:,解得:,此时 当时,不等式为:,解得:,此时 综上所述,不等式的解集为 ‎(2)对于任意实数,,不等式恒成立等价于 因为,当且仅当时等号成立 所以 因为时,,‎ 函数单调递增区间为,单调递减区间为 当时,‎ ‎,又,解得:‎ 实数的取值范围 ‎4.选修4-5不等式选讲 ‎ 已知关于的不等式的解集为,其中.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若正数,,满足,求证:.‎ ‎【答案】(1)(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎(1)由题意知:‎ 即或 化简得:或 ‎ 不等式组的解集为 ‎,解得:‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 由基本不等式有:,,‎ 三式相加可得:‎ ‎,即:‎ ‎5.选修4-5:不等式选讲 已知函数 ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若存在满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,,‎ 当时,不等式等价于,解得,;‎ 当时,不等式等价于,解得,;‎ 当时,不等式等价于,解得,.‎ 综上所述,原不等式的解集为.‎ ‎(2)由,得,‎ 而,‎ ‎(当且仅当时等号成立)‎ 由题可知,即,‎ 解得实数的取值范围是.‎ ‎6.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若时,不等式成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(I);(II)‎ ‎【解析】‎ ‎(I)当时,原不等式即,即.‎ 当时,,解得,∴;‎ 当时,,无解;‎ 当时,,解得,∴;‎ 综上,原不等式的解集为 ‎(II)由得(*)‎ 当时,(*)等价于 ‎ 即,所以恒成立,所以 ‎ 当时,(*)等价于 ‎ 即,所以恒成立,所以 ‎ 综上,的取值范围是 ‎7.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)设,且当,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,不等式化为:‎ 当时,不等式化为,解得:‎ 当时,不等式化为,解得:‎ 当时,不等式化为,解得:‎ 综上,原不等式的解集为 ‎(2)由,得,‎ 又 则 不等式化为:‎ 得对都成立 ,解得:‎ 又,故的取值范围是 ‎8.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数的定义域为,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I)(II)‎ ‎【解析】‎ 解:(I)由已知不等式,得,‎ 当时,不等式为,解得,所以;‎ 当时,不等式为,解得,所以;‎ 当时,不等式为,解得,此时无解.‎ 综上:不等式的解集为.‎ ‎(II)若的定义域为,则恒成立.‎ ‎∵,当且仅当时取等号.‎ ‎∴,即.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎9.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解关于的不等式;‎ ‎(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 解:(I)当时,不等式为:,解得,故.‎ 当时,不等式为:,解得,故1<x<3,‎ 当时,不等式为:,解得,故.‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(II)由恒成立可得恒成立.‎ 又,故在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎∴,解得.‎ 即的最值范围是.‎ ‎10.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解不等式;‎ ‎(Ⅱ)记函数的最小值为,若均为正实数,且,求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题意, ,‎ 所以等价于或或.‎ 解得:或,所以不等式的解集为;‎ ‎(Ⅱ)由(1)可知,当时, 取得最小值, ‎ 所以,即,‎ 由柯西不等式得,‎ 整理得,‎ 当且仅当时, 即时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎11.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求时,的解集;‎ ‎(Ⅱ)若有最小值,求的取值范围,并写出相应的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);‎ ‎(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)当时,‎ ‎∵‎ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集.‎ ‎(Ⅱ)‎ 当,即时,无最小值;‎ 当,即时,有最小值;‎ 当且,即时, ‎ 当且,即时, ‎ 综上:当时,无最小值;‎ 当时,有最小值;‎ 当时, ;‎ 当时, ;‎ ‎12.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设集合满足:当且仅当时,,若,求证:‎ ‎.‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(1) ‎ 当 时, ,得 ,故; ‎ 当 时, ,得 ,故;‎ 当 时, ,得 ,故;‎ 综上,不等式的解集为 ‎ ‎(2)由绝对值不等式的性质可知 等价于,当且仅当,‎ 即 时等号成立,故 所以,‎ 所以,‎ 即.‎ ‎13.[选修4—5:不等式选讲]‎ ‎ 已知函数 ‎(1)若,求不等式的解集.‎ ‎(2)对任意的,有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1),‎ 所以 解之得不等式的解集为.‎ ‎(2)‎ 当时,由题得2必须在‎3m+1的右边或者与‎3m+1重合,‎ 所以,所以,‎ 当时,不等式恒成立,‎ 当时,由题得2必须在‎3m+1的左边或者与‎3m+1重合,‎ 由题得,所以m没有解.‎ 综上,.‎ ‎14.已知.‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)若,记的最小值为,解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1).当且仅当,等号成立 ‎(2)∵,当且仅当a=b=c等号成立 由不等式即. ‎ 由得:不等式的解集为.‎ ‎15.选修4—5:不等式选讲 已知函数,。‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,.‎ ‎①当时,原不等式可化为,‎ 化简得,解得,∴;‎ ‎②当时,原不等式可化为,‎ 化简得,解得,∴;‎ ‎③当时,原不等式可化为,‎ 化简得,解得,∴;‎ 综上所述,不等式的解集是;‎ ‎(2)由题意知,对任意的,恒成立,‎ 即对任意的,恒成立,‎ ‎∵当时,,‎ ‎∴对任意的,恒成立,‎ ‎∵,,∴,‎ ‎∴,即实数的取值范围为.‎
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