数学理·福建省宁化一中2017届高三8月阶段考试数学理试题+Word版含解析

数学理·福建省宁化一中2017届高三8月阶段考试数学理试题+Word版含解析

宁化一中2017届高三上学期8月份阶段考试 理科数学A卷 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数 的共轭复数为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.下列说法正确的是 ( )‎ A.“，方程有正实根”的否定为“，方程有负实根”‎ B.命题“，若，则”的逆否命题是“，若且，则”‎ C.命题：若回归方程为，则与负相关；命题：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题为真命题 D.若，则成立的一个充分不必要条件是 ‎4．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，） D．（3，4）‎ ‎6．函数，（），若 ‎ A. B. C . D. ‎ ‎7. 已知函数，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是 ( ) ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎8．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.‎ 每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，‎ 甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.则甲获第一名 且丙获第二名的概率；（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B. 若,则 C. 若则 D. 若则 ‎10. 如图，面积为的平行四边形，对角线,与交于点,某指数函数且经过点,则（ ）‎ A． B. C.2 D.3‎ ‎11 .已知函数，的图象分别与直线交于 两点，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知定义在R内的函数满足，当时，则当时，方程的不等实数根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知集合则 .‎ ‎ 14.某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有 。（用数字作答）‎ ‎15.已知函数的图象与直线以及轴所围成的图形的面积为，若， 则 (用数字作答)．‎ ‎16.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知的展开式中各项的系数之和为．‎ ‎（1）求的展开式中含有的项的系数．‎ ‎（2）求展开式中的常数项．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知命题函数，若时，则恒成立。‎ ‎（1）当命题为真命题时，求实数的取值集合；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，当集合为整数集）时，求集合的子集的个数。‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某学校为了对教师教学水平和教师管理水平记性评价，从该校学生中选出300人进行统计，其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平给出好评的有120人.‎ ‎（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 ‎ 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 ‎ ‎ ‎ 问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师的教学水平好评与教师管理水平好评有关?‎ ‎ （2）若将偏离视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X：‎ ‎ ①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数计算式表示）；‎ ‎②求X的数学期望和方差.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数 在区间上有最大值和最小值.设 （1） 求、的值；‎ （2） 若不等式在上有解，求实数的取值范围；‎ （3） 若有三个不同的实数解，求实数的取值范围。‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数，其中是自然对数的底数 ‎（1）求证：函数存在极小值；‎ ‎（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：。‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.‎ ‎（I）求实数和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求的值；‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．‎ ‎2016-2017学年福建省三明市宁化一中高三（上）8月段考数学试卷（理科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2016秋•福建校级月考）复数z=+i5的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解∵z=+i5=，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012秋•十堰期末）在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1）‎ ‎【考点】映射．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据已知中映射f：A→B的对应法则，f：（x，y）→（x﹣y，x+y），将A中元素（﹣1，2）代入对应法则，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），‎ 故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）‎ 即（﹣3，1）‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是映射的概念，属基础题型，熟练掌握映射的定义，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•衡水模拟）下列说法正确的是（　　）‎ A．“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实数”‎ B．命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0，且b≠0，则a2+b2≠0”‎ C．命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3，则命题p∨q为真命题 D．若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0没有正实根”，故A不正确；‎ 命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，故B不正确；‎ 命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关，是假命题；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2.5，是假命题，则命题p∨q为假命题，故C不正确；‎ 若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立可得t2﹣1+2t=2，∴t=1或3，∴P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1，故D正确．‎ 故选D ‎【点评】本题考查命题的否定、逆否命题、复合命题的真假判断，考查正态分布，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016秋•福建校级月考）设a∈{﹣1，1，，}，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】分别根据幂函数的想结合定义域和奇偶性进行排除判断即可．‎ ‎【解答】解：当a=﹣1时函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足条件．定义域是R，‎ 当a=1时函数y=x的定义域为R，是奇函数，满足条件．‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R，函数是奇函数，满足条件．，‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R，函数为偶函数，不满足条件 故满足条件的a=1或，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和定义域的性质分别进行判断是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•南阳校级三模）函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）‎ ‎【考点】二分法求方程的近似解．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】分别求出f（1），f（2）的值，从而求出函数的零点所在的范围．‎ ‎【解答】解：∵f（1）=﹣3＜0，f（2）=﹣=2﹣＞0，‎ ‎∴函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．函数，（a，b∈R），（　　）‎ A．﹣2016 B．2016 C．2018 D．﹣2018‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】令g（x）=，得到g（x）是奇函数，求出g（lg）的值，从而求出g（2017）的值，求出f（lg2017）的值即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=asinx+b，则g（﹣x）=﹣g（x），x∈R，g（x）是奇函数，‎ ‎∴g（lg）=2016+1=2017，‎ ‎∴g（lg2017）=﹣g（lg）=﹣2017，‎ ‎∴f（lg2017）=﹣2017﹣1=﹣2018，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数求值问题，考查函数的奇偶性，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016秋•福建校级月考）已知函数f（x）=，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是（　　）‎ A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】画出分段函数的图象，结合给出的函数图象可得对应的解析式．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，‎ 则 对应的函数解析式为y=f（﹣|x|）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象，考查了函数的图象变换，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016秋•福建校级月考）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．则甲获第一名且丙获第二名的概率；（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙，由此能求出甲获第一名且丙获第二名的概率．‎ ‎【解答】解：设事件A表示“甲胜乙”，事件B表示“甲胜丙”，事件C表示“乙胜丙”，‎ 甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙，‎ ‎∴甲获第一名且丙获第二名的概率：‎ p=P（AB）=P（A）P（B）P（）‎ ‎==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•上海模拟）关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（　　）‎ A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n） B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）‎ C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3‎ ‎【考点】指数函数单调性的应用．‎ ‎【专题】综合题；探究型．‎ ‎【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项 ‎【解答】解：∵‎ ‎∴函数是一个偶函数 又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数 由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立 考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立 综上知，C选项是正确的 故选C ‎【点评】‎ 本题是一个指数函数单调性的应用题，利用其单调性比较大小，解答本题的关键是观察出函数是一个偶函数，且能判断出函数在定义域上的单调性，最关键的是能由函数图象的对称性，单调性转化出自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立这个结论，本题考查了判断推理能力，归纳总结能力，是函数单调性与奇偶性综合中综合性较强的题，解题中能及时归纳总结可以顺利求解此类题 ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•宜昌一模）如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=ax（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】首先设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），又因为2at=a2t，所以at=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入at=2，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），‎ 又因为2at=a2t，‎ 所以at=2；‎ 因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=at×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8‎ 所以4t=8，t=2，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•商丘二模）已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+ln2 C．e2 D．2e﹣ln ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【专题】综合题；导数的综合应用．‎ ‎【分析】由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，‎ ‎∴|AB|=2﹣lnm，‎ 令y=﹣lnx（x＞0），则y′=﹣，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，‎ ‎∴y=﹣lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x=时，|AB|min=2+ln2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•衡水模拟）已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】计算题；作图题；数形结合；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，‎ 作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，‎ ‎，‎ 结合图象可知，‎ 函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，‎ 故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（2016秋•福建校级月考）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=　（0，2]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，‎ 解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]，‎ 由B中y=2x＞0，得到B=（0，+∞），‎ 则A∩B=（0，2]，‎ 故答案为：（0，2]‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•冀州市校级模拟）某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有　36　．（用数字作答）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合．‎ ‎【分析】分类讨论：①甲公司要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲公司要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲公司要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；‎ 再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．‎ 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．‎ ‎②甲公司要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有3种，‎ 共3×2×3=18种分配方案．‎ 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，‎ 故答案为：36．‎ ‎【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016秋•福建校级月考）已知函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，则a8=　180　（用数字作答）．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；二项式定理．‎ ‎【分析】根据定积分的意义和求法求得m=2，再根据x10=[﹣2+（2﹣x）]10，利用二项式定理可得a8的值．‎ ‎【解答】解：函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为m==﹣sinx=2，‎ 若x10=[﹣2+（2﹣x）]10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10 =a0+a1（2﹣x）+a2（2﹣x）2+…+a10（2﹣x）10，‎ 令则a8=•（﹣2）2=180，‎ 故答案为：180．‎ ‎【点评】本题主要考查定积分的意义和求法，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2015•石家庄一模）设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　[﹣1，2]　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．‎ ‎【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．‎ ‎【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，‎ ‎∵ex+1＞1，∴∈（0，1），‎ 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，‎ 又﹣2sinx∈[﹣2，2]，‎ ‎∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，‎ 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，‎ 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，‎ 则，解得﹣1≤a≤2．‎ 即a的取值范围为﹣1≤a≤2．‎ 故答案为：[﹣1，2]．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016秋•福建校级月考）已知（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．‎ ‎（1）求（3x﹣）n的展开式中含有x的项的系数．‎ ‎（2）求（x+）•（3x﹣）n展开式中的常数项．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．‎ ‎【分析】（1）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．可得2n=32，解得n=5．令x=1，即可得出展开式中各项系数和．‎ ‎（2）由（1）知，（x+）•（3x﹣）n=，要求展开式的常数项，只需求展开式中含x与的项．利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．∴2n=32，解得n=5．‎ 令x=1，则展开式中各项系数和为25=32．‎ ‎（2）由（1）知，（x+）•（3x﹣）n=，‎ 要求展开式的常数项，只需求展开式中含x与的项．‎ 由通项公式得：Tr+1=（3x）5﹣r=（﹣1）r35﹣rx5﹣2r，‎ 令5﹣2r=±1，得r=2或r=3．‎ 所以该展开式中的常数项为：﹣×32=180．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•福建校级月考）已知命题P：函数f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，则f（x）≥2恒成立．‎ ‎（1）当命题P为真命题时，求实数a的取值集合M；‎ ‎（2）当集合E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）时，求集合E的子集的个数．‎ ‎【考点】交集及其运算；复合命题的真假．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】（1）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥2恒成立，即x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2，2]上恒成立，分两种情况：若根的判别式小于等于0时满足题意；根的判别式大于0时，可得f（2）与f（﹣2）都大于等于0，且对称轴大于等于2或小于等于﹣2，求出a的范围即可确定出M；‎ ‎（2）求出M与整数集的交集确定出E，求出E子集个数即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+3﹣a，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥2恒成立，‎ ‎∴x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2，2]上恒成立，‎ ‎∵△=a2﹣4（1﹣a）≤0，‎ ‎∴﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，‎ 或，‎ 解得：﹣5≤a＜﹣2﹣2，‎ 则M={a|﹣5≤a≤2﹣2}；‎ ‎（2）由（1）得：M={a|﹣5≤a≤2﹣2}，‎ ‎∴E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0}，‎ 则集合E的子集个数为26=64．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•山西模拟）某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．‎ ‎（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、‎ ‎（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；‎ ‎①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，计算K2，验证K2是否大于10.828，即可得出结论；‎ ‎（2）①分别求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；‎ ‎②由于X～B（4，），即可计算数学期望和方差．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 ‎120‎ ‎60‎ ‎180‎ 对教师教学水平不满意 ‎105‎ ‎15‎ ‎120‎ 合计 ‎225‎ ‎75‎ ‎300‎ ‎…2分 ‎ ‎，‎ ‎∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关； …5分 ‎（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，…8分 ‎ X 的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎…10分 ‎②由于X～B（4，），则，． …12分 ‎【点评】本题考查了独立性检验的应用，随机变量的分布列和数学期望，正确求出概率是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015秋•太原校级期末）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．‎ ‎（2）不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x，故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．‎ ‎（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，‎ 因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，‎ 故，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，‎ 所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x，‎ 可化为 1+（）2﹣2•≥k，令t=，则 k≤t2﹣2t+1．‎ 因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．‎ 记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0，‎ 所以k的取值范围是（﹣∞，0]． ‎ ‎（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：‎ ‎|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，‎ 令|2x﹣1|=t，则方程化为 t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），‎ ‎∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，‎ ‎∴由t=|2x﹣1|的图象知，‎ t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，‎ 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．‎ 记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），‎ 则，或 ‎∴k＞0．‎ ‎【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•福建校级月考）设函数f（x）=ex﹣lnx﹣1，其中e是自然对数的底数 ‎（1）求证：函数f（x）存在极小值；‎ ‎（2）若∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】证明题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）求出（x＞0），从而＞0，进而函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，由此利用导数性质能证明函数f（x）存在极小值．‎ ‎（2）∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥ex﹣xlnx成立，令h（x）=ex﹣xlnx，x∈[，+∞），则h′（x）=ex﹣lnx﹣1=f（x），由此利用导性质能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】证明：（1）∵f（x）=ex﹣lnx﹣1，∴（x＞0），‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，…（2分）‎ ‎∵f=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，且函数f′（x）图象在（0，+∞）上不间断，‎ ‎∴∃x0∈（），使得f′（x0）=0，…（3分）‎ 结合函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，有：‎ x ‎（0，x0）‎ ‎（x0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎∴函数f（x）存在极小值f（x0）．‎ ‎（没体现单调区间扣1分） …（5分）‎ 解：（2）∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，‎ 等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥ex﹣xlnx成立（*） …（6分）‎ 令h（x）=ex﹣xlnx，x∈[，+∞），‎ 则h′（x）=ex﹣lnx﹣1=f（x），‎ ‎∴结合（1）得：[h′（x）]min=，…（8分）‎ 其中，满足f′（x0）=0，即=0，‎ ‎∴，x0=﹣lnx0，‎ ‎∴[h′（x）]min=﹣lnx0﹣1=＞2﹣1=1＞0，…（10分）‎ ‎∴x∈[），h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在[）内单调递增，…（11分）‎ ‎∴[h（x）]min=h（）=﹣=+，‎ 结合（*）有，‎ 即实数m的取值范围为[，+∞）． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数存在最小值的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2016•厦门模拟）如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．‎ ‎（1）求证：AC•CD=AF•PC；‎ ‎（2）求证：DC平分∠ADE．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】（1）证明△AFC∽△CDP，即可证明AC•CD=AF•PC；‎ ‎（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，证明，△BDG≌△CDE，可得∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，即可证明：DC平分∠ADE．‎ ‎【解答】证明：（1）由PC为圆O切线，知∠CAF=∠DCP，（1分）‎ ‎∵PB，PC是圆O的切线，D为BC中点，‎ ‎∴O，D，P三点共线，且OP⊥BC，（2分）‎ ‎∴∠AFC=∠CDP=90°，△AFC∽△CDP，（3分）‎ ‎∴，即AC•CD=AF•CP．（4分）‎ ‎（2）∵CF⊥AB，D为BC中点，‎ ‎∴，∠DFB=∠DBF，（5分）‎ ‎∴，于是，（6分）‎ 又∵∠AFD=180°﹣∠DFB=180°﹣∠ABC=∠ACP，‎ ‎∴△AFD∽△ACP，（7分）‎ 延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，‎ 由△AFD∽△ACP，知∠DAF=∠PAC，‎ ‎∴BG=EC，∠CBG=∠BCE，（8分）‎ 又D为BC中点，DB=DC，∴△BDG≌△CDE，（9分）‎ ‎∴∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，‎ ‎∴DC平分∠ADE．（10分）‎ ‎【点评】本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．（2016秋•福建校级月考）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎（I）求实数m和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（I）曲线C：=1，左焦点为F（﹣2，0），代入直线l得m；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0，即可求+的值．‎ ‎【解答】解：（I） 因为曲线C：=1，左焦点为F（﹣2，0），代入直线l得m=﹣2；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0，‎ 则+===．‎ ‎【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，考查参数几何意义的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•漳平市校级模拟）已知函数f（x）=|2x﹣1|．‎ ‎（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；不等式．‎ ‎【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．‎ ‎（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+ 恒成立，再利用基本不等式求得2y+ 的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），‎ 即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．‎ 由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，‎ 求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，‎ 故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），‎ 故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，‎ ‎∴m=．‎ ‎（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，‎ ‎∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，‎ 即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+ 恒成立，‎ 故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．‎ ‎∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，‎ ‎∴4≤2y+ 恒成立，‎ ‎∵2y+≥2，‎ ‎∴2≥4，‎ ‎∴a≥4，‎ 故实数a的最小值为4．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎