（文理通用）2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题8 选考系列 第2讲 不等式选讲练习
第一部分 专题八 第二讲 不等式选讲
A组
1．已知函数f(x)＝|x－2|－|2x－a|，a∈R.
(1)当a＝3时，解不等式f(x)>0；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)<0，求a的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝
当x>2时，1－x>0，即x<1，此时无解；
当≤x≤2时，5－3x>0，即x<，解得≤x<；
当x<时，x－1>0，即x>1，解得1
恒成立．
∵x∈(－∞，2)，∴a－2≥2，∴a≥4.
2．(2018·南宁二模)设实数x，y满足x＋＝1.
(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围．
(2)若x>0，y>0，求证：≥xy.
[解析] (1)根据题意，x＋＝1，
则4x＋y＝4，即y＝4－4x，
则由|7－y|<2x＋3，可得|4x＋3|<2x＋3，
即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3，
解得－10，y>0，
1＝x＋≥2＝，
即≤1，
－xy＝(1－)，
又由0<≤1，
则－xy＝(1－)≥0，
即≥xy.
3．(2018·西安二模)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)．
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(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域．
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．
[解析] (1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|>7；
①当x>2时，得x＋1＋x－2>7，解得x>4；
②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x>7，无解；
③当x<－1时，得－x－1－x＋2>7，解得x<－3；
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8；
因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3；
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8解集是R；
所以a＋8≤3，即a≤－5.
所以a的最大值为－5.
4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若关于x的不等式f(x)≥ax＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
[解析] (1)由于f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|
＝
则函数y＝f(x)的图象如图所示．
(2)当x＝2时，f(2)＝3.
当直线y＝ax＋1过点(2,3)时，a＝1.
由函数y＝f(x)与函数y＝ax＋1的图象知，
当且仅当－3≤a≤1时，函数y＝f(x)的图象没有在函数y＝ax＋1的图象的下方，
因此f(x)≥ax＋1恒成立时，a的取值范围为[－3，1]．
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B组
1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
(1)解不等式f(x)>0；
(2)已知关于x的不等式a＋30化为
或或
∴x<－4或x>，
即不等式的解集为(－∞，－4)∪(，＋∞)．
(2)∵f(x)min＝－，∴要使a＋34；
(2)若∃x∈R，使得不等式|x－3|＋|x－a|<4成立，求实数a的取值范围．
[分析] (1)按x＝0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义求解．
(2)∃x∈R，使不等式f(x)<4成立，即f(x)的最小值小于4.
[解析] (1)由a＝0知原不等式为|x－3|＋|x|>4
当x≥3时，2x－3>4，解得x>.
当0≤x<3时，3>4，无解．
当x<0时，－2x＋3>4，解得x<－.
故解集为{x|x<－或x>}．
(2)由∃x∈R，|x－3|＋|x－a|<4成立可得，(|x－3|＋|x－a|)min<4.
又|x－3|＋|x－a|≥|x－3－(x－a)|＝|a－3|，
即(|x－3|＋|x－a|)min＝|a－3|<4.
解得－1－，所以－－2，所以0－1的解集为M.
(1)求M；
(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与的大小．
[解析] (1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝
由f(x)>－1，得
或或
解得00，
所以a2－a＋1>.
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综上所述：当0.
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