2021高考数学大一轮复习考点规范练66不等式选讲理新人教A版
考点规范练66 不等式选讲
考点规范练B册第50页
基础巩固
1.(2019宁夏石嘴山三中高三一模)已知函数f(x)=|x-a|+2|x-1|.
(1)当a=2时,求关于x的不等式f(x)>5的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)-|x-1|≤|a-2|有解,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+2|x-1|>5,
若x≤1,则-3x+4>5,即x<-13;
若1
5,舍去;
若x≥2,则3x-4>5,即x>3.
综上,不等式的解集为-∞,-13∪(3,+∞).
(2)∵f(x)-|x-1|=|x-a|+|x-1|≥|1-a|当且仅当(x-a)(x-1)≤0时等号成立,
∴题意等价于|1-a|≤|a-2|,∴a≤32,
∴a的取值范围为-∞,32.
2.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集为xx>12.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为x02.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.
故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
5.(2019广西桂林高三一模)已知函数f(x)=x-12+x+12,M是不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
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(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
(1)解f(x)=-2x,x≤-12,1,-120,y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形面积为S,求S的最小值.
解:(1)因为|ax+1|+|ax-1|≥|(ax+1)-(ax-1)|=2,
等号当且仅当(ax+1)(ax-1)≤0时成立,
所以f(x)的最小值为2-2a-4=-2a-2.
依题意可得-2a-2≥0,所以a≤-1.
(2)因为a>0,f(x)=|ax+1|+|ax-1|-2a-4,
f(x)=-2ax-2a-4,x≤-1a,-2a-2,-1a5;
(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.
解:(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x<-1,3-x,-1≤x≤1,3x-1,x>1.
由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,
得f(x)>5的解集为xx<-43,或x>2.
(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥|x+1||x-1|+|x+3|.
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得|x+1||x-1|+|x+3|≤12,
即a≥12(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).
故a的最小值为12.
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