2018年河南省郑州市高考一模数学文

2018年河南省郑州市高考一模数学文

2018 年河南省郑州市高考一模数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 3 i i  (i 为虚数单位)等于( ) A.-1-3i B.-1+3i C.1-3i D.1+3i 解析：       33 13 iii ii ii         . 答案：A 2.设集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若 A∩B=A，则 a 的取值范围是( ) A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2} 解析：∵A∩B=A， ∴A⊆B. ∵集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}， ∴a≥2 答案：D 3.设向量 a =(1，m)，b =(m-1，2)，且 ab ，若 a b a，则实数 m=( ) A.2 B.1 C. 1 3 D. 1 2 解析：∵ ， ∴ a b a=0， 即 2 a b a=0， 即 1+m2-(m-1+2m)=0， 即 m2-3m+2=0， 得 m=1 或 m=2， 当 m=1 时，量 =(1，1)， =(0，2)，满足 ， 当 m=2 时，量 a =(1，2)，b =(1，2)，不满足 ab ，综上 m=1. 答案：B 4.下列说法正确的是( ) A.“若 a＞1，则 a2＞1”的否命题是“若 a＞1，则 a2≤1” B.“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题为真命题 C.∃x0∈(0，+∞)，使 3x0＞4x0 成立 D.“若 1sin 2  ，则 6   ”是真命题 解析：“若 a＞1，则 a2＞1”的否命题是“若 a≤1，则 a2≤1”，故 A 错； “若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题为假命题，比如 m=0，若 a＜b，则 am2=bm2，故 B 错； 对任意 x＞0，均有 3x＜4x 成立，故 C 错； 对若 ，则 ”的逆否命题是“若α = 6  ，则 sinα = 1 2 ”为真命题， 则 D 正确. 答案：D 5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠 对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图 所示，则输出结果 n=( ) A.4 B.5 C.2 D.3 解析：模拟执行程序，可得 a=1，A=1，S=0，n=1 S=2 不满足条件 S≥10，执行循环体，n=2，a= 1 2 ，A=2，S= 9 2 不满足条件 S≥10，执行循环体，n=3，a= 1 4 ，A=4，S= 35 4 不满足条件 S≥10，执行循环体，n=4，a= 1 8 ，A=8，S= 135 8 满足条件 S≥10，退出循环，输出 n 的值为 4. 答案：A 6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( ) A.10cm3 B.20cm3 C.30cm3 D.40cm3 解析：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图： 棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4， ∴几何体的体积 1 1 13 4 5 3 4 5 202 3 2V           (cm3). 答案：B 7.若将函数 f(x)=  1 sin 223x  图象上的每一个点都向左平移 3  个单位，得到 g(x)的图 象，则函数 g(x)的单调递增区间为( ) A.[ 44kk， ](k∈Z) B.[ 3 44kk， ](k∈Z) C.[ 2 36kk， ](k∈Z) D.[ 5 12 12kk， ](k∈Z) 解析：将函数 f(x)=  1 sin 223x  图象上的每一个点都向左平移 3  个单位，得到 g(x)= 11sin 2 sin 22 3 3 2[]xx   （ ） 的图象， 故本题即求 y=sin2x 的减区间，令 32 2 222k x k    ，求得 3 44k x k    ， 故函数 g(x)的单调递增区间为[ 3 44kk， ]，k∈Z. 答案：B 8. 已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1=1 ， a2=2 ，且 an+2-2an+1+an=0(n ∈ N*) ，记 12 1 1 1 n n T S S S     (n∈N*)，则 T2018=( ) A. 4034 2018 B. 2017 2018 C. 4036 2019 D. 2018 2019 解析：数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，a2=2，且 an+2-2an+1+an=0(n∈N*)， 则：数列为等差数列. 设公差为 d，则：d=a2-a1=2-1=1， 则：an=1+n-1=n. 故：  1 12 2n nn Sn     ＝ ＝ ， 则：  1 1 12 1nS n n ＝ ， 所以： 12 1 1 1 n n T S S S   ＝ =  1 1 1 1 1212 2 3 1nn         =  121 1n = 2 1 n n  . 所以： 2018 2 2018 4036 2018 1 2019T   ＝ ＝ . 答案：C 9.已知函数   0 20 xe a x fx x a x     ， ＝ ， ＞ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取 值范围是( ) A.(0，1] B.[1，+∞) C.(0，1) D.(-∞，1] 解析：当 x≤0 时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)=1-a， 当 x＞0 时，f(x)单调递增，且 f(x)＞-a. ∵f(x)在 R 上有两个零点， ∴ 10 0 a a   ＜ ，解得 0＜a≤1. 答案：A 10.已知椭圆 C： 22 221yx ab  ＝ (a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( ) A. 3 2 B. 35 2  C. 15 2  D. 31 2  解析：由直线 AB 的方程为 1yx ab ＝ ，整理得：bx-ay+ab=0， 由题意可知：直线 AB 与圆 O：x2+y2=c2 相切， 可得 22 abdc ab   ，两边平方，整理得：c4+3c2c2-a4=0，两边同时除以 a4，由 2 2 2 ce a  ， e4-3e2+1=0， ∴ 2 35 2e  ，又椭圆的离心率 e∈(0，1)，∴e2= . 椭圆的离心率的平方 . 答案：B 11.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河 南初赛)，他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等 比数列，则 14 ab 的最小值为( ) A. 4 9 B.2 C. 9 4 D.9 解析：甲班学生成绩的中位数是 80+x=81，得 x=1； 由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)=598+y， 乙班学生的平均分是 86，且总分为 86×7=602，所以 y=4， 若正实数 a、b 满足：a，G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列， 则 xy=G2，2G=a+b，即有 a+b=4，a＞0，b＞0， 则      1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 91 4 5 2 94 4 4 4 4 b a b aaba b a b a b a b               ， 当且仅当 b=2a= 8 3 时，1a+4b 的最小值为 9 4 . 答案：C 12.若对于任意的正实数 x，y 都有 2 lnyyxx e x me    成立，则实数 m 的取值范围为( ) A.( 1 e ，1) B.( 2 1 e ，1] C.( 2 1 e ，e] D.(0， 1 e ] 解析：根据题意，对于 ，变形可得 12 yyx x lny e x m  ， 即 12 lnyye x x m  ， 设 t= y x ，则(2e-t)lnt≤ 1 m ，t＞0， 设 f(t)=(2e-t)lnt，(t＞0) 则其导数 f′(t)=-lnt+ 2e t -1， 又由 t＞0，则 f′(t)为减函数，且 f′(e)=-lne+ 2e e -1=0， 则当 t∈(0，e)时，f′(t)＞0，f(t)为增函数， 当 t∈(e，+∞)时，f′(t)＜0，f(t)为减函数， 则 f(t)的最大值为 f(e)，且 f(e)=e， 若 f(t)=(2e-t)lnt≤ 恒成立，必有 e≤ ， 解可得 0＜m≤ 1 e ，即 m 的取值范围为(0， 1 e ]. 答案：D 二、填空题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分) 13.设变量 x，y 满足约束条件 1 40 3 4 0 x xy xy          则目标函数 z=4x-y 的最小值为______. 解析：设变量 x，y 满足约束条件 1 40 3 4 0 x xy xy          在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线 4x-y=0 经过点 A(1，3)时，4x-y 最小，最小值为：1， 则目标函数 z=4x-y 的最小值：1. 答案：1 14.如果直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 平行，则 a=______. 解析：∵直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 平行， ∴ 23 3 1 7 aa aa  ＝ ， 解得 a=3. 答案：3 15.已知数列{an}满足 log2an+1＝1+log2an(n∈N*)，且 a1+a2+a3+…+a10=1，则 log2(a101+a102+… +a110)=______. 解析：∵log2an+1＝1+log2an(n∈N*)， ∴log2an+1-log2an=1，即 1 2log 1n n a a  ＝ ， ∴ 1 2n n a a  ＝ . ∴数列{an}是公比 q=2 的等比数列. 则 a101+a102+…+a110=(a1+a2+a3+…+a10)q100=2100， ∴log2(a101+a102+…+a110)=log22100＝100. 答案：100 16.已知双曲线 C： 22 221yx ab － ＝ 的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足 为 M，交另一条渐近线于 N，若 2 FM FN＝ ，则双曲线的渐近线方程为______. 解析：由题意得右焦点 F(c，0)， 设一渐近线 OM 的方程为 byxa ， 则另一渐近线 ON 的方程为 byxa ， 由 FM 的方程为  ay x cb   ， 联立方程 ， 可得 M 的横坐标为 2a c ， 由 FM 的方程为  ay x cb   ，联立方程 ， 可得 N 的横坐标为 2 22 ca ab . 由 ， 可得 22 222 a caccc ab    ， 即为 22 22 2 2 a cacc ac   ， 由 ce a ，可得 22 211 2ee   ， 即有 e4-5e2+4=0，解得 e2=4 或 1(舍去)， 即为 e=2，即 c=2a，b= 3 a， 可得渐近线方程为 y=± 3 x. 答案：y=± 3 x 三、解答题：(本大题共 7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB=2a+b. (1)求角 C； (2)若△ABC 的面积为 3 2Sc＝ ，求 ab 的最小值. 解析：(1)利用正弦定理即可求得 cosC=- 1 2 ，由 C 的取值范围，即可求得 C； (2)根据三角形的面积公式，求得 c= 1 2 ab，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得 ab 的最小值. 答案：：(1)由正弦定理可知： 2sin sin sin a b c RA B C   ，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 由 2ccosB=2a+b，则 2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB， ∴2sinBcosC+sinB=0， 由 0＜B＜π ，sinB≠0，cosC=- ， 0＜C＜π ，则 2 3C  ； (2)由 13sin22S ab C c，则 c= ab， 由 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，∴ 22 22 34 ab a b ab ab    ， 当且仅当 a=b 时取等号， ∴ab≥12， 故 ab 的最小值为 12. 18. 2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体 素质比情况，现抽取了某校 1000 名(男生 800 名，女生 200 名)学生的测试成绩，根据性别 按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析，得到如下统计图表： 男生测试情况： 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 5 10 15 47 x 女生测试情况 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 2 3 10 y 2 (1)现从抽取的 1000 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名 学生恰好是一男一女的概率； (2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生(含病残免试) 为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？ 男性 女性 总计 体育达人 非体育达人 总计 临界值表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：(           2 2 n ad bc K a b c d a c b d      ＝ ，其中 n=a+b+c+d) 解析：(1)按分层抽样计算男生、女生应抽的人数，用列举法计算基本事件数，求出所求的 概率值； (2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论. 答案：(1)按分层抽样男生应抽取 80 名，女生应抽取 20 名； ∴x=80-(5+10+15+47)=3， y=20-(2+3+10+2)=3； 抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为 A，B，C； 两位女生设为 a，b；从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个； 设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A”； 则事件包含的基本事件有 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb 共 6 个； ∴P(A)= 63 10 5 ； (2)填写 2×2 列联表如下： 男生 女生 总计 体育达人 50 5 55 非体育达人 30 15 45 总计 80 20 100 则   2 2 100 50 15 30 5 9.09180 20 55 45K        ； ∵9.091＞6.635 且 P(K2≥6.635)=0.010， ∴在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”. 19.如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，AB=6，BC＝ 23，AC＝ 26，D，E 为 线段 AB 上的点，且 AD=2DB，PD⊥AC. (1)求证：PD⊥平面 ABC； (2)若∠PAB＝ 4  ，求点 B 到平面 PAC 的距离. 解析：(1)连接 CD，推导出 CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明 PD⊥平面 ABC. (2)设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由 VE-PAC=VP-AEC，能求出点 B 到平面 PAC 的距离. 答案：(1)连接 CD，据题知 AD=4，BD=2， ∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC＝ 2 3 3 63 ＝ ， ∴CD2＝4+12−2×2× 23cos∠ABC=8，∴CD= 22， ∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB， 又∵平面 PAB⊥平面 ABC，∴CD⊥平面 PAB，∴CD⊥PD， ∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面 ABC. (2)∵∠PAB＝ 4  ，∴PD=AD=4，∴PA= 42， 在 Rt△PCD 中， 2226PC PD C D   ， ∴△PAC 是等腰三角形，∴S△PAC＝82， 设点 B 到平面 PAC 的距离为 d， 由 VE-PAC=VP-AEC，得 11 33ABCS PAC d S PD＝ ， ∴ 3ABC PAC S PDd S ， 故点 B 到平面 PAC 的距离为 3. 20.已知圆 C：x2+y2+2x-2y+1=0 和抛物线 E：y2=2px(p＞0)，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 17 . (1)求抛物线 E 的方程； (2)不过原点的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且满足 OA⊥OB.设点 M 为圆 C 上任意一动点， 求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程. 解析：(1)直接利用定义求出抛物线的方程. (2)利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系 建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程. 答案：(1)圆 C：x2+y2+2x-2y+1=0 可化为(x+1)2+(y-1)2=1， 则圆心为(-1，1). 抛物线 E：y2=2px(p＞0)，焦点坐标 F( 2 p ，0)， 由于：圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 . 则： 2 1 1 172 p  ＝ ， 解得：p=6. 故抛物线的方程为：y2=12x (2)设直线的方程为 x=my+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则： 2 12yx x m y t    ＝ ＝ ， 整理得：y2-12my-12t=0， 所以：y1+y2=12m，y1y2=-12t. 由于：OA⊥OB. 则：x1x2+y1y2=0. 即：(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0. 整理得：t2-12t=0， 由于 t≠0， 解得 t=12. 故直线的方程为 x=my+12， 直线经过定点(12，0). 当 CN⊥l 时，即动点 M 经过圆心 C(-1，1)时到直线的距离取最大值. 当 CP⊥l 时，即动点 M 经过圆心 C(-1，1)时到动直线 L 的距离取得最大值. 1 13M P CPkk   ， 则： 1 13m  . 此时直线的方程为： 1 1213xy， 即：13x-y-156=0. 21.已知函数 f(x)=lnx-a(x+1)，a∈R 在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若存在 x0＞1，当 x∈(1，x0)时，恒有     2 12122 xf x x k x   ＞ 成立，求 k 的取值 范围. 解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为可化为   2 1ln 122 xx x k x   ＞ ，令     2 1ln 122 xg x x x k x      ， (x＞1)，通过讨论 k 的范围，求出函数的单调区间，从而确定 k 的范围即可. 答案：(1)由已知可得 f(x)的定义域为(0，+∞)， ∵f′(x)= 1 x -a，∴f′(1)=1-a=0，解得：a=1， ∴f′(x)=1 x x  ， 令 f′(x)＞0，解得：0＜x＜1，令 f′(x)＜0，解得：x＞1， 故 f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减； (1)不等式 可化为 ， 令 ，(x＞1)，    2 11x k x gx x      ， ∵x＞1，令 h(x)=-x2+(1-k)x+1， h(x)的对称轴是 x=1 2 k ， ①当1 2 k ≤1 时，即 k≥-1， 易知 h(x)在(1，x0)上递减， ∴h(x)＜h(1)=1-k， 若 k≥1，则 h(x)≤0， ∴g′(x)≤0， ∴g(x)在(1，x0)递减， ∴g(x)＜g(1)=0，不适合题意. 若-1≤k＜1，则 h(1)＞0， ∴必存在 x0 使得 x∈(1，x0)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(1，x0)递增， ∴g(x)＞g(1)=0 恒成立，适合题意. ②当1 2 k ＞1 时，即 k＜-1， 易知必存在 x0 使得 h(x)在(1，x0)递增， ∴h(x)＞h(1)=1-k＞0， ∴g′(x)＞0，∴g(x)在(1，x0)递增， ∴g(x)＞g(1)=0 恒成立，适合题意. 综上，k 的取值范围是(-∞，1). 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点(1，0)，倾斜角为α ，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是ρ ＝ 2 8 cos 1 cos   . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若 4 ＝ ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求△AOB 的面积. 解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化. (2)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果. 答案：(1)直线 L 的参数方程为： 1 cos sin xt yt      ＝ ＝ (t 为参数). 曲线 C 的极坐标方程是ρ ＝ ， 转化为直角坐标方程为：y2=8x (2)当 时，直线 l 的参数方程为： 21 2 2 2 xt yt      ＝ ＝ (t 为参数)， 代入 y2=8x 得到： 2 8 2 16 0tt＝ .(t1 和 t2 为 A 和 B 的参数)， 所以：t1+t2＝82，t1t2=-16. 所以：|AB|＝|t1−t2|＝83. O 到 AB 的距离为： 21 sin 42d  ＝ . 则： 128 3 2 622AOBS   ＝ . 23.设函数 f(x)=|x+3|，g(x)=|2x-1|. (1)解不等式 f(x)＜g(x)； (2)若 2f(x)+g(x)＞ax+4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围. 解析：(1)两边平方求出不等式的解集即可； (2)设 h(x)=2f(x)+g(x)，通过讨论 x 的范围，分离 a，根据函数的单调性求出 a 的范围即可. 答案：(1)由已知得|x+3|＜|2x-1|， 即|x+3|2＜|2x-1|2， 则有 3x2-10x-8＞0， ∴x＜- 2 3 或 x＞4， 故不等式的解集是(-∞，- 2 3 )∪(4，+∞)； (2)由已知，设 h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1| = 4 5 3 173 2 145 2 xx x xx           ， ， ＜ ＜ ， ， 当 x≤-3 时，只需-4x-5＞ax+4 恒成立， 即 ax＜-4x-9， ∵x≤-3＜0， ∴ 4 9 94xa xx   ＞ 恒成立， ∴  94a maxx＞ ，∴a＞-1， 当-3＜x＜ 1 2 时，只需 7＞ax+4 恒成立， 即 ax-3＜0 恒成立， 只需 3 3 0 1 302 a a      ， ∴ 1 6 a a    ， ∴-1≤a≤6， 当 x≥ 1 2 时，只需 4x+5＞ax+4 恒成立， 即 ax＜4x+1， ∵x≥ 1 2 ＞0，∴ 4 1 14xa xx  ＜ 恒成立， ∵ 144x ＞ ，且无限趋近于 4， ∴a≤4， 综上，a 的取值范围是(-1，4].