2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——07 平面向量（教师版）

2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——07 平面向量（教师版）

专题07 平面向量 ‎1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是 A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得：.‎ A：因为，所以本选项不符合题意；‎ B：因为，所以本选项不符合题意；‎ C：因为，所以本选项不符合题意；‎ D：因为，所以本选项符合题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.‎ ‎2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 ‎【答案】A ‎【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则：，设，可得：，‎ 从而：，‎ 结合题意可得：，‎ 整理可得：，‎ 即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，‎ 的模为2，根据正六边形的特征，‎ 可以得到在方向上的投影的取值范围是，‎ 结合向量数量积的定义式，‎ 可知等于模与在方向上的投影的乘积，‎ 所以的取值范围是，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.‎ ‎4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量，若，则 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由可得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 故答案：5.‎ ‎【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.‎ ‎5．【2020年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，‎ ‎,‎ ‎∵，∴的坐标为,‎ ‎∵又∵,则，设，则（其中），‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以，当时，取得最小值.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6．【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．‎ ‎【答案；‎ ‎【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，‎ 则点、、、，‎ ‎，‎ 则点，，，‎ 因此，，.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎8．【2020年高考江苏】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三点共线，‎ ‎∴可设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 若且，则三点共线，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵,,，‎ ‎∴，‎ 设，，则，.‎ ‎∴根据余弦定理可得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的长度为.‎ 当时， ，重合，此时的长度为，‎ 当时，，重合，此时，不合题意，舍去.‎ 故答案为：0或.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．‎ ‎1．【2020四川省阆中中学高三二模】已知向量，且，则m=‎ A．−8 B．−6‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ 又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎2．【2020宁夏回族自治区高三二模】已知向量满足,且与的夹角为,则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数量积的运算，属于基础题.‎ ‎3．【2020陕西省西安中学高三模拟】已知向量，，若，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟练地利用向量的坐标表示求平行，垂直以及夹角和模长等问题，是基础题．‎ ‎4．【2020河北省高三月考】已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知：，解得：.‎ ‎.‎ 本题正确选项D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎5．【2020湖南省高三月考】如图所示，在中，点在线段上，且，若，则 A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 所以，从而求得，故选B．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.‎ ‎6．【2020·威远中学校高三月考】已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是 A．24 B．8 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由∥得，‎ 因此，当且仅当时取等号，所以选B．‎ ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎7．【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】在中，，，则为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选：D ‎8．【2020届湖南省益阳市高三上学期期末数学】已知向量，，，若，则b在c上的投影为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，得，‎ 所以由，得，‎ 所以b在c上的投影为 ‎.‎ 故选A．‎ ‎9．【2020重庆南开中学高三月考】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是 A． B． ‎ C．且 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，‎ ‎，得.‎ 向量，共线时，，得.此时.‎ 所以且.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.‎ ‎10．【2020湖北省高三零模】已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在上投影为，即.‎ ‎，，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 本题选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.‎ ‎11．【2020四川省泸县第二中学高三三模】已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数 A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量满足，‎ ‎，‎ 所以，‎ 若向量的夹角为，‎ 则，‎ 所以，即，解得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎12．【2020湖南省高三二模】正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则 A．3 B．5 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，可知，即，‎ 即，所以，即，‎ 又由E是BC的中点，则，，‎ 所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎13．【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且，若，则值为 A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，可得在的角平分线上，所以,‎ 再由可得，即，‎ 再由，‎ 得，‎ 解得，故，所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】正三角形中，是线段上的点，，，则 A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.‎ 故,,‎ 故 故选：B．‎ ‎15.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为&科&网Z&X&X&K]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】[来设，，∴，，‎ ‎，∴.‎ ‎16．【2020湖北省高考模拟】设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎17．【2020宁夏回族自治区银川一中高三模拟】在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，‎ A．24 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得：，‎ 则，即，‎ 以点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，，设，则：‎ ‎，‎ 当，即时取得最小值，‎ 此时.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎18．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知向量，的夹角为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎19．【2020届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学】已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知知，，则，‎ 所以，故夹角为.‎ 故答案为.‎ ‎20．【2020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量，，，若，则_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎21．【2020安徽省高三月考】设为所在平面内一点，，若，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】∵为所在平面内一点, ，‎ ‎∴B，C，D三点共线.若∴，‎ 化为： =+，与=−+，比较可得： ，解得.‎ 即答案为-3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．‎ ‎22．【2020柳州高级中学高三月考】如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，‎ 则，.‎ 由于，‎ 可得，且，‎ 解得，，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，‎ ‎23．【2020·江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件：,,‎ 又,.‎ 又,,三点共线,.‎ ‎,,‎ ‎.‎ 的最小值为,‎ 当且仅当时“”成立.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.‎ ‎24．【2020天津高三二模】在平行四边形中，已知，，，若，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，如图所示，‎ 设，则，‎ 又由，，所以为的中点，为的三等分点，‎ 则，，‎ 所以 ‎．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎25．【2020·河北省衡水中学高三月考】已知的一内角，，，为所在平面上一点，满足，设，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为可知O为三角形ABC的外心 所以 而，且 即 化简得，‎ 解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．‎