安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（文）试题

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（文）试题

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据集合和集合所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为集合 集合表示满足的点的集合，即直线的图像，‎ 集合表示满足的点的集合，即直线的图像，‎ 所以表示两条直线的交点，‎ 解，得 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题.‎ ‎2．已知复数，则在复平面对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得在复平面对应的点的位置．‎ ‎【详解】‎ ‎·22·‎ 由题意得，‎ 所以复数对应的点的坐标为，位于第二象限．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，解题时根据运算法则求出复数的代数形式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式，得到，解出的取值范围，得到定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为函数有意义，‎ 所以，解得 所以解集为 所以定义域为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求具体函数定义域，属于简单题.‎ ‎4．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦 ‎·22·‎ 点，则的渐近线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件求出值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知的焦点坐标为，顶点为，‎ 故渐近线方程为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题.‎ ‎5．将函数的图象向左平移后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图像的平移，伸缩关系，即可求出的解析式.‎ ‎【详解】‎ 先将图象向左平移后得到曲线 ‎，‎ 再将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ‎·22·‎ 得到曲线.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像的变换关系，属于基础题.‎ ‎6．如图所示，中，，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件得到半圆的半径，然后计算出的面积和半圆的面积，根据几何概型的公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，，，，‎ 所以的面积，‎ 半圆O的面积，‎ 根据几何概型公式得：.‎ 故选：A.‎ ‎·22·‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题 ‎7．若x，y满足，则的最小值为( )‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎【答案】B ‎【解析】做出可行域，目标函数为可行域内的点与定点连线的斜率，根据图像即可求解.‎ ‎【详解】‎ 做出可行域如下如所示：‎ 表示与连线的斜率，‎ 由图象知与连线的斜率最小，最小值为-1.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查目标函数几何意义为斜率的最值，属于基础题.‎ ‎8．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）‎ A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为 ‎·22·‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，得到，所求的篱笆长度为，根据基本不等式，得到最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为矩形的面积为，所以，‎ 所以围成矩形所需要的篱笆长度为 ‎，‎ 当且仅当即时，等号成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎9．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出的值，再将所要求的，根据诱导公式进行化简，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 ‎·22·‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.‎ ‎10．过点的直线与圆相交于A，B两点，则（其中O为坐标原点）面积的最大值为( )‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆心O到直线的距离为，根据垂径定理，用表示，将面积表示为的函数，用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，过O作，垂足为M，‎ 设，则，所以的面积 ‎·22·‎ 当且仅当时，取等号.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的关系，解题的关键是垂径定理的应用，属于基础题.‎ ‎11．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B，若，若直线l的斜率为，则( )‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过B作于D，利用抛物线的定义，结合直角三角形与斜率的关系，即可求解；或利用抛物线焦半径长公式，用倾斜角表示，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 方法一：不妨设，则A在x轴上方，‎ 过A，B分别作抛物线的准线的垂线，‎ 垂足分别为，过B作于D，‎ 设，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ 由抛物线的对称性，t的值还可以为.‎ ‎·22·‎ 方法二：当点A在x轴上方、点B在x轴下方时，‎ 设直线l的倾斜角为，‎ 则，，‎ 由得，‎ 又l的斜率得，‎ 代入得，同理，‎ 当点A在x轴下方、点B在x轴上方时，.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，注意抛物线常用的结论的积累，属于中档题.‎ ‎12．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）‎ A．若为的外心，则 B．若为等边三角形，则 C．当时，与平面所成角的范围为 D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 ‎【答案】B ‎【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.‎ ‎【详解】‎ 若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设 ‎·22·‎ ‎，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；‎ 当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确；‎ 取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确 ‎【点睛】‎ 本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.‎ 二、填空题 ‎13．等腰直角三角形ABC中，，则有________.‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】先求出，再根据向量数量积公式，求出的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 等腰直角三角形ABC中，，‎ 所以 所以 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计算向量的数量积，属于简单题.‎ ‎·22·‎ ‎14．的值为________.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】由诱导公式将角化为特殊锐角，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简，求值，属于基础题.‎ ‎15．已知数列满足，则________.‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】根据递推公式，用累加法求出通项，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 累加得，‎ 所以，当时也符合，‎ ‎.‎ 故答案为:-1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由递推公式求通项，属于基础题.‎ ‎16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，‎ ‎·22·‎ ‎，则球O的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，将三棱锥补成长方体，‎ 球为长方体的外接球，边长分别为，，，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎·22·‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】（1）设等比数列公比，根据，得到关于的方程，解出，从而得到数列的通项公式；（2）写出的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 因为各项均为正数 解得（负值舍去），‎ 所以；‎ ‎（2）由已知得，，‎ 所以为等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.‎ ‎18．如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.‎ ‎（1）求b和；‎ ‎·22·‎ ‎（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以在中，由正弦定理，‎ 得，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理，‎ 所以；‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，，‎ 因为，所以，‎ ‎·22·‎ 因为，所以，‎ 而 所以，‎ 由，设，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎19．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎·22·‎ ‎（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；‎ ‎（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；‎ ‎（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率.‎ ‎【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据频率和为1，以及已知条件，求出，由平均数公式，即可求解；‎ ‎（2）根据物理成绩统计表，可估计出中位数；‎ ‎（3）根据已知条件可得，数学优的4人，其中3人物理为优，分别对4人编号，列出4人任取2人的所有情况，确定满足条件的基本事件的个数，按古典概型概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于，‎ 解得，‎ 故数学成绩的平均分 ‎（分），‎ ‎（2）由表知，物理成绩的中位数为75分. ‎ ‎（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，‎ 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.‎ 设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，‎ 则从4人中随机抽取2人的所有情况有：‎ ‎，‎ 符合题意的情况有：，‎ 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.‎ ‎·22·‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率直方图求平均数，频率分布表求中位数，考查古典概型的概率，属于中档题.‎ ‎20．如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.‎ ‎（1）求证：平面平面ABC；‎ ‎（2）求点D到平面CEF的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）取BC的中点G，连接AG，DG，可证平面DAG，可得，再由，，可证，可得平面ABC，即可证明结论；‎ ‎（2）由条件可得点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离，求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，取BC的中点G，连接AG，DG，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面DAG，所以.‎ 因为E，F分别为DB，AB的中点，所以.‎ 因为，即，则.‎ 又因为，所以平面ABC，‎ 又因为平面DAB，所以平面平面ABC.‎ ‎·22·‎ ‎（2）因为点E为DB的中点，‎ 所以点D到平面CEF的距离等于点B到平面CEF的距离.‎ 设点D到平面CEF的距离为h，‎ 因为，又因为平面ABC，‎ 所以，‎ 在中，.‎ 所以，‎ 在中，，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 而，‎ 则.‎ 所以点D到平面CEF的距离为.‎ ‎【点睛】‎ ‎·22·‎ 本题考查面面垂直的证明，空间中的垂直关系的转换是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，判断函数在区间是否存在零点？并证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）函数在上存在零点，证明见解析.‎ ‎【解析】（1）求导，求出，即可求解；‎ ‎（2）根据的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为.‎ ‎（1）当时，，‎ 又，切点坐标为，切线斜率为，‎ 所以切线方程为；‎ ‎（2）当时，，‎ 所以在上单调递减，‎ 当时，，‎ 又 ‎·22·‎ ‎，‎ 所以函数在上存在零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题 ‎22．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆P的半径为r，‎ 因为动圆P与圆M外切，所以，‎ 因为动圆P与圆N内切，所以，‎ 则，‎ 由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，‎ ‎·22·‎ 设椭圆方程为，‎ 则，，故，‎ 所以曲线C的方程为.‎ ‎（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，‎ 联立，‎ 得，‎ 设点，则，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 得.‎ 则，‎ 因为，所以.‎ ‎·22·‎ 即，‎ 直线，‎ 所以直线l过定点.‎ ‎②当直线l斜率不存在时，设直线，且，‎ 则点 ‎，‎ 解得，‎ 所以直线也过定点.‎ 综上所述，直线l过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎·22·‎