【数学】2018届一轮复习人教A版选修4-4第1讲坐标系学案

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知识点 考纲下载 坐标系 ‎1.理解坐标系的作用．‎ ‎2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．‎ 参数方程 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎3．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎4．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．‎ 第1讲　坐标系 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P214])‎ ‎1．坐标系 ‎(1)伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，‎ 点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．‎ ‎(2)极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin_θ＝b．‎ ‎4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ．‎ ‎　平面直角坐标系中的伸缩变换[学生用书P215]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ ‎【解】　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1，得 eq f(x′2,9)－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求．‎ 求经伸缩变换后曲线方程的方法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．‎ ‎[解] 由得到①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ ‎2．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．‎ ‎[解] 设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即因此，经过变换后，直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4.‎ ‎　极坐标与直角坐标的互化[学生用书P215]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎【解】　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ 极坐标与直角坐标互化的注意点 ‎(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎2．(2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎[解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎　曲线极坐标方程的应用[学生用书P216]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.‎ ‎(1)求圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)求实数k的值．‎ ‎【解】　(1)因为ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ 所以ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即＋＝k2，‎ 所以圆心C的直角坐标为.‎ ‎(2)因为ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ 所以－|k|＝2，‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ 所以或解得k＝－1.‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎2．(2016·高考全国卷乙改编)在直角坐标系xOy中，曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0(a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解] (1)将C1的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0‎ ‎，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P357(独立成册)])‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．‎ ‎[解] 设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，‎ 则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，‎ 其焦点坐标为(±，0)．‎ ‎2．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ ‎[解] 由2ρsin＝，‎ 得2ρ＝，所以y－x＝1.‎ 由点A的极坐标为，得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝＝.‎ ‎3．(2017·扬州质检)求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程．‎ ‎[解] 将点的极坐标化为直角坐标，‎ 点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，‎ 故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，‎ 圆心为(3，3)，半径为3，‎ 圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，‎ 即x2＋y2－6x－6y＝0，‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程，‎ 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，‎ 即ρ＝6cos.‎ ‎4．在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．‎ ‎[解] ρ(cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为x－y＝2，即y＝x－2.‎ ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，‎ 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，‎ 得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，‎ 所以x＝，y＝1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.‎ ‎5．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ ‎[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2，2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ 所以|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，‎ 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ 所以矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎6．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos＝的距离的最大值．‎ ‎[解] (1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.‎ 消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．‎ ‎(2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.‎ C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋.‎ ‎7．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．‎ ‎[解] 由ρ＝4sin θ，可得x2＋y2＝4y，‎ 即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a，可得y＝a.‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ 所以B点的坐标为.‎ 又因为B在x2＋y2－4y＝0上，所以＋a2－4a＝0，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.‎ ‎8．(2017·唐山统一考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．‎ ‎[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.‎ 又ρ2＝2，ρ1＝，‎ 所以＝4，‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．‎ ‎9．(2016·高考全国卷甲改编)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的方程为y＝(tan α)x，其中α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求tan α的值．‎ ‎[解] (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ ‎10．(2017·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．‎ ‎[解] (1)因为C1的参数方程为 所以C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2，‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ 所以ρ＝，‎ ρ＝ ‎＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎