2020-2021学年四川省广安市岳池县八年级上学期期中数学试卷 （解析版）

2020-2021学年四川省广安市岳池县八年级上学期期中数学试卷 （解析版）

2020-2021 学年四川省广安市岳池县八年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1．（3 分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称 图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，6cm C．5cm，6cm，11cm D．5cm，8cm，14cm 3．（3 分）若 n 边形的内角和是它外角和的 4 倍，则 n 等于（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（3 分）点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 5．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是 （ ） A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA 6．（3 分）如图，D 在△ABC 的 BC 边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝50°，则∠ADE 的度 数为（ ） A．50° B．60° C．65° D．70° 7．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，BC＝7，BD ＝4，则点 D 到 AB 的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3 分）下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条高交于三角形内一点 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．三角形的三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等 D．有两个角都是 60°的三角形是等边三角形 9．（3 分）如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中 AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， AD＝3.5m，则 AB 的长度为（ ） A．6m B．7m C．8m D．9m 10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面结论： ①△ABE 的面积等于△BCE 的面积； ②AF＝AG； ③∠FAG＝2∠ACF； ④BH＝CH． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．把正确答案填在题中的横线上） 11．（3 分）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方 法是利用了三角形的 ． 12．（3 分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β ＝ ． 13．（3 分）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A、D、B、C 分别在直线 MN 与 PQ 上，点 E 在 AB 上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则 AB＝ ． 14．（3 分）若点 P（a+1，2﹣a）关于 y 轴对称的点在第三象限，则 a 的取值范围是 ． 15．（3 分）如果等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，那么它的周长为 ． 16．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，MN 垂直平分 BC，点 P 为直 线 MN 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 4 个小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 23 分．解 答时应按要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（5 分）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交 AC 边于 E，∠BAC ＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC 的度数． 18．（6 分）如图，已知点 A，D，B，F 在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB，求 证：∠A＝∠F． 19．（6 分）如图所示，锐角△ABC 中，∠A＝60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是 D、E， 且 BD＝CE，求证：△ABC 是等边三角形． 20．（6 分）如图所示，在直角坐标系 xOy 中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）画出△ABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点 C 的对称点 C1 的坐标； （2）画出△ABC 关于直线 l（直线 l 上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写 出点 C 关于直线 l 的对称点 C2 的坐标． 四、实践应用题（本大题共 3 个小题，第 21 题 6 分，第 22、23 题各 8 分，共 22 分．解答 时应按要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 21．（6 分）如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40°方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数． 22．（8 分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离 带的空隙 O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息 汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足 为 D，已知 AB＝20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度． 23．（8 分）如图所示，在 4×4 的方格内，已将其中的 2 个小正方形涂成黑色，请你分别在 图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使 4 个黑色小正方形组 成一个轴对称图形，画出与示意图不同的 4 种方案．（每个 4×4 的方格内限画一种） 要求：（1）4 个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、 平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 五、推理论证题（本大题共 2 个小题，第 24 题 8 分，第 25 题 9 分，共 17 分．解答时应按 要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 24．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，AE＝CE， AD 与 CE 相交于点 F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若 AF＝6，求 CD 的长． 25．（9 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB 于 E，点 F 在边 AC 上，且 DF＝BD． （1）求证：CF＝BE； （2）若 AC＝8，AB＝10，且△ABC 的面积等于 24，求 DE 的长． 六、拓展探索题（本大题共 1 小题，共 10 分．解答时应按要求写出该题解答的文字说明、 证明过程或计算步骤） 26．（10 分）如图（1），等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等 边△EDC，连接 AE． （1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由； （2）试说明 AE∥BC 的理由； （3）如图（2），将（1）动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问 是否仍有 AE∥BC？证明你的猜想． 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一项符合题目要求， 请将正确选项的代号填在对应题目的括号中） 1．（3 分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称 图形的是（ ） A． B． C． D． 解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意； B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意； C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意； D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，6cm C．5cm，6cm，11cm D．5cm，8cm，14cm 解：A、2+3＝5＜6，不能构成三角形； B、3+4＞6，能构成三角形； C、5+6＝11，不能构成三角形； D、5+8＜14，不能构成三角形； 故选：B． 3．（3 分）若 n 边形的内角和是它外角和的 4 倍，则 n 等于（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 解：多边形的外角和是 360°，根据题意得： 180°•（n﹣2）＝360°×4， 解得 n＝10． 故选：C． 4．（3 分）点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 解：∵点 P（2，﹣5）关于 x 轴对称， ∴对称点的坐标为：（2，5）． 故选：B． 5．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是 （ ） A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA 解：A、当添加 AC＝BD 时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD， 故本选项符合题意； B、当添加 BC＝AD 时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD， 故本选项不符合题意； C、当添加∠C＝∠D 时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD， 故本选项不符合题意； D 、 当 添 加 ∠CAB ＝ ∠DBA 时 ， 且 ∠ABC ＝ ∠BAD ， AB ＝ BA ， 由 “ASA” 能 证 得 △ABC≌△BAD，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．（3 分）如图，D 在△ABC 的 BC 边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝50°，则∠ADE 的度 数为（ ） A．50° B．60° C．65° D．70° 解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B， ∴∠EAC＝∠DAB＝50°， ∴△ABD 中，∠B＝ （180°﹣∠BAD）＝65°， ∴∠ADE＝∠B＝65°， 故选：C． 7．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，BC＝7，BD ＝4，则点 D 到 AB 的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵BC＝7，BD＝4， ∴CD＝7﹣4＝3， 由角平分线的性质，得点 D 到 AB 的距离＝CD＝3， 故选：B． 8．（3 分）下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条高交于三角形内一点 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．三角形的三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等 D．有两个角都是 60°的三角形是等边三角形 解：A、锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故原题说法错误； B、有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，故原题说法错误； C、三角形的三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故原题说法错误； D、有两个角都是 60°的三角形是等边三角形，故原题说法正确； 故选：D． 9．（3 分）如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中 AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， AD＝3.5m，则 AB 的长度为（ ） A．6m B．7m C．8m D．9m 解：∵在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∴∠BAD＝ ∠BAC＝60°； 在△ABC 中，AD＝3.5m，∠C＝30°， ∴AB＝2AD＝7m． 故选：B． 10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交 AD 于点 G，交 BE 于点 H，下面结论： ①△ABE 的面积等于△BCE 的面积； ②AF＝AG； ③∠FAG＝2∠ACF； ④BH＝CH． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 解：∵BE 是中线得到 AE＝CE， ∴S△ABE＝S△BCE，故①正确； ∵∠BAC＝90°，AD 是高， ∴∠ABC＝∠DAC， ∵CF 是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG，故②正确； ∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAD＝∠ACB， 而∠ACB＝2∠ACF ， ∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确． 根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出 BH＝CH，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．把正确答案填在题中的横线上） 11．（3 分）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方 法是利用了三角形的 稳定性 ． 解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12．（3 分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β ＝ 240° ． 解：∵等边三角形的顶角为 60°， ∴两底角和＝180°﹣60°＝120°； ∴∠α+∠β＝360°﹣120°＝240° 故答案是：240°． 13．（3 分）如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A、D、B、C 分别在直线 MN 与 PQ 上，点 E 在 AB 上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则 AB＝ 7 ． 解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE＝∠EBC＝90°， 在 Rt△ADE 和 Rt△BCE 中， ， ∴△ADE≌△BEC（HL）， ∴AE＝BC， ∵AD+BC＝7， ∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7． 故答案为 7． 14．（3 分）若点 P（a+1，2﹣a）关于 y 轴对称的点在第三象限，则 a 的取值范围是 a＞ 2 ． 解：∵点 P（a+1，2﹣a）关于 y 轴对称的点（﹣a﹣1，2﹣a）在第三象限， ∴ ， 解得：a＞2． 故答案为：a＞2． 15．（3 分）如果等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，那么它的周长为 17 ． 解：（1）若 3 为腰长，7 为底边长， 由于 3+3＜7，则三角形不存在； （2）若 7 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为 7+7+3＝17． 故答案为：17． 16．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，MN 垂直平分 BC，点 P 为直 线 MN 上一动点，则 AP+BP 的最小值是 8 ． 解：连接 PC， ∵MN 是 BC 的垂直平分线， ∴BP＝PC， ∴PA+BP＝AP+PC， ∴当点 A，P，C 在一条直线上时，PA+BP 有最小值，最小值＝AC＝8． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共 4 个小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 23 分．解 答时应按要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 17．（5 分）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交 AC 边于 E，∠BAC ＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC 的度数． 解：∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°， ∵AD 是 BC 边上的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°． 18．（6 分）如图，已知点 A，D，B，F 在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB，求 证：∠A＝∠F． 【解答】证明：∵AD＝FB， ∴AD+DB＝FB+DB， 即 AB＝FD， 在△ABC 与△FDE 中， ， ∴△ABC≌△FDE（SSS）， ∴∠A＝∠F． 19．（6 分）如图所示，锐角△ABC 中，∠A＝60°，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是 D、E， 且 BD＝CE，求证：△ABC 是等边三角形． 【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是 D、E， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在△ABD 和△ACE 中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形， ∵∠A＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 20．（6 分）如图所示，在直角坐标系 xOy 中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）画出△ABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点 C 的对称点 C1 的坐标； （2）画出△ABC 关于直线 l（直线 l 上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写 出点 C 关于直线 l 的对称点 C2 的坐标． 解：（1）△A1B1C1 如图所示，C1 的坐标是（4，3）； （2）△A2B2C2 如图所示，C2 的坐标（﹣4，﹣5）． 四、实践应用题（本大题共 3 个小题，第 21 题 6 分，第 22、23 题各 8 分，共 22 分．解答 时应按要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 21．（6 分）如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40°方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数． 解：如图，由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°， ∴∠EBA＝∠BAD＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°， ∴∠CBA＝∠EBC﹣∠EBA＝80°﹣40°＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC ＝180°﹣55°﹣40°＝85°， 答：从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数为 85°． 22．（8 分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离 带的空隙 O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息 汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足 为 D，已知 AB＝20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度． 解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°， ∴∠ABO＝90°，即 OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD＝OB， 在△ABO 与△CDO 中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD＝AB＝20（m） 23．（8 分）如图所示，在 4×4 的方格内，已将其中的 2 个小正方形涂成黑色，请你分别在 图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使 4 个黑色小正方形组 成一个轴对称图形，画出与示意图不同的 4 种方案．（每个 4×4 的方格内限画一种） 要求：（1）4 个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、 平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 解：如图所示： ． 五、推理论证题（本大题共 2 个小题，第 24 题 8 分，第 25 题 9 分，共 17 分．解答时应按 要求写出该题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 24．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，AE＝CE， AD 与 CE 相交于点 F． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若 AF＝6，求 CD 的长． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在△AEF 和△CEB 中， ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD，BC＝2CD， ∴AF＝2CD， ∴CD＝ AF＝ ×6＝3． 25．（9 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB 于 E，点 F 在边 AC 上，且 DF＝BD． （1）求证：CF＝BE； （2）若 AC＝8，AB＝10，且△ABC 的面积等于 24，求 DE 的长． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC， 又∵DE⊥AB，∠CAD＝∠BAD， ∴CD＝DE， 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝BE； （2）解：由（1）得：CD＝DE， ∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB， ∴S△ABC＝ AC•CD+ AB•DE， 又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC 的面积等于 24， ∴24＝ ×8×DE+ ×10×DE， ∴DE＝ ． 六、拓展探索题（本大题共 1 小题，共 10 分．解答时应按要求写出该题解答的文字说明、 证明过程或计算步骤） 26．（10 分）如图（1），等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等 边△EDC，连接 AE． （1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由； （2）试说明 AE∥BC 的理由； （3）如图（2），将（1）动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问 是否仍有 AE∥BC？证明你的猜想． 解：（1）△DBC 和△EAC 会全等， 理由：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△DBC 和△EAC 中， ∴△DBC≌△EAC（SAS）； （2）∵△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°，又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC； （3）结论：AE∥BC 理由： ∵△ABC、△EDC 为等边三角形 ∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△DBC 和△EAC 中 ， ∴△DBC≌△EAC（SAS）， ∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC．