陕西省西安市第一中学2020届高三下学期2月份考试 数学（文）

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全国!""所名校最新高考模拟示范卷!第!!!!! 页!共#页"!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% 绝密"启用前 $"$"年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 !!本试卷共$*题!共!+"分!考试时间!$"分钟!考试结束后!将本试卷和答题 卡一并交回, 注意事项& !,答题前!考生先将自己的姓名"考生号"考场号和座位号填写清楚!将条形码准确粘贴在 条形码区域内, $,选择题必须使用$-铅笔填涂#非选择题必须使用",+毫米黑色字迹的签字笔书写!字体 工整!笔迹清楚, *,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答!超出答题区域书写的答案无效#在 草稿纸"试卷上答题无效, #,作图可先使用铅笔画出!确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, +,保持卡面清洁!不要折叠!不要弄破"弄皱,不准使用涂改液"修正带"刮纸刀, 一'选择题&本题共!$小题(每小题+分(共."分!在每小题给出的四个选项中(只有一项是符 合题目要求的! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!若集合"/!""!"$"*#"$/!$"*"#"+#"则".$/ 1!!!"$"*"#"+# -!!""!"#"+# 2!!$"*# 3!!""!"$"*"#"+# $!5是虚数单位"&/$05"则#&#/ 1!槡* -!$ 2!槡+ 3!槡. *!已知向量!/$!"$%""/$0!"#%"若!4""则实数#等于 1!0! -!! 2!0$ 3!$ #!&0$)#$$'是&0$$#$$'的 1!充分不必要条件 -!必要不充分条件 2!充分必要条件 3!既不充分也不必要条件 +!若双曲线#$ '$01$ 6$/!$'*""6*"%的离心率为+ *"则该双曲线的渐近线方程为 1!1/E# +# -!1/E+ ## 2!1/E# *# 3!1/E* ## .!第!9届国际篮联篮球世界杯$世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯%于 $"!:年9月*!日至:月!+日在中国的北京*广州*南京*上海*武汉*深圳*佛山*东莞八座城 市举行!中国队!$名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示"则下列说法错误的是 ! " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % & ' " " " & ( $ ) $ $ ! * !"# !$# 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!第$!!!! 页!共#页"!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% 1!第一场得分的中位数为+ $ -!第二场得分的平均数为!: * 2!第一场得分的极差大于第二场得分的极差 3!第一场与第二场得分的众数相等 8$ #$槡 4!0#%的图象大致为 ! " # ! " # ! " # ! " # ! " # $ ! " " " ! :!某几何体的三视图如图所示"三个视图中的曲线都是圆弧"则该几何 体的体积为 1!!+! $ -!!$! 2!!! $! 3!$!! $ !"!图为祖冲之之子祖暅&开立圆术'中设计的立体模型!祖暅提出&祖氏原 理'"他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之 差"从而求出牟合方盖的体积等于$ *<*$<为球的直径%"并得到球的体 积为./! .!<*"这种算法比外国人早了一千多年!人们还用过一些类 似的近似公式"根据!/*!!#!+:$.)"判断下列公式中最精确的一个是 1!<( *!. :槡. -!<( *$槡. 2!<( **"" !+<槡 . 3!<( *!+ 9槡. !!!已知$@AB$0@AB%/* $"$B58$4B58%/槡* $"则@AB$$4%%等于 1!! $ -!0! $ 2!! # 3!0! # !$!已知""$"+为椭圆#$ #41$/!上三个不同的点"若坐标原点/ 为1"$+ 的重心"则1"$+ 的面积为 1!槡* -!槡* * $ 2!槡* $ 3!槡* * 二'填空题&本题共#小题(每小题+分(共$"分!把答案填在答题卡中的横线上! !*!设($#%是定义在 # 上的函数"若;$#%/($#%4# 是偶函数"且;$0$%/0#"则($$% /!!!!! !#!已知数列!')#$)%$5 %是等差数列"其前)项和为*)"若*!!/.."则'./!!!!! !+!已知函数($#%/B58$'%$&*"%"点$$! *""%和$/! $=>07=%$1>0'1%/*!!! 回归方程?1/?'4?6=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别+?6/ 6 ) >/! $=>07=%$1>0'1% 6 ) >/! $=>07=%$ " ?'/'10?67=! !9!$本小题满分!$分% 已知数列!')#的前)项和为*)"'!/#"**)/$!0#0)%')4!"6)/$0!%)4!.$>A?$')%$! $!%求数列!')#的通项公式( $$%求数列!6)#的前$)项和@$)! 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!第#!!!! 页!共#页"!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% !:!$本小题满分!$分% 如图"在四棱锥70"$+2 中"7"3底面"$+2"底面"$+2 为直角梯形""$3"2"$+4 "2""2/$$+/$7"/$"$/$"点4"5"A 分别为线段"2"2+"7$ 的中点! ! " # $ %& ' ( $!%证明+直线"A4平面745! $$%求多面体"A+745 的体积! $"!$本小题满分!$分% 已知函数($#%/D#0'#$0#"'%#";$#%为函数($#%的导函数! $!%若函数;$#%的最小值为""求实数'的值( $$%若8#*""($#%9$!0'%#$0$!4'%#4!恒成立"求实数'的取值范围! $!!$本小题满分!$分% 已知点7$="9%$=)"%是抛物线++#$/$B1$B*"%上一点"点5 为抛物线+ 的焦点"#75# /!"! $!%求直线75 的方程( $$%若直线9过点$""#%"与抛物线相交于 0": 两点"且曲线+ 在点0 与点: 处的切线分 别为3")"直线3")相交于点A"求#7A#的最小值! #二$选考题&共!"分!请考生在第$$'$*两题中任选一题作答!如果多做(则按所做的第一题计分! $$!,选修#0#+坐标系与参数方程-$本小题满分!"分% 在直角坐标系#/1中"曲线+的参数方程为 #/$@AB$ 1/$B58! $ $$为参数%"在以坐标原点为极点"# 轴的正半轴为极轴的极坐标系中"直线9的极坐标方程为"B58$!0! *%/3! $!%若直线9与曲线+ 至多只有一个公共点"求实数3 的取值范围( $$%若直线9与曲线+ 相交于""$ 两点"且""$ 的中点为7"求点7 的轨迹方程! $*!,选修#0++不等式选讲-$本小题满分!"分% 已知'"6为正实数"'$46$/$! $!%证明+'469$'6! $$%证明+'#46#9$! 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!参考答案!第 !!!!! 页"共#页#!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% $"$"年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案 !!1!本题考查集合的运算!因为"+!""!"$"0#"#+!$"0"#"4#"所以",#+!""!"$"0"#"4#! $!8!本题考查复数的模!因为$+$,/"所以6$6+ $$.',!(槡 $ 槡+ 4! 0!8!本题考查向量的平行!因为!2""所以,$,$+""解得$+,$! #!-!本题考查充分$必要条件!%,$(&+$&是%,$+&+$&的充分不必要条件! 4!8!本题考查双曲线的渐近线!6$ %$ +=$,!+$4 6,!+!3 6"即6 % +# 0"故双曲线的渐近线方程为.+?# 0&! 3!8!本题考查茎叶图!由茎叶图可知"第一场得分的中位数为 4 $"众数为""极差为!6"第二场得分的众数为 ""平均数为!6 0"极差为$#"所以选项8的说法是错误的! 7!*!本题考查解三角形!因为6+4"9$,39+%$,$4"所以6$.9$,%$+39"所以39+$69-;<=""所以;<="+ 0 4! 2!*!本题考查函数的图象!因为/',&(+/'&("所以/'&(为偶函数"排除 8"1项"又因为/'!(+!,C !.C9>'槡$ ,!('""所以排除 -项! 6!-!本题考查三视图!根据三视图可知"该几何体是由! #个圆锥和! 2个球组成的" 如图所示"其中球的半径为0"圆锥的底面半径也为0"高为#"故该几何体的体积为 ! #@! 0!@0$@#.! 2@# 0!@00+0!.6 $!+!4 $!! !"!8!本题考查数学史与立体几何!由:+! 3!>0"解得!+3: >0 !选项 -化简得: >0 &6 !3" 所以!&3@6 !3 +0!074*选项*化简得: >0 &! $"所以!&3 $+0*选项8化简得: >0 &!47 0""" 所以!&3@!47 0"" +0!!#*选项1化简得: >0 &2 !4"所以!&3@2 !4 +0!$!所以选项8的公式最精确! !!!-!本题考查三角恒等变换!因为$;<=%,;<=&+0 $"$=/>%.=/>&+槡0 $"所以#;<=$%,#;<=%;<=&.;<=$&+ 6 #"#=/>$%.#=/>%=/>&.=/>$&+0 #"两式相加得4,#';<=%;<=&,=/>%=/>&(+0"解得;<='%.&(+! $! !$!*!本题考查直线与椭圆的位置关系!不妨设直线"# 的方程为.+'&.1"代入椭圆方程得'!.#'$(&$. 2'1&.#'1$,!(+"!设"'&!".!("#'&$".$("则&!.&$+, 2'1 !.#'$"&!&$+#'1$,!( !.#'$ !设-'&0".0("因为 ?为/"#-的重心"所以&0+,'&!.&$(+ 2'1 !.#'$".0+,'.!..$(+,+''&!.&$(.$1,+, $1 !.#'$"代 入椭圆方程得#1$+#'$.!"6"#6+ !.'槡 $6&!,&$6" 点? 到 直 线 "# 的 距 离 > + 616 !.'槡 $ "所 以 /?"# 的 面 积 8! + ! $ @6"#6@>+ ! $ @616@ 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!参考答案!第 $!!!! 页"共#页#!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% ', 2'1 !.#'$($,#@#'1$,!( !.#'槡 $ +$616 !.#'$ !.#'$,1槡 $ "因为#1$+#'$.!"所以8!+$616 #1$ 01槡 $ +槡0 $"因 为? 为/"#-的重心"所以/"#-的面积8+08!+ 槡00 $ ! '另解.不妨设"'$""("因为? 为/"#-的重心"所以#"-横坐标为,!"可得6#-6 槡+ 0"所以/"#- 的面 积为8+! $ 槡@0@ 0+ 槡00 $ !( !0!,3!本题考查函数的性质!由题知"<'$(+/'$(.$+<',$(+,#"解得/'$(+,3! !#!3!本题考查等差数列基本量的求解!设等差数列!%(#的公差为>"因为8!!+33"所以!!%3+33"解得%3+ 3! !4!$!本题考查三角函数的性质!因为点'$! 0""(和'7! 3""(是函数/'&(图象上相邻的两个对称中心"所以 ! ' + 7! 3,$! 0+! $"解得'+$! ! " # $ % & ' (! #! %! !3!槡0 #!本题考查异面直线所成角!因为平面%2平面"!#!-" 平面%"平面"!#!-!+;"平面"!#!-"平面"!#!-!+"!#!" 所以;2"!#!"取"!#!"#!-! 的中点分别为 @"A" 连接3@"3A"A@"A4""-!"如图所示"则A42"!#!"所以A42;"所以异面直线 34 与;所成的角为)A43 或其补角"又因为"# 槡+$ 0"""!+$"所以"-!+#"3@+!"@4+A4 槡+ 0"所 以3A+34+$"所以;<=)A43+ A4 $ 34+ 槡0 $ $ +槡0 #! !解题方法%本题以三棱柱为载体"综合考查异面直线所成角的概念!解答的基本方法是通过平移直线"把异 面直线平移到两条相交直线上"明确异面直线所成角的概念"应用三角函数知识求解"充分利用图形特征" 则可事半功倍!例如本题利用图形易得;2"!#!"这是本题的题眼! !7!解.本题考查线性回归方程! '!(由题中数据计算得87+! 4'!.$.0.#.4(+0" 9 4 B+! '7B,87($+',$($.',!($."$.!$.$$+!"" 由参考数据知"9 4 B+! '7B,87('.B,#.(+0!!"所以C6+ 9 4 B+! '7B,87('.B,#.( 9 4 B+! '7B,87($ +0!! !"+0!!!"C%+#.,C687+$!#!$,0!!!@ 0+!$"!6"故所求回归方程为C.+0!!!7.!$"!6! 2分………………………………………………………… '$(将$"$!年对应的7+7代入回归方程得C.+0!!!@7.!$"!6+002!3" 所以预测$"$!年全国硕士研究生报考人数约为002!3万人! !$分………………………………………… !2!解.本题考查数列通项公式及前(项和! '!(因为 08( + '!,#,((%(.!"所 以 当(%$ 时"08(,! + '!,#,(.!(%("所 以 0%( + '!,#,( (%(.! , '!,#,(.!(%(" 整理得'!,#,(('%(.!,#%((+""所以%(.!+#%("'(%$(" 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!参考答案!第 0!!!! 页"共#页#!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% 当(+!时"08!+'!,#,!(%$"%!+#"所以%$+!3"所以%$+#%!" 所以数列!%(#是首项和公比均为#的等比数列"所以%(+#@#(,!+#("即%(+#(! 3分…………………… '$(由'!(知"%(+#("所以6(+',!((.!-'9<:$#(($+',!((.!-'9<:$$$(($+#',!((.!-($ D$(+#+!,$$.0$,#$.).'$(,!($,'$(($,+#+,0,7,),'#(,!(,+,#(-'$(.!(" 故数列!6(#的前$(项和D$(+,#('$(.!(! !$分…………………………………………………………… !名师点睛%等差数列$等比数列的通项公式及前(项和问题"是高考的常考内容"解题过程中要注意应用函 数与方程思想"构建方程'或方程组(求基本量"例如此题"从已知出发"构建%!"> 的方程组求数列通项公 式"利用前后项合并"构造等差数列"求数列的前(项和! !6!解.本题考查线面平行及多面体的体积! '!(证明.因为#-2"0""0+$#-"3 为线段"0 的中点"所以#-:"3"连接3-"因为"#*"0"所以四边 形"#-3 为矩形"连接#3 交"- 于点?"连A?"因为A为线段5# 的中点"所以A?253"因为A?;平面 534"531平面534"所以A?2平面534"由题易知""-2平面534"又因为A?1平面A"-""-1平面 A"-""-"A?+?"所以平面5342平面A"-"又因为"A1平面A"-"所以直线"A2平面534! 3分 …… …………………………………………………………………………………………………………… '$(因为"0+$#-+$5"+$""#+!"所以四棱锥5,"#-0 的体积8+! 0@! $@'!.$(@!@!+! $"三 棱锥A,"#-的体积8+! 0@! $@!@!@! $+! !$"三棱锥5,034 的体积8+! 0@! $@!@! $@!+! !$" 故所求多面体"A-534 的体积为! $,! !$,! !$+! 0! !$分…………………………………………………… $"!解.本题考查函数最值及恒成立求参数范围! '!(/2'&(+C&,$%&,!" 所以<'&(+C&,$%&,!"<2'&(+C&,$%" "当%+"时"<2'&('""所以<'&(+C&,$%&,!在#上单调递增"不合题意* #当%'"时"&$',D"9>$%("<2'&((""&$'9>$%".D("<2'&('"" 所以函数<'&(在区间',D"9>$%(上单调递减"在区间'9>$%".D(上单调递增" <'&(%<'9>$%(+$%'!,9>$%(,!+""令('&(+&,&9>&,!"则(2'&(+,9>&"所以('&(在区间'""!(上 单调递增"在区间'!".D(上单调递减"所以('&(+('!(+""所以由$%'!,9>$%(,!+""解得%+! $"即 实数%的值为! $! 3分…………………………………………………………………………………………… '$(因为<&'""/'&(%'!,%(&$,'!.%(&.!恒成立"所以C&,&$.%&,!%"" 即,%+C&,&$,! & 对任意&'"恒成立"令"'&(+C&,&$,! & " 则"2'&(+'&,!('C&,&,!( &$ "由'!(知"C&,&,!%"" 当且仅当&+"时"等号成立"所以函数"'&(在区间'""!(上单调递减"在区间'!".D(上单调递增"所以 "'&(%"'!(+C,$"所以,%+C,$"即%%$,C! 所以实数%的取值范围为+$,C".D(! !$分………………………………………………………………… $!!解.本题考查抛物线的性质! 全国!""所名校最新高考模拟示范卷!参考答案!第 #!!!! 页"共#页#!!$""%&"'()"数学文科#二$"!% '!(因为6546+!""所以2.E $+!""解得E+#"所以4'""$(" 因为7$+2@2"且7(""所以7+,2"所以5',2"2(" 故直线54 的方程为.,$+ 2,$ ,2,"'&,"("化简得0&.#.,2+"! #分…………………………………… '$(由'!(知"抛物线方程为&$+2."点4'""$(!设 )'&!".!("*'&$".$("又因为.2+! #&"所以直线1 的方 程为.,.!+! #&!'&,&!("整理得.+! #&!&,.!"同理可得直线(的方程为.+! #&$&,.$"设A'&0".0(" 联立 .0+! #&!&0,.! .0+! #&$&0,. 3 4 5 $ "得直线;的方程为.0+! #&&0,."又因为直线;过点'""#("所以.0+,#"即点A 在定直线.+,#上"所以65A6的最小值为2,',#(+!$! !$分…………………………………………… !解题思路%解决直线与抛物线的综合问题时"需要注意. '!(观察$应用题设中的每一个条件"明确确定直线$抛物线的条件* '$(强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力"重视根与系数之间的关系$弦长$斜率$三 角形的面积等问题* '0(注重平面几何的知识"利用数形结合的思想处理问题! $$!解.本题考查坐标系与参数方程! '!(由题知"曲线-的直角坐标方程为&$..$+#"直线;的直角坐标方程为槡0&,..$1+""因为直线;与 曲线- 至多只有一个公共点"所以 6$16 槡0.! +616%$"所以实数1 的取值范围为',D",$,,+$".D(! 4分…………………………………………………………………………………………………………… '$(设"'&!".!("#'&$".$("5'F"G("由'!(知"1$',$"$("由 槡0&,..$1+" &$..$ 3 4 5 +# "解得#&$ 槡.# 01&.#1$ ,#+""所以$F+&!.&$ 槡+, 01"$G+.!..$ 槡+ 0'&!.&$(.#1+1"所以$F 槡+,$0G"即F 槡+, 0G"故 点5 的轨迹方程为& 槡. 0.+"',!(.(!(! !"分…………………………………………………………… $0!解.本题考查不等式证明! '!(因为%$.6$+$"所以%6+!"所以%6+ 槡%6+!" 又因为 槡%6+%.6 $ "所以%6+%.6 $ "即%.6%$%6"当且仅当%+6时等号成立! 4分………………………… '$(%#.6#+'%$.6$($,$%$6$+#,$%$6$" 由'!(知%6+!"所以%$6$+!"所以#,$%$6$%#,$+$"即%#.6#%$"当且仅当%+6时等号成立! !"分 ……… ……………………………………………………………………………………………………………