2018年四川省遂宁市高考一诊试卷数学文

2018年四川省遂宁市高考一诊试卷数学文

2018 年四川省遂宁市高考一诊试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|-3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则 A∩(CRB)=( ) A.(2，6) B.(2，7) C.(-3，2] D.(-3，2) 解析：∵B={x|2＜x＜7}，∴CRB={x|x≤2 或 x≥7}，∴A∩(CRB)=(-3，2]. 答案：C 2.已知复数 z=a+i(a∈R)，若 zz =4，则复数 z 的共轭复数 z =( ) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 解析：∵z=a+i，∴ =2a=4，得 a=2.∴复数 z 的共轭复数 =2-i. 答案：B 3.已知α 满足 cos2α = 7 9 ，则 cos cos( ) ( 44 )   ( ) A. 7 18 B. 25 18 C.- D.- 解析：∵α 满足 cos2α = ， 则 cos cos cos cos( ) ( ) ( ) cos sin 4 4 4 2 4 2 [( 2 )] ( ) ( )                    ()1 1 7sin 2 cos 2 . 2 2 2 18      答案：A 4.已知命题 p：“ a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：  x∈R，ex＜lnx，则( ) A.￢p∨q 为真命题 B.p∧￢q 为假命题 C.p∧q 为真命题 D.p∨q 为真命题 解析：命题 p：“ a＞b”  “2a＞2b”，是真命题. q：令 f(x)=ex-lnx，f′(x)=ex- 1 x .x∈(0，1]时，f(x)＞0；x＞1 时，f(x)单调递增，∴f(x) ＞f(1)=e＞0.∴不存在 x∈R，ex＜lnx，是假命题.∴只有 p∨q 为真命题. 答案：D 5.向量 a =(2，-1)，b =(-1，2)，则 2a b a=( ) A.1 B.-1 C.-6 D.6 解析：  2 3 0 2 1( ) ( ) 2 6 0 6a b a a b a         ， ， ， ； ． 答案：D 6.设 x，y 满足约束条件 2 3 3 0 2 3 3 0 30 xy xy y          ， ， ， 则目标函数 z=2x+y 的最小值是( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 解析：x，y 满足约束条件 的可行域如图： 在坐标系中画出可行域△ABC，A(-6，-3)，B(0，1)，C(6，-3)， 由图可知，当 x=-6，y=-3 时，则目标函数 z=2x+y 的最小，最小值为-15. 答案：A 7.已知 x1，x2(x1＜x2)是函数 f(x)= 1 1x  -lnx 的两个零点，若 a∈(x1，1)，b∈(1，x2)，则 ( ) A.f(a)＜0，f(b)＜0 B.f(a)＜0，f(b)＞0 C.f(a)＞0，f(b)＞0 D.f(a)＞0，f(b)＜0 解析：令 f(x)=0，则 lnx= ，分别作出 y=lnx 和 y= 的图象， 可得 0＜x1＜1，1＜x2，由 a∈(x1，1)，b∈(1，x2)， 可得 lna＞ 1 1a  ，即 f(a)= -lna＜0，lnb＜ 1 1b  ，即 f(b)= -lnb＞0. 答案：B 8.执行如图所示的程序，若输入的 x=3，则输出的所有 x 的值的和为( ) A.243 B.363 C.729 D.1092 解析：模拟程序的运行可得：当 x=3 时，y 是整数； 当 x=32 时，y 是整数； 依此类推可知当 x=3n(n∈N*)时，y 是整数，则由 x=3n≥1000，得 n≥7， 所以输出的所有 x 的值为 3，9，27，81，243，729，其和为 1092. 答案：D 9.若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=2 处有极值，则 ab 的最大值等于( ) A.72 B.144 C.60 D.98 解析：由题意，求导函数 f′(x)=12x2-2ax-2b， ∵在 x=2 处有极值，2a+b=24， ∵a＞0，b＞0，∴2ab≤( 2 2 ab )2=144，当且仅当 2a=b 时取等号，所以 ab 的最大值等于 72. 答案：A 10.在数列{an}中，a2=8，a5=2，且 2an+1-an+2=an(n∈N*)，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是( ) A.210 B.10 C.50 D.90 解析：∵2an+1-an+2=an(n∈N*)，即 2an+1=an+2+an(n∈N*)，∴数列{an}是等差数列， 设公差为 d，则 a1+d=8，a1+4d=2， 联立解得 a1=10，d=-2，∴an=10-2(n-1)=12-2n. 令 an≥0，解得 n≤6.Sn=  10 12 2 2 nn =11n-n2. ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6-a7-…-a10=2S6-S10=2(11×6-62)-(11×10-102)=50. 答案：C 11.已知双曲线 22 221xy ab (a＞0 ， b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且焦点与椭圆 22 1 36 2 xy的焦点相同，离心率为 e= 34 5 ，若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距 离为 18，N 为 MF2 的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于( ) A. 2 3 B.1 C.2 D.4 解析：椭圆 的焦点为(± 34 ，0)， 可得双曲线的 c= ，离心率为 e= ，可得 a=5， 由双曲线左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18，N 是 MF2 的中点， 连接 MF1，ON 是△MF1F2 的中位线， 可得 ON∥MF1，|ON|= 1 2 |MF1|， 由双曲线的定义知，|MF2|-|MF1|=2×5，∴|MF1|=8.∴|ON|=4. 答案：D 12.已知函数 f(x)= 2ln 2 0) (1 0 ( ) a x x x x a x x      ＞ ， ＜ ， 且有 f(x)≤a-2 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A.[0，2e2] B.[0，2e3] C.(0，2e2] D.(0，2e3] 解析：当 x＞0 时，f(x)=alnx-x2-2， 若 a＜0 时，f(x)在(0，+∞)为减函数，此时函数无最大值，即不满足题意， 当 a=0 时，f(x)≤a-2，即为-x2-2≤a-2，即 x2≥0 恒成立，满足题意， 当 a＞0 时，f(x)=alnx-x2-2，f′(x)= 222a a xx xx  ， 令 f′(x)=0，解得 x= 2 a ，或 x=- 舍去， 当 f′(x)＞0，解得 0＜x＜ ，此时函数 f(x)单调递增， 当 f′(x)＜0，解得 x＞ ，此时函数 f(x)单调递减， ∴f(x)max=f( ln 2 ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a aaa             ， ，) 即 0＜a≤2e3，x＜0 时，f(x)=x+ 1 x +a，此时函数 f(x)在(-∞，-1)为增函数，在(0，1)为 减函数，∴f(x)max=f(-1)=-2+a≤a-2 恒成立， 综上所述 a 的取值范围为[0，2e3]. 答案：B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13.曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P(1，f(1))处的切线方程为 . 解析：根据题意，对于 f(x)=x3-x+3，其导数 f′(x)=3x2-1， 当 x=1 时，f′(1)=3-1=2，即切线的斜率 k=2， f(1)=1-1+3=3，即切点 P 的坐标为(1，3)， 则曲线在点 P 处的切线方程为 y-3=2(x-1)，变形可得 2x-y+1=0； 答案：2x-y+1=0. 14.已知{an}是等比数列，若 23) 3( ( )2a a b a， ， ， ，且 ab，则 24 35 aa aa   = . 解析： 且 ，∴3a2-2a3=0，∴ 3 2 3 2 a a  ； 又{an}是等比数列，∴q= 3 2 ；∴     2 224 2 35 3 1 12 31 aqaa a a qaq       ． 答案： 2 3 15.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为 b，乙的众 数为 a，且直线 ax+by+8=0 与以 A(1，-1)为圆心的圆交于 B，C 两点，且∠BAC=120°，则圆 C 的标准方程为 . 解析：由题意知，甲的平均数 b 为： 20 22 23 31 4 5     =20，乙的众数 a 是：40， ∴直线 ax+by+8=0，即 10x+5y+2=0，A(1，-1)到直线的距离为 22 10 5 2 7 5510 5    ， ∵直线 ax+by+8=0 与以 A(1，-1)为圆心的圆交于 B，C 两点，且∠BAC=120°，∴r= 14 55 ， ∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=196 125 . 答案：(x-1)2+(y+1)2= 16.若两曲线 y=x2-1 与 y=alnx-1 存在公切线，则正实数 a 的取值范围是 . 解析：两曲线 y=x2-1 与 y=alnx-1 存在公切线， y=x2-1 的导数 y′=2x，y=alnx-1 的导数为 y′= a x ， 设 y=x2-1 相切的切点为(n，n2-1)与曲线 y=alnx-1 相切的切点为(m，alnm-1)， y-(n2-1)=2n(x-n)，即 y=2nx-n2-1， y-(alnm-1)= a m (x-m)，即：y= a m x-a+alnm-1 ∴ 2 2 1 1 ln an m n a a m         ， ， ∴ 2 24 a m =a-alnm， ∵a＞0，∴ 2 24 a m =1-lnm，即 4 a =m2(1-lnm)有解即可， 令 g(x)=x2(1-lnx)，y′=2x(1-lnx)+x2(-1x)=x(1-2lnx)=0，可得 x= e ， ∴g(x)在(0， e )是增函数；( ，+∞)是减函数，g(x)的最大值为：   2 ege ， 又 g(0)=0，∴0＜ 42 ae ，∴0＜a≤2e. 答案：(0，2e] 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在各项均不相等的等差数列{an}中，已知 a4=5，且 a3，a5，a8 成等比数列 (1)求 an； (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，记 bn= 3 2?nn n aS  ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析：(1)根据等差数列的通项公式和求和公式即可求出， (2)根据裂项求和即可求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. 答案：(1)∵{an}为等差数列，设公差为 d， 由题意得       1 2 1 1 1 35 4 2 7 ad a d a d a d       ， ， 解得 d=1 或 d=0(舍)，a1=2， ∴an=2+(n-1)×1=n+1. (2)由(1)知 Sn=  3 2 nn ，∴   1 1 1 11nb n n n n     ， ∴ 12 1 1 1 1 1 1 1 111 2 2 3 1 1 1 1nn nT b b b n n n n n n                                           ，故 1n nT n   ． 18.已知函数 f(x)=2sin(2x- 6  )+1，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c (1)当 x∈[0， 2  ]时，求函数 f(x)的取值范围； (2)若对任意的 x∈R 都有 f(x)≤f(A)，c=2b=4，点 D 是边 BC 的中点，求|AD|的值. 解析：(1)当 x∈[0， 2  ]时，求得 2x- 6  的范围，运用正弦函数的图象和性质求得 f(x)的 取值范围； (2)求得 f(x)的最大值取得的条件，可得 A，再由向量的平方即为模的平方，化简计算即可 得到所求值. 答案：(1)当 x∈[0， 2  ]时，2x- 5 66 ] 6 [   ， ，sin(2x- )∈[- 1 2 ，1]， 所以函数 f(x)=2sin(2x- 6  )+1 的取值范围是[0，3]； (2)由对任意的 x∈R，都有 f(x)≤f(A)， 得 22 62 Ak   ，k∈Z，解得 A=kπ + 3  ，k∈Z，又∵A∈(0，π )，∴A= ， ∵  1 2 AD AB AC       2 2 2 2 2 2 2()1 1 12 2 cos 14 16 4 8 7 4 4 4 AD AB AB AC AC c b bc A c b bc               ， 所以 7AD  ． 19. 2017 年 10 月 18 日至 10 月 24 日，中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九 大”)在北京召开.一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取 100 名员工进 行问卷调查，调查问卷共有 20 个问题，每个问题 5 分，调查结束后，发现这 100 名员工的 成绩都在[75，100]内，按成绩分成 5 组：第 1 组[75，80)，第 2 组[80，85)，第 3 组[85， 90)，第 4 组[90，95)，第 5 组[95，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、 丙分别在第 3，4，5 组，现在用分层抽样的方法在第 3，4，5 组共选取 6 人对“十九大”精 神作深入学习. (1)求这 100 人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)； (2)求第 3，4，5 组分别选取的作深入学习的人数； (3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这 6 人随机选取 2 人再 全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率. 解析：(1)利用频率分布直方图的性质能求出这 100 人的平均得分. (2)第 3 组的人数为 30，第 4 组的人数为 20，第 5 组的人数为 10，用分层抽样能求出在这 三个组选取的人数. (3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这 6 人随机选取 2 人，利用列举法能出甲、乙、 丙这 3 人至多有一人被选取的概率. 答案：(1) 这 100 人 的 平 均 得 分 为 ： 75 80 80 85 85 90 90 95 95 1005 0.01 0.07 0.06 0.04 0.02 87.25 2 2 2 () 22 x                 . (2)第 3 组的人数为 0.06×5×100=30， 第 4 组的人数为 0.04×5×100=20， 第 5 组的人数为 0.02×5×100=10，故共有 60 人， ∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，1. (3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、 丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己 )、(丙、丁)、(丙、 戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己 )、(戊、己)共 15 种情况， 其中甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取有 12 种情况， 故甲、乙、丙这 3 人至多有一人被选取的概率为 12 4 15 5 P ． 20.已知点 M(x，y)与定点 F2(1，0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比是常数 1 2 . (1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)若点 F1 的坐标为(-1，0)，过 F2 的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A，B，求△F1AB 面积的最大值. 解析：(1)根据题意可得    22 101 42 xy x      ，化简即可求出， (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得△F1AB 面积 S= |F1F2|·|y1-y2|，根据韦达定理和函数 的性质即可求出. 答案：(1)由题意可有 ，化简可得点 M 的轨迹方程为 22 1 43 xy. 其轨迹是焦点在 x 轴上，长轴长为 4，短轴长为 2 3 的椭圆. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴△F1AB 面积 S= 1 2 |F1F2|·|y1-y2|， 由题意知，直线 l 的方程为 x=my+1， 由 22 1 1 43 x m y xy       ， ， 可得(3m2+4)y2+6my-9=0， 则 1 2 1 222 69 3 4 3 4 my y y y mm     ， ， 又因直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，故△＞0， 即(6m)2+36(3m2+4)＞0， 则 S=|y1-y2|=   2 2 1 2 1 2 2 12 14 34 my y y y m     ， 令 t= 2 1m  (t≥1)，则 1 2 12 4 131 3 F AB tS t t t    ， 令 f(t)= 1 3t t  ，由函数的性质可知， 函数 f(t)在[ 3 3 +∞)上是单调递增函数， 即当 t≥1 时，f(t)在[1，+∞)上单调递增， 因此有 f(t)≥f(1)= 4 3 ，所以 1F ABS ≤3， 故当 t=1，即 m=0，三角形的面积最大，最大值为 3. 21.已知函数 f(x)= ln x x . (1)求函数 f(x)的单调区间和极值点； (2)当 x≥1 时，f(x)≤a(1- 2 1 x )恒成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间和极值点即可； (2)问题转化为 xlnx≤a(x2-1)(x≥1)恒成立.令 g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1)，根据函数的单调 性求出 a 的范围即可. 答案：(1)因为 f(x)= ，求导得 f′(x)= 2 1 ln x x  ， 令 f′(x)=0，解得 x=e， 又函数的定义域为(0，+∞)，当 x∈(0，e)时，f′(x)＞0；当 x∈(e，+∞)时，f′(x)＜0， 所以函数 f(x)在(0，e)单调递增；在(e，+∞)单调递减， 有极大值点 x=e；无极小值点. (2)由 f(x)≤a(1- )恒成立，得 2 ln 1x a xx  ，(x≥1)恒成立， 即 xlnx≤a(x2-1)(x≥1)恒成立.令 g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1)， g′(x)=lnx+1-2ax，令 F(x)=lnx+1-2ax，则 F′(x)=12ax x  ， ①若 a≤0，F′(x)＞0，g′(x)在[1，+∞)递增，g′(x)≥g′(1)=1-2a＞0， 故有 g(x)≥g(1)=0 不符合题意. ②若 0＜a＜ 1 2 ，当 x∈[1， 1 2a )时，F′(x)＞0，∴g′(x)在[1， )递增， 从而在[1， )上，g′(x)＞g′(1)=1-2a＞0，同(1)，不合题意； ③若 a≥ ，F′(x)≤0 在[1，+∞)恒成立， ∴g′(x)在[1，+∞)递减，g′(x)≤g′(1)=1-2a≤0， 从而 g(x)在[1，+∞)递减，故 g(x)≤g(1)=0， 综上所述，a 的取值范围是[ 1 2 ，+∞). 22.已知直线 l 的参数方程为 31 2 13 2 xt yt             ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ =4cos(θ - 2 3  ). (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)若 P(x，y)是直线 l 与圆面ρ ≤4cos(θ - 2 3  )的公共点，求 3 x+y 的取值范围. 解析：(1)圆 C 的极坐标方程化为 2 2 3 14 cos 4 sin cos 3 2 2 ( ) ( )         ，由ρ 2=x2+y2，x=ρ cosθ ，y=ρ sinθ ，能求出圆 C 的普通方程. (2)设 z=3x+y，圆 C 的圆心是 C(-1， 3 )，半径 r=2，将直线 l 的参数方程代入 z= 3 x+y， 得 z=-t，再由直线 l 过 C(-1，3)，圆 C 的半径是 2，能求出 3x+y 的取值范围. 答案：(1)∵圆 C 的极坐标方程为ρ =4cos(θ - 2 3  )， ∴ ， 又∵ρ 2=x2+y2，x=ρ cosθ ，y=ρ sinθ ，∴x2+y2=2 y-2x， ∴圆 C 的普通方程为 x2+y2+2x-2 y=0. (2)设 z= x+y， 圆 C 的方程 x2+y2+2x-2 y=0.即(x+1)2+(y- )2=4， ∴圆 C 的圆心是 C(-1，3)，半径 r=2， 将直线 l 的参数方程为 (t 为参数)代入 z= x+y，得 z=-t，又∵直线 l 过 C(-1， )，圆 C 的半径是 2， ∴-2≤t≤2，∴-2≤-t≤2，即 x+y 的取值范围是[-2，2]. 23.已知函数 f(x)=|1-x-a|+|2a-x| (1)若 f(1)＜3，求实数 a 的取值范围； (2)若 a≥ 2 3 ，x∈R，判断 f(x)与 1 的大小关系并证明. 解析：(1)通过讨论 a 的范围，去掉绝对值，解不等式，确定 a 的范围即可； (2)根据绝对值不等式的性质判断即可. 答案：(1)因为 f(1)＜3，所以|a|+|1-2a|＜3， ①a≤0 时，得-a+(1-2a)＜3，解得：a＞- ，所以- ＜a≤0； ②当 0＜a＜12 时，得 a+(1-2a)＜3，解得 a＞-2，所以 0＜a＜ 1 2 ； ③当 a≥ 时，得 a-(1-2a)＜3，解得：a＜ 4 3 ，所以 14 23 a ＜ ； 综上所述，实数 a 的取值范围是(- 24 33 ， ). (2)f(x)≥1，因为 a≥ ， 所以 f(x)=|1-x-a|+|2a-x|≥|(1-x-a)-(2a-x)|=|1-3a|=3a-1≥1.