2020年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题(含解析)

2020年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题(含解析)

2020 年江西省南昌十中高考适应性考试数学试题 一、单选题 1．已知向量 a  、b  满足 1, 2, 2 2a b a b       ，则向量 a  ，b  的夹角为（ ） A． 6  B． 3  C． 4  D． 2  2．在△ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 的对边的长，若 2 2 22020a b c  ，则 2tan tan tan (tan tan ) A B C A B   的值为（ ） A．1 B． 2018 C． 2019 D． 2020 3．若函数    1 2 13 , 03 log 2 , 0 x x x f x x x        ，则   0f f  （ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 1 3 4．已知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ，则 2 xz y 的 ( ) A．最大值为 1 8 B．最小值为 1 8 C．最大值为8 D．最小值为8 5．已知函数 2( ) 2f x x x  ，集合 { | ( ) 0}A x f x  ，  | ( ) 0B x f x  ，则 A B  （ ） A．[-1,0] B．[-1,2] C．[0,1] D． ( ,1] [2, )   6．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数中，随机取出 3 个不同的数，这 3 个数的和是偶数的 概率是（ ） A． 5 9 B． 4 9 C． 11 21 D． 10 21 7．在等差数列{ }na 中，若 3 6 9 12 15 120a a a a a     ，则 12 183a a 的值为（ ） A．24 B．36 C．48 D．60 8．已知函数    sinf x A x   （ π0, 0, 2A     ）的部分图象如图所示，且 ( ) ( ) 0f a x f a x    ，则 a 的最小值为（ ） A． π 12 B． π 6 C． π 3 D． 5π 12 9．设点 F 为抛物线 2 16y x 的焦点， A ， B ，C 三点在抛物线上，且四边形 ABCF 为平行四边 形，若对角线 5BF  （点 B 在第一象限），则对角线 AC 所在的直线方程为( ) A．8 2 11 0x y   B． 4 8 0x y   C． 4 2 3 0  x y D． 2 3 0x y   10．复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 ) 2z i i  ，则| |z  （ ） A．2 B． 2 C． 2 2 D． 1 2 11．若关于 x 的不等式 2 0x ax c   的解集为{ | 2 1}x x   ，且函数 3 2 2 cy ax mx x    在 区间 1( ,1)2 上不是单调函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A． ( 2, 3)  B．[ 3, 3]  C． ( , 2) ( 3, )    D． ( , 2] ( 3, )     12．若 : , ,p a b c    是三个非零向量；  : , ,q a b c    为空间的一个基底，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．在平面内有 n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这 n 条 直线把平面分成________部分. 14．若 2 0 a xdx  ，则在 7ax x     的展开式中， 3x 的系数是__________．(用数字作答） 15．设  f x 是周期为 2 的偶函数，当 0 1x  时，   2f x x sin x   ，则 9 2f      ___________． 16． A ， B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦 AB 的距离为 3 2 ，C 为此圆上一动点，若 OC OA OB     ( , )  R ，则   的取值范围为____. 三、解答题 17．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2( ) 1f x x b x     ， 2 2 2( ) 2g x x a c x b     ，其中 a ，b ， c 均为正实数， 且 1ab bc ac   . （1）当 1b  时，求不等式 ( ) 1f x  的解集； （2）当 xR 时，求证 ( ) ( )f x g x . 18．2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育 锻炼.现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打 分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布 直方图： （1）求 m 的值； （2）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 2 2 列联表补充完整， 并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100  2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ） 19．已知直线l 的参数方程为 1 cos 4 ( sin 4 x t t y t         为参数），曲线 C 的极坐标方程为  21 sin sin ,     以极点为坐标原点，极轴为 x 的正方向建立平面直角坐标系。 （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程. （Ⅱ）若点 M 的直角坐标为  1,0 ，直线l 与曲线 C 交于 ,A B 两点，求 MA MB 的值. 20．如图，在多面体 ABCDE 中， AEB 为等边三角形， / /AD BC ，BC AB ， 2BC AD ，点 F 为边 EB 的中点. （1）求证： / /AF 平面 DEC . （2）在 BC 上找一点G 使得平面 //AFG 平面 DCE ，并证明. 21．已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点，离心率为 1 2 ， ,M N 是平面内两 点，满足 1 22F M MF   ，线段 1NF 的中点 P 在椭圆上， 1F MN△ 周长为 12. （1）求椭圆C 的方程； （2）若过 (0,2) 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B ，求OA OB  （其中O 为坐标原点)的取值范围. 22．已知函数   2 x f x e ，   lng x x . （1）设     1 1h x g x ex    ，求  h x 的极值； （2）当 0x  时，    2 11 2tt f x x g xx          恒成立，求实数t 的取值范围. 23．已知 nS 是数列 na 的前 n 项和， 2 1nS n  ．等比数列 nb 中 3 9b  ，公比为 3． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式，以及数列 nb 的前 n 项和 nT ； （2）设 n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nP ． 【答案与解析】 1．B 根据向量的运算得到 1a b   ，再根据向量夹角公式得到答案. 2 2a b   ，则 2 2 2 2 4 4 8 4 4a b a a b b a b                ，故 1a b   ， 1cos , 2 a ba b a b         ，故向量 a  ，b  的夹角为 3  . 故选：B. 本题考查了向量的夹角，向量的模，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．C 先利用商数关系将 2tan tan tan (tan tan ) A B C A B   ，转化为 sin sin2 cos cos sin sin sin cos cos cos A B A B C A B C A B      ，再通分结合两角和的正 弦公式得到 2 2sin sin cos sin A B C C ，再利用正弦定理将角转化为边，然后利用余弦定理结合 2 2 22020a b c  求解. sin sin22tan tan cos cos sin sin sintan (tan tan ) cos cos cos A B A B A B C A BC A B C A B       ， 2sin sin cos sin (sin cos cos sin ) A B C C A B A B   ， 2 2sin sin cos sin A B C C  ， 2 2 2 2 2 2 cos 2019ab C a b c c c     . 故选：C. 本题主要考查同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用， 还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3．C 代入 0x  求得  0f 后，再代入对应解析式即可求得结果.   0 0 10 3 23f    ，      1 2 0 2 log 4 2f f f     . 故选：C . 本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题. 4．A 由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ，则 2y x z  ， 化简 2 2 2 2 1 4( 2 ) 4 4 4 xz xz xz x zy x z x xz z z x        ，利用基本不等式即可求解. 由题意知 0, 0, 0, 2 0x y z x y z      ，则 2y x z  ， 又由 2 2 2 2 1 1 1 4( 2 ) 4 4 844 2 4 xz xz xz x zy x z x xz z x z z x z x            ， 当且仅当 4x z z x  ，即 2x z 时等号成立，所以 2 xz y 最大值为 1 8 ，故选 A. 本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，化简求得 2 2 2 2 1 4( 2 ) 4 4 4 xz xz xz x zy x z x xz z z x        ，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力. 5．C 分别求解不等式得到集合 ,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 2{ | 2 0} { | 0 2}A x x x x x      , { | 2 2 0} { | 1}B x x x x  ≤ ≤ ， ∴ { | 0 1}A B x x ≤ ≤ ． 故选 C． 本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 6．C 【解析】基本事件总数为 3 9C ，设抽取3 个数，和为偶数为事件 A ，则 A 事件包括两类：抽取3 个 数全为偶数，或抽取 3 数 2 个奇数1 个偶数，前者 3 4C ，后者 1 2 4 5C C . A 中基本件数为 3 1 2 4 4 5C C C ，所以符合要求的概率为 3 1 2 4 4 5 3 9 11 21 C C C C   ，故答案为 11 21 . 7．C 先设等差数列的公差为 d ，根据题中条件求出 9 24a  ，进而可求出结果. 设等差数列的公差为 d ， 因为 3 6 9 12 15 120a a a a a     ，由等差数列的性质得 9 24a  ， 所以 12 18 1 13 3( 11 ) ( 17 )a a a d a d      1 1 92 16 2 8 2 48a d a d a      . 故选 C 本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型. 8．A a 是函数 ( )f x 的零点，根据五点法求出图中零点及 y 轴左边第一个零点可得． 由题意 3 11 4 12 6T    ，T  ，∴函数 ( )f x 在 y 轴右边的第一个零点为 5 6 4 12     ，在 y 轴左 边第一个零点是 6 4 12      ， ∴ a 的最小值是 12  ． 故选：A. 本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数 ( ) sin( )f x A x   的零点就是其图象对 称中心的横坐标． 9．B 根据抛物线定义和性质，可得 B 点的坐标为 1,4 ，线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22      ，再根据点 差法可得 4ACk  ，再根据点斜式即可求出结果. 如图所示， 设 B 点的坐标为 0 0,x y ，则 0 4 5BF x   ， 所以 0 1x  ， B 点的坐标为 1,4 . 所以线段 BF 的中点 D 的坐标为 5 ,22      . 设  1 1,A x y ，  2 2,C x y .有 2 1 116y x ， 2 2 216y x ，且 1 2 22 y y  . 所以  2 2 1 2 1 216y y x x   ，所以 1 2 1 2 1 2 16 4y y x x y y     ，所以 4ACk  . 对角线 AC 所在的直线方程为 5: 2 4 2AC y x      ，即 4 8 0x y   . 故选：B. 本题主要考查了抛物线的定义、性质，以及点差法的应用，属于中档题. 10．B 化简得到 1z i  ，故 1z i  ，再计算模长得到答案. (1 ) 2z i i  ，故      2 12 2 2 11 1 1 2 i ii iz ii i i         ，故 1z i  ， 2z  . 故选： B . 本题考查了复数的化简，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用能力. 11．A 试题分析：因为关于 x 的不等式 2 0x ax c   的解集为{ | 2 1}x x   ，所以 2, 1x x   是 方程 2 0x ax c   的两个根， 1, 2a c      ，即 1, 2a c  ，由 3 2 1y x mx x    ， 23 2 1y x mx    ，因为函数 3 2 1y x mx x    在区间 1 ,12      上不是单调函数，  2' 3 2 1.y x mx   有正有负，可以转化为 'y  23 2 1 0x mx     在区间 1 ,12      上有解，且 不是重解，所以由 23 2 1 0x mx   可得 12 3m x x    ，令     2 1 13 , 3f x x f xx x       ， 令   0f x  得： 3 3x  ， 1 3,2 3x      ，时   0f x  ，  f x 递增， 3 ,13x      时，   0f x  ，  f x 递减，  max 3 2 33f x f         ，   1 71 4, 2 2f f        ，  f x 的值域为  4, 2 3   ， 2 4, 2 3m      ，  2, 3m      ，当 3m   时，   中 0  ,有 2 个相 等的根，不合题意，故选 A. 考点：1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、不等式的解集与系数的关系；3、方程的根与系 数的关系. 【思路点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值、不等式的解集与系数的关系以及方 程的根与系数的关系，属于难题.要解答本题首先根据一元二次不等式的解集求出 a 、c 的值，进而 可知 3 2 1y x mx x    在区间 1 ,12      上不是单调函数，即 'y  23 2 1 0x mx   在区间 1 ,12      上 有解，最后再用“分离参数法”求出 m 的范围. 12．B 根据充分、必要条件的概念，判断出正确选项. 空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若 , ,a b c    是三个共面的非零向量，则 , ,a b c    不 能作为空间的一个基底；但若 , ,a b c    为空间的一个基底，则 , ,a b c    不共面，所以 , ,a b c    是三个非 零向量，所以 p 是 q 的必要不充分条件. 故选：B 本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 13． 分析：首先判断 1 条直线，将平面分成 2 个区域；2 条直线，将平面分成 2+2 个区域；3 条直线， 将平面分成 2+2+3 个区域；4 条直线，将平面分成 2+2+3+4 个区域；5 条直线，将平面分成 2+2+3+4+5 个区域，进而可得一般性的结论． 详解：1 条直线，将平面分成 2 个区域；2 条直线，将平面分成 2+2 个区域；3 条直线，将平面分 成 2+2+3 个区域；4 条直线，将平面分成 2+2+3+4 个区域；5 条直线，将平面分成 2+2+3+4+5 个区 域，故 n 条直线，将平面分成 2+2+3+4+5+…+ n 个区域. ∴ n 条直线，将平面分成 2 2 2 n n  . 故答案为 2 2 2 n n  . 点睛：本题考查合情推理，解题的关键是从特殊入手，推理出一般性的结论． 14．84 分析：由定积分的求出积分值，从而求出 a 的值，再用展开式的通项求常数项． 详 解：由题 2 2 0 21 2 0 202a xdx x     ，则 72x x     的展开式的通项公式为 7 7 2 1 7 7 2 2k k k k k k kT C x C xx （ ）（ ） （ ）       ，令 7 2 3, 2,k k    则 3x 的系数是 2 2 72 84.C （ ） 即答案为 84. 点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法． 15． 0 先转化成求 1( )2f  的值，再利用函数的奇偶性求 1( )2f  得解. 由函数的周期得 9 2f      1 1( 4 ) ( )2 2f f    ， 因为函数是偶函数，所以 1 1 1 1( ) ( ) 2 sin( ) 1 1 02 2 2 2f f            . 故答案为：0 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16． 2 3 2 3,3 3      首先求出OA 与OB 夹角的余弦值；通过平方运算可将线性运算整理为： 2 1     ，利用 均值不等式构造关于   的不等式，解不等式求得结果. O 到弦 AB 距离为 3 2 2 3 1cos 2 12 2AOB           OC OA OB      22 2 2 22 2OC OA OB OA OA OB OB               即  22 2 2 22 cos 1AOB                  由均值不等式可知： 2 2         2 4 3     2 3 2 3,3 3           本题正确结果： 2 3 2 3,3 3      本题考查均值不等式的应用问题，关键是能够通过平方运算，将向量之间的线性运算转变为向量模 长和数量积的运算问题，从而化简为变量 ,  之间的关系，进而可利用均值不等式构造不等式求 得结果. 17．（Ⅰ） 1 ,2    ；（Ⅱ）见解析． 试题分析：（1）当 b=1 时，把 f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得 f（x）≥1 的解集． （2）当 x∈R 时，先求得 f（x）的最大值为 b2+1，再求得 g（x）的最小值，根据 g（x）的最小值 减去 f（x）的最大值大于或等于零，可得 f（x）≤g（x）成立． 试题解析： （1）由题意，当 1b  时，   2 1 2 1 1 2 1 x f x x x x          ， ， ， ， 当 1x  时，   2 1f x    ，不等式   1f x  无解； 当 1 1x   时，   2 1f x x  ，解得 1 2x  ，所以 1 12 x  ； 当 1x  时，   2 1f x   恒成立，所以   1f x  的解集为 1 2     ， （2）当 x R 时，    2 2 2 21 1 1 1f x x b x x b x b b              ；    2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2g x x a c x b x a c x b a c b             ． 而  2 2 2 2 2 2 22 1 1a c b b a c b         2 2 2 2 2 21 12 a b b c c a        1 2 2 2 12 ab bc ac    1 0ab bc ac     当且仅当 3 3a b c   时，等号成立．即 2 2 2 22 1a c b b    ， 因此，当 x R 时，    2 2 2 21 2f x b a c b g x      ，所以，当 x R 时，    f x g x 点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较 2 个数大小的方法，属于 中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可． 18．（1） 0.025m  （2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运 动与性别有关系 （1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得 m 的值. （2）根据表格数据填写 2 2 列联表，计算出 2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （1）由题意 0.005 2 0.015 0.02 0.03 10 1m       ，解得 0.025m  . （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为 0.025+0.003 10 100 30   . 完善列联表如下： 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2100 (800 300) 4.76250 50 30 70      ， 对照表格可知， 4.762 6.635 ， 不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查 2 2 列联表独立性检验，属于基础 题. 19．（1） 2y x= （2） 2MA MB  【试题分析】（1）运用加减消元法消去 1 4 4 x tcos y tsin         中参数t ；运用极坐标与直角坐 标之间的关系将曲线 C 化为直角坐标方程；（2）将直线与曲线的直角坐标方程联立方 程组，求出其交点坐标，然后再运用两点间距离公式进行求解： （1）直线l 的普通方程为方程为 1 0x y   ，故直线l 的极坐标方程为方程为 2 cos 14        ；曲线 C 的直角坐标方程为 2y x （2） 2 1 22 1 0 1 5 1 51 0, , ,2 2 2 2 x y x x x xy x              或 不妨设 1 5 3 5 1 5 3 5, , ,2 2 2 2 2 2 2 2A B                 ，所以 3 52 2 2MA       ， 3 52 2 2MB       所以 2MA MB  另法：由 2 2 21 2 3 2 2 0 2 2 x t y x t t y t            代入 ，由t 的几何意义得 2MA MB  20．(1) 证明见解析(2) 点G 为 BC 的中点.证明见解析 （1）取 EC 中点 M ，连接 FM ， DM，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）先由题意，确定点G 为 BC 的中点；再给出证明：连接 FG ， AG ，根据面面平行的判定定 理，即可证明结论成立. （1）取 EC 中点 M ，连接 FM ， DM， ∵ / / / /AD BC FM ， 1 2AD BC MF  ， ∴ ADMF 是平行四边形，∴ / /AF DM ， ∵ AF  平面 DEC ， DM  平面 DEC ，∴ / /AF 平面 DEC . （2）点G 为 BC 的中点. 证：连接 FG ， AG ， 因为G 、 F 分别是 BC ， BE 的中点，所以 / /GF CE ， 又 GF 平面 DCE ，CE  平面 DCE ，所以 / /GF 平面 DCE ， 又因为 / /AD BC ， 1 2AD BC ，所以 //AD GC 且 AD GC ， 即四边形 ADCG 是平行四边形，所以 / /DC AG ， 因为 AG  平面 DCE ，所以 / /AG 平面 DCE . 又因为 AG GF G ，所以平面 //AFG 平面 DCE . 本题主要考查证明线面平行，以及补全面面平行的条件，熟记线面平行的判定定理，以及面面平行 的判定定理即可，属于常考题型. 21．（1） 2 2 14 3 x y  （2） 13[ 3, )4  （1）连接 2PF ，由向量的性质得出点 2F 是线段 1F M 的中点，结合中位线定理以及椭圆的性质得 出 4 4 12a c  ，再由离心率公式得出 2, 1a c  ，进而得出b ，即可得出椭圆方程； （2）当直线l 的斜率不存在时，将直线 0x  ，代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  ，得出 ,A B 坐标，利用 向量数量积公式得出 3OA OB    ；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y kx  ，并代 入椭圆方程，利用韦达定理得出 1 2x x ， 1 2x x 的值，由判别式得出 k 的范围，求出 1 2y y ，利用向 量的数量积公式得出 2 253 4 3O OB kA       ，最后由不等式的性质得出其范围. （1）连接 2PF ， 1 22F M MF   ， 1 2 2F F F M  ，  2F 是线段 1F M 的中点， P 是线段 1F N 的中点， 2 1// 2PF MN 由椭圆的定义知， 1 2| | 2PF PF a  ，  1F MN△ 周长为 1 1 1 2 1 2| | | | | | 2(| | | | | |) 4 4 12NF MN FM FP PF FF a c        由离心率为 1 2 知， 1 2 c a  ，解得 2, 1a c   2 2 2 3b a c   椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （2）当直线l 的斜率不存在时，直线 0x  ，代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  解得 3y   ， 此时 3OA OB    ， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y kx  代入椭圆 C 的方程 2 23 4 12 0x y   整理得， 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx    设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 2 16 3 4 kx x k     ， 1 2 2 4 3 4x x k   2 2 2(16 ) 4 4 (3 4 ) 48(4 1) 0k k k        ＞ ，解得 2 1 4k ＞  1 2y y  1 2( 2)( 2)kx kx  = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 32 12 122 ( ) 4 43 4 3 4 3 4 k k kk x x k x x k k k          1 2 1 2OA OB x x y y    2 2 2 4 12 12 3 4 3 4 k k k     2 2 2 2 2 16 12 12 16 2533 4 4 3 4 3 k k k k k          2 1 4k ＞ ， 24 3 4k  ＞ ， 2 1 10 4 3 4k   ＜ ， 2 25 250 4 3 4k   ＜  133 4OA OB  ＜ ＜ 综上所述， OA OB  的取值范围为 13[ 3, )4  . 本题主要考查了由 , ,a b c 求椭圆方程以及椭圆中向量的点乘问题，属于中档题. 22．（1）极小值 1 ，无极大值；（2） 2t e  . (1)先求导，再利用导数正负判断其单调性，即得极值； (2)根据题意化简得   2 21 ln 1 lntx txe e x x   恒成立，构造函数      1 ln 0F x x x x   ，研 究其单调性得 2txe x ，再化简得 ln 2 t x x  ，求 max ln x x      即可得结果. 解：（1）函数   1ln 1h x x ex    ，其定义域为 0,  . 所以   2 2 1 1 1 0exh x x ex ex      ，解得 1x e ， 10, ex     时   0h x  ， 1 ,x e      时   0h x  所以  h x 在 10, e      上是减函数，在 1 ,e     上是增函数， 所以  h x 有极小值 1 1h e       ，无极大值； （2）当 0x  时，    2 11 2tt f x x g xx          恒成立， 即   11 2 lntxt e x xx       对 0x  恒成立， 即    2 21 1 lntxtx e x x   ，即   2 21 ln 1 lntx txe e x x   令      1 ln 0F x x x x   ，则上式即    2txF e F x 恒成立. 因为   11 lnF x x x     . 令   11 lnG x x x    ，   2 2 1 1 1 0xG x x x x      ，得 1x  ，  0,1x 时，   0G x  ，  G x 递减，  1,x  时，   0G x  ，  G x 递增， 故 1x  时，函数  G x 取得最小值，  1 2 0G   .∴   0F x  ， ∴  F x 在 0,  上单调递增，∴ 2txe x 两边取对数，可得 2lntx x ，即 ln 2 t x x  ，则 max ln 2 t x x      令   lnH x x x ，  0,x  ，   2 1 ln 0xH x x    ，得 x e 时，  0,x e 时，   0H x  ，  H x 递增，  ,x e  时，   0H x  ，  H x 递减， 所以 x e 时，函数  H x 取得最大值    max 1H x H e e   ， ∴ 1 2 t e  ，即 2t e  . 本题考查了利用函数导数研究函数的单调性、极值和最值问题，考查了恒成立问题，属于中档题. 23．(1) 2, 1 2 1, 2n na n n     ， 13n nb  ， 1 (3 1)2 n nT   ；(2) ( 1)3 2n nP n   . （1）根据递推关系，利用临差法求得 na 的通项公式，并利用等比数列通项公式、前 n 项和公式分 别求 nb ， nT ； （2）利用错位相减法求数列 nc 的前 n 项和 nP . (1)当 1n  时， 1 1 2a S  ， 当 2n  时， 1n n na S S   2 2( 1) 2 1n n n     ， 又 1 2 1 1 1 2a      ， 2, 1 2 1, 2n na n n      ； 由 2 3 1 3 9b b   得 1 1b  ， 13n nb   ， ∴ 1 3 1 (3 1)1 3 2 n n nT    (2) 2 3 12 1 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n nP n            2 3 43 2 1 3 3 3 5 3 7 3 ...... (2 1)3n nP n            2 3 4 12 5 2(3 3 7 3 ...... 3 ) (2 1)3n n nP n          29(1 3 )5 2 (2 1)31 3 n nn     3 4 (2 1)3n nn    (2 2 )3 4nn   ∴ ( 1)3 2n nP n   . 本题考查等差、等比数列的通项公式、等比数列前 n 项和公式、错位相减法求和，考查转化与化归 思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意 na 的通项公式要写成分段的形式.